第2章谓闹逻辑 第2章谓词逻辑 2.,1个体、谓词与量词 2,2谓词公式 23谓词演算的等价式与蕴含式 2,4前束范式 2.5谓词逻辑的推理理论 返回总目录
第2章 谓词逻辑 第2章 谓词逻辑 2.1 个体、谓词与量词 2.2 谓词公式 2.3 谓词演算的等价式与蕴含式 2.4 前束范式 2.5 谓词逻辑的推理理论 返回总目录
第2章谓闹逻辑 第2章谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.1.1个体 考察下面的三个原子命题: (1)李玲是优秀共产党员 (2)张华比李红高 (3)小高坐在小王和小刘的中间。 上述命题中的李玲、张华、李红、小高、小王、小 刘等客体就是个体。所以可以这样说,个体是指所研究 对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是 独立存在的人或物体,也可以是抽象的概念,如“马列 主义”,“资本主义”等。个体常用小写英文字母或小 写英文字母带下标表示,叫做个体标识符
第2章 谓词逻辑 第2章 谓词逻辑 2.1个体、谓词与量词 2.1.1个体 考察下面的三个原子命题： ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间。 上述命题中的李玲、张华、李红、小高、小王、小 刘等客体就是个体。所以可以这样说，个体是指所研究 对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。它可以是 独立存在的人或物体，也可以是抽象的概念，如“马列 主义” ， “资本主义”等。个体常用小写英文字母或小 写英文字母带下标表示，叫做个体标识符
第2章谓闹逻辑 表示具体或特定个体的标识符称作个体常元,一般用 小写英文字母a、b、c、…或这些英文字母带下标表示。例 如:李玲、张华、李红、小高、小王、小刘可如下表示 a:李玲 b:张华 :李 红高王 e: f:小刘 a,b,cde2都是个体常元。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变 元,常表示为x、y、z、…等或这些英文字母带下标。 个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以 是有穷集合,也可以是无穷集合,包含任意个体域的个体 域称为全总个体域,它是由宇宙间一切对象组成的集合 在本书中,如无特别说明,所采用的都是全总个体域
第2章 谓词逻辑 表示具体或特定个体的标识符称作个体常元，一般用 小写英文字母a、b、c、…或这些英文字母带下标表示。例 如：李玲、张华、李红、小高、小王、小刘可如下表示： a：李玲 b：张华 c：李红 d：小高 e：小王 f：小刘 a,b,c,d,e,f都是个体常元。 将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变 元，常表示为x、y、z、…等或这些英文字母带下标。 个体变元的变化范围称为个体域或论域。个体域可以 是有穷集合，也可以是无穷集合，包含任意个体域的个体 域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。 在本书中，如无特别说明，所采用的都是全总个体域
第2章谓闹逻辑 2.1.2谓词 在上面的三个原子命题中,(1)可以分解成为个体“李玲′ 和“…是优秀共产党员”两部分。“…是优秀共产党员”是用 来描述个体“李玲”的性质的;(2)可以分解成为个体“张华 “李红”和“…比…高”两部分 比…高”是用来描述个 体“张华”和“李红”的身高关系的;(3)可以分解成为个体 小高”、“小王”、“小刘”和“…坐在…和…的中间”两 部分 坐在…和…的中间”是用来描述个体“小高” 小王”、“小刘”的位置关系的。这些刻划个体性质或几个 个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示,叫做 谓词标识符 例如可以用F,G,H表示上面三个命题中谓词: F:…是优秀共产党员 晑。 H:…坐在…和…的中间
第2章 谓词逻辑 2.1.2谓 词 在上面的三个原子命题中，⑴可以分解成为个体“李玲” 和“…是优秀共产党员”两部分。 “…是优秀共产党员”是用 来描述个体“李玲”的性质的；⑵可以分解成为个体“张华” 、 “李红”和“…比…高”两部分。 “…比…高”是用来描述个 体“张华”和“李红”的身高关系的；⑶可以分解成为个体 “小高” 、 “小王” 、 “小刘”和“…坐在…和…的中间”两 部分。 “…坐在…和…的中间”是用来描述个体“小高” 、 “小王” 、 “小刘”的位置关系的。这些刻划个体性质或几个 个体关系的模式叫做谓词。谓词常用大写英文字母表示，叫做 谓词标识符。 例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：…是优秀共产党员。 G：…比…高。 H：…坐在…和…的中间
