第四章非线性方程和 非性方程组的解法 4.1非线性方程的解法 42非线性方程组的线性化解法 43非线性方程组的极值求解法 44最速下降法 45共轭梯度法 46牛顿过程及变度量法 4.7直接法 48方法的选择与总结 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 1 第四章 非线性方程和 非性方程组的解法 4.1 非线性方程的解法 4.2 非线性方程组的线性化解法 4.3 非线性方程组的极值求解法 4.4 最速下降法 4.5 共轭梯度法 4.6 牛顿过程及变度量法 4.7 直接法 4.8 方法的选择与总结
1.非线性方程的解法 2非线性方程组的线性化解法 牛顿迭代法 3非线性方程组的极值求解法 最速下降法|单纯形法 共轭梯度法| Powell方法 变尺度法 (可变矩阵方法)|直接法 DFP方法 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 2 １.非线性方程的解法 ２.非线性方程组的线性化解法 －－牛顿迭代法 ３.非线性方程组的极值求解法 －－最速下降法 | 单纯形法 －－共轭梯度法 | Powell 方法 －－变尺度法 | （可变矩阵方法）| 直接法 DFP 方法 |
4.1引言 在科学研究中,常常会遇到非线性方程 或非线性方程组的问题。例如解方程 x2-10x3+35x2-50x+24=0(4-1) 或 sIn 0 (4-2) 2 般的,我们记非线性方程为 f( x)=0 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 3 ４.1 引言 在科学研究中，常常会遇到非线性方程 或非线性方程组的问题。例如解方程 或 一般的，我们记非线性方程为 10 35 50 24 0 (4 1) 4 3 2 x − x + x − x + = − 0 (4 2) 2 sin = − − − x e x f (x) = 0 (4−3)
4.1 非线性方程组的一般形式是: f( X 0 X.X 其中f(i=1,2,n)是n维实空间Rn上的 实值函数。用向量形式表示 这里f,x,0均是n维向量。为了方便 计,还是用f,x,0分别表示上述向量 简记为 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 4 4.1 非线性方程组的一般形式是： ( ) ( ) ( , , , ) 0 , , , 0 , , , 0 1 2 2 1 2 1 1 2 = = = n n n n f x x x f x x x f x x x 其中fi（i=1,2,…,n）是n维实空间Ｒn 上的 实值函数。用向量形式表示： 这里 均是n维向量。为了方便 计，还是用 分别表示上述向量。 简记为： f(x)= 0 (4− 4) f , x,0 f , x,0 f (x) = 0
4.1 y=x+c+a y= y=(x+c)3+d y= 图4.1非线性方程求根示意图 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 5 4.1 c a d c a d b ( ) 3 y = x − a y = (x + c) + d 3 ( ) 2 y = x − a y = (x + c) + d 2 图 4.1 非线性方程求根示意图
方程的解亦称方程的根或函数的零点 根可能是实数或复数 若f(a)=0,f(a)≠0,则c称为单根 若f(a)=f()=…=f(a)=0 而f((a)≠0,则a称为k重根 常见的求解问题有两种: (1)要求定出在给定范围内的某个解 (2)要求定出在给定范围内的全部解。 非线性问题,除少数情况外,一般不能 不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。 即构造出一近似值序列a02ax1 逼近真解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 4.1 • 方程的解亦称方程的根或函数的零点。 • 根可能是实数或复数。 • 若 则 称为单根； 若 而 ，则 称为 k 重根。 常见的求解问题有两种： (1) 要求定出在给定范围内的某个解。 (2) 要求定出在给定范围内的全部解。 • 非线性问题，除少数情况外，一般不能 不利用公式求解。而要采用某种迭代解法。 即构造出一近似值序列 逼近真解 。 ( ) 0, ( ) 0, ' f = f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ' 1 = = = = − k f f f f (k ) () 0 0 ,1 , ,n
4.1 迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方 程的性态有关,某些解法仅与初值有关。 收敛速度一般由迭代方法所决定,方程的 性态也会起一些作用。 本章主要介绍非线性方程组的解法, 而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。 解非线性方程和方程组有很大区别。后者 要困难得多。主要的区别在于一维情形可 以找到一个根的范围,然后缩小,最终找 到根。而多维情况则很难确定根的存在。 直到你求得它的解。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 7 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 4.1 • 迭代过程的收敛性一般与初值的选取和方 程的性态有关，某些解法仅与初值有关。 • 收敛速度一般由迭代方法所决定，方程的 性态也会起一些作用。 本章主要介绍非线性方程组的解法， 而方程的解法用较少的篇幅在4.2中扼要介绍。 解非线性方程和方程组有很大区别。后者 要困难得多。主要的区别在于一维情形可 以找到一个根的范围，然后缩小，最终找 到根。而多维情况则很难确定根的存在。 直到你求得它的解
4.2非线性方程的解法 42.1二分法 对于连续函数f(x),如果在 x=a和x=b处异号:f(a)f(b)<0 则f(x)在b至少有一个根 逐步缩小区间[2b并保持f(a)f(b)<0 =0时已找到解)当区间[a,b]足够小时 用(a+b)2近似作为(x)=0的解。 每步使长度[a,b减小一倍,即二分 ab]的方法,称二分法。用 a+b b或 2 atb 代替前一步的[a,b]取决于f(a) 2 a+b 2同号与否 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 8 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 4.2 非线性方程的解法 4.2.1 二分法 对于连续函数 ，如果在 和 处异号： 则 在 内至少有一个根。 f (x) x = a x = b f (a) f (b) 0 f (x) a,b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 与 同号与否。 代替前一步的 取决于 的方法，称二分法。用 或 每步使长度 减小一倍，即二分 用 近似作为 的解。 当＝０时已找到解。当区间 足够小时， 逐步缩小区间 ，并保持 + + + + = 2 , 2 , , 2 , , 2 0 , , 0 a b f a b f a a b a b a b a b a b a b f x a b a b f a f b
4.2.1 用图来表示这个过程: 收敛速度慢,线性 2、方法稳定,只要求 feca,bl 3、只能求实函数的一个 b 时零点 图42二分法方程求根 确定根所在的范围[ab]对有的函数 也是一件困难的事。所幸的是,在实际应 用中,根据其物理或工程的背景,在绝大 部分场合是不困难的。对给定的函数也有 确定范围的方法 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 4.2.1 用图来表示这个过程： ０ y x a a b b a b ( ) 时零点。 、只能求实函数的一个 、方法稳定，只要求 、收敛速度慢，线性。 3 , 2 1 0 f x c a b 确定根所在的范围［a,b］对有的函数 也是一件困难的事。所幸的是，在实际应 用中，根据其物理或工程的背景，在绝大 部分场合是不困难的。对给定的函数也有 确定范围的方法。 图 4.2 二分法方程求根
4.2.1 a 图43寻找隔根区间示意1 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 a b • • • • • • a b x1 c x1 d x2 x3 c f (a) (b) 4.2.1 图 4.3 寻找隔根区间示意1