浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第三章 线性代数方程组的求解

第三章线性代数方程组 31问题概述 32直接法 33迭代法 34稀疏矩阵 35其他特殊形式的矩阵 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 1 第三章 线性代数方程组 3.1 问题概述 3.2 直接法 3.3 迭代法 3.4 稀疏矩阵 3.5 其他特殊形式的矩阵

31问题概述 3.11问题提出 线性代数方程组 a1x1+a12x2+…+a1Nx=b a21x1+a2x2+…+a2xN=b2 MIX+aM2x2+ .+aNXN=bM 用矩阵形式表示: ax= b 2 C 21 b 2 系数矩阵 未知向量 右顶端 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 2 3.1 问题概述 3.1.1 问题提出 线性代数方程组   3 2 3 1 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1                     Ax b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b M M MN N M N N N N 用矩阵形式表示：     , , 3 3 2 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1                       m m mn n m n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A          系数矩阵 未知向量 右顶端

当M-N时,如果A非奇异,则方程组(3-1) 存在唯一解 312矩阵的存储与结构 存储方式 a.满存方式 N2个实数 b.部分存储方式≤非零元素个数 稀疏矩阵、对称矩阵、块状矩阵 2.存储结构 数组在计算机内存中总是一维存放的 但是它的顺序在不同的高级语言中不 定相同。 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 3 当M=N时，如果A非奇异，则方程组（3-1） 存在唯一解。 3.1.2 矩阵的存储与结构 1. 存储方式 a.满存方式 N 2个实数 b.部分存储方式 非零元素个数 稀疏矩阵、对称矩阵、块状矩阵 2. 存储结构 数组在计算机内存中总是一维存放的 但是它的顺序在不同的高级语言中不 一定相同。 

3.1.2 例如, FORTRAN语言中的矩阵是按列 存放的: 115021 n1?1222 C In 2 3.存储方式与存储结构是不同的两个概念 4.矩阵的逻辑维数与物理维数 逻辑维数:实际参与计算的矩阵阶数 物理维数:该矩阵可能出现的最大阶数 例如,调用一个子程序,计算一个4×4矩阵 的转置,调用形式为: CALL MATINV (A AL NL. NP) 这里,NL是逻辑维数,=4。而NP是物理 维数,即数组A的实际定义维数 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 4 3.1.2 例如，FORTRAN语言中的矩阵是按列 存放的： , 11 a , 21 a  , an1 , 12 a , 22 a  , an2 , a1n , a2n  , ann 3. 存储方式与存储结构是不同的两个概念 4. 矩阵的逻辑维数与物理维数 逻辑维数：实际参与计算的矩阵阶数 物理维数：该矩阵可能出现的最大阶数 例如，调用一个子程序，计算一个44矩阵 的转置，调用形式为： CALL MATINV（A, AI, NL, NP） 这里，NL是逻辑维数，=4。而NP是物理 维数，即数组A的实际定义维数

3.1.2 假定NP=6,则4×4矩阵存放于6×6矩阵中: 5 2 (1)(7)(13)(19)(25)(31) 2 3 (2)(8)(14)(20)(26)(32) 4 5 (3)(9)(15)(21)(27)(3) NP 8 2 4 (4)(10)(16)(22)(28)(34) (5)(1)(17)(23)(29)(35) (6)(12)(18)(24)(30)(36 NL=4. NP=6 NPNP Dimension A(6, 6) A内存放4×4矩阵 NL×NL 求A(i)1≤i 但地址是: 1)×NP+i 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 5 3.1.2 假定NP=6，则44矩阵存放于66矩阵中： 7 (1) 5 (7) 1 (13) 2 (19) X (25) X (31) 2 (2) 3 (8) 1 (14) 1 (20) X (26) X (32) 4 (3) 9 (9) 0 (15) 5 (21) X (27) X (33) 8 (4) 1 (10) 2 (16) 4 (22) X (28) X (34) X (5) X (11) X (17) X (23) X (29) X (35) X (6) X (12) X (18) X (24) X (30) X (36) NL NP NL=4, NP=6 NP,NP Dimension A(6,6) A内存放 44矩阵 NLNL 求A( i,j ) 1 i,j 4 但地址是： （j-1）NP +i

3.1.3向量范数、矩阵范数 定义1.对于任一向量是x∈R”,按照一定 规则确定一个实数与它对应。该实数记米x 若x满足下面三个性质: ()|≥0,|=0÷x=0 (2)对任意实数a,al= (3)对vy∈R",‖ x+训≤xl 那么实数 称为向量x的范数。 设x=(x1,x2…,xn),,则它常用的几 种范数有: 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 3.1.3 向量范数、矩阵范数 定义1. 对于任一向量是 ，按照一定 规则确定一个实数与它对应。 该实数记为 ， 若 满足下面三个性质： 那么实数 称为向量x的范数。 设 ，则它常用的几 种范数有： n x R       对 。 对任意实数 ， ， y R x y x y x x x x x n            3 , 2 ; 1 0 0 0;    x  , , ,  , 1 2 T n x  x x  x x x

3.1.3 l‖=x;+x+∴+x 2=∑x(3-4) x|+{x2|+…+x=∑ maX 可以验证,以上定义的几种范数均满足 三个范数的性质。它们的几何意义见图3 从向量范数出发可以定义矩阵范数。 定义2:设A为nxn阶矩阵。定义 maX maXX x≠0 x∈Rn x∈Rn 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 3.1.3     max , , ,  3 6 3 5 3 4 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1                          n n i n i n i n i x x x x x x x x x x x x x x    可以验证，以上定义的几种范数均满足 三个范数的性质。它们的几何意义见图3.1 从向量范数出发可以定义矩阵范数。 定义2：设A为nn阶矩阵。定义 Ax x Ax A n n x R x x R x       0 1 max max

3.1.3 7.4 5.5 4.5 X W 2:43 2.0 图3.1向量范数的几何意义 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 3.1.3 5.5 12 7.4 1 2     x x x   1 2 3 x x , x , x 2 x 1 x 3 x 2.0 5.5 4.5 | x| 2 图3.1 向量范数的几何意义

3.1.3 这样定义的矩阵范数具有性质 )4≥0,4=0÷A=0, 2)对a∈R,4l=l‖ (3)对B∈R"xR",A+Bs|4+|B (4)Wx∈R,有Ax4|x (5)对B∈R"xR",‖A·B≤|4B 显然,这样定义的矩阵范数与向量范数 的定义方法有关。 前面三种常用的向量范数相应的矩阵范数是 (3-7) (是!A的最大特征值) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 3.1.3 这样定义的矩阵范数具有性质：           对 。 有 对 对 ， B R R A B A B x R Ax A x B R R A B A B R A A A A A n n n n n                       5 , 4 , ; 3 , ; 2 ; 1 0, 0 0;    显然，这样定义的矩阵范数与向量范数 的定义方法有关。 前面三种常用的向量范数相应的矩阵范数是    是A A的最大特征值 A T 1 2 1 3 7    

3.1.3 - maX l≤j≤n - maX 1≤i<n 另外,关于范数有一个很重要的等价定理: 定理:有穷线性空间上的一切范数都是 等价的。即对任意两种范数 有关系式: <M 其中m,M是与α,B有关的常数 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 0 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 3.1.3   max 3 9 max 3 8 1 1 1 1 1                          n j ij i n n i ij j n A a A a 另外，关于范数有一个很重要的等价定理： 定理：有穷线性空间上的一切范数都是 等价的。即对任意两种范数 有关系式：    ,  其中 是与， 有关的常数    m M m M ,     