第2章谓闹逻辑 把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。F是一元谓 词;把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。G是二元谓 词;把与三个个体相关联的谓词叫做三元谓词。H是三元谓 词;…。一般的,把与n个个体相关联的谓词叫做n元谓词。 设F是一元谓词,a是个体常元,用F(a)表示个体常元a 具有性质F;设G是二元谓词,ab是个体常元,用Ga,b)表 示个体常元a和b具有关系G;… 于是上面三个命题就表示为: F(a):李玲是优秀共产党员。 G(b,c):张华比李红高。 H(de2:小高坐在小王和小刘的中间。 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓 词填式。F(a),G(b,c),H(d,e都是谓词填式。谓词填式表 示的是命题
第2章 谓词逻辑 把与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。F是一元谓 词；把与两个个体相关联的谓词叫做二元谓词。G是二元谓 词；把与三个个体相关联的谓词叫做三元谓词。H是三元谓 词；…。一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做n元谓词。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体常元a 具有性质F；设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表 示个体常元a和b具有关系G；… 于是上面三个命题就表示为： F(a)：李玲是优秀共产党员。 G(b,c)：张华比李红高。 H(d,e,f)：小高坐在小王和小刘的中间。 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子叫做谓 词填式。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是谓词填式。谓词填式表 示的是命题
第2章谓闹逻辑 类似的,用F(x)表示个体变元x具有性质F;用G(x,y)表 示个体变元x和y具有关系G;…,用P(x1x2…xn)(n≥1)表示 个体变元x12x2…xn具有关系P。如果谓词后面有n个个体变 元,则称为n元命题函数。例如F(x)、G(x,y)、P(x1x2 分别叫做一元命题函数、二元命题函数、n元命题函数 (n≥1)。因为命题函数中包含个体变元,因此命题函数没有 确定的真值,它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体 变元,就得到了命题。 例如,用H(xy):x+y≥0,显然此命题函数不是命题,因 为它无法判断真假。令 a:5.b:-7 用a,b分别取代xy,就得到H(a,b),它表示5+(-7)0, 这是个假命题,它的真值为假 其实,用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到 的表达式就是前面所说的谓词填式。因为它由个体常元取代 命题函数中所有的个体变元而得到,所以也把谓词填式叫做
第2章 谓词逻辑 类似的，用F(x)表示个体变元x具有性质F；用G(x, y)表 示个体变元x和y具有关系G；…，用P(x1 ,x2 ,…,xn )(n≥1)表示 个体变元x1 , x2 , …,xn具有关系P。如果谓词后面有n个个体变 元，则称为n元命题函数。例如F(x)、G(x，y)、P(x1 ,x2 , …,xn ) 分别叫做一元命题函数、二元命题函数、n元命题函数 (n≥1)。因为命题函数中包含个体变元，因此命题函数没有 确定的真值，它不是命题。只要用个体常元取代所有的个体 变元，就得到了命题。 例如，用H(x,y)：x+y≥0，显然此命题函数不是命题，因 为它无法判断真假。令 a：5, b：－7 用a,b分别取代x,y，就得到H(a,b)，它表示5+(－7)≥0， 这是个假命题，它的真值为假。 其实，用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到 的表达式就是前面所说的谓词填式。因为它由个体常元取代 命题函数中所有的个体变元而得到，所以也把谓词填式叫做
第2章谓闹逻辑 0元命题函数。F(a),G(b,c),H(d,e/都是0元命题函数,它 们都是命题。于是命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑 中的0元命题函数(谓词填式,命题成为命题函数的特例 【例2.1】将下列命题符号化,并讨论它们的真值。 (1)2与3都是偶数。 (2)如果5大于3,则2大于6 解:(1)设F(x):x是偶数 2,b:3 该命题符号化为:F(a)∧F(b F(b)表示3是偶数,它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假 (2)设G(xy):x大于y q:5,b:3,c:2,d:6 该命题符号化为:G(a,b)G(c,d G(a,b)表示5大于3,它是真命题。G(c,d表示2大于6, 这是个假命题。所以G(a,b)→G(c;d为假
第2章 谓词逻辑 0元命题函数。F(a)，G(b,c)，H(d,e,f)都是0元命题函数，它 们都是命题。于是命题逻辑中的命题均可以表示为谓词逻辑 中的0元命题函数(谓词填式)，命题成为命题函数的特例。 【例2.1】将下列命题符号化，并讨论它们的真值。 ⑴ 2与3都是偶数。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：⑴ 设F(x)：x是偶数。 a：2，b：3 该命题符号化为： F(a)∧F(b) F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假。 ⑵ 设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6， 这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假
第2章谓闹逻辑 2.1.3量词 量词分两种 (1)全称量词 日常生活和数学中常用的“一切的”,“所有的 “每一个”,“任意的”,“凡”,“都”等词统称为全称 量词,将它们符号化为“V”。并用(vx),(vy)等表示个体域 里的所有个体,而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中 的所有个体都有性质F和都有性质G (2)存在量词 存在”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”等 词统称为存在量词,将它们符号化为“彐”。并用(x),(3y) 等表示个体域里有些个体,而用(x)F(x)和(y)G①y)等分别表 示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。 全称量词与存在量词统称为量词
第2章 谓词逻辑 2.1.3量词 量词分两种。 ⑴ 全称量词 日常生活和数学中常用的“一切的” ， “所有的” ， “每一个” ， “任意的” ， “凡” ， “都”等词统称为全称 量词，将它们符号化为“”。并用(x)，(y)等表示个体域 里的所有个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中 的所有个体都有性质F和都有性质G。 ⑵ 存在量词 “存在” ， “有一个” ， “有些” ， “至少有一个”等 词统称为存在量词，将它们符号化为“” 。并用(x)，(y) 等表示个体域里有些个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表 示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。 全称量词与存在量词统称为量词
第2章谓闹逻辑 【例22】个体域是人类集合,对下列命题符号化。 (1)凡人要死。 (2)有的人是研究生。 解:(1)令F(x):x要死 命题“凡人要死。”符号化为:(vx)F(x) (2)令G(x):x是研究生 命题“有的人是研究生。”符号化为:(彐x)G(x 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说,命题函数不是命题, 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化, 该函数就变成了命题。这一结论在例22中得到验证 虽然对命题函数中所有命题变元进行量化后,该命题 函数就变成了命题,但所得命题的真值与个体域的选定有 关。请看下列例题:
第2章 谓词逻辑 【例2.2】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 ⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。 解：⑴ 令F (x)：x要死。 命题“凡人要死。 ”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。 ”符号化为：(x)G(x) 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.2中得到验证。 虽然对命题函数中所有命题变元进行量化后，该命题 函数就变成了命题，但所得命题的真值与个体域的选定有 关。请看下列例题：
第2章谓闹逻辑 【例23】对下列命题符号化,并在①,②,③三个个 体域中考察命题的真值。 命题:()所有数小于5 (2)至少有一个数小于5。 个体域: 2,4} 13,-2,7,8} ③115,20,24 解:设L(x):x小于5 (1)“所有数小于5。”符号化为:(vx)L(x 在个体域①,②,③中,它们的真值分别为:真,假,假。 (2)“至少有一个数小于5。”符号化为:(彐x)L(x) 在个体域①,②,③中,它们的真值分别为:真,真,假 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题,其真值又 与个体域的选定有关,这对命题函数的研究带来了一定的困 难,为了统一,我们今后使用全总个体域。而将其它个体域
第2章 谓词逻辑 【例2.3】对下列命题符号化，并在①，②，③三个个 体域中考察命题的真值。 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。 ”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。 ”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中，它们的真值分别为：真，真，假。 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其真值又 与个体域的选定有关，这对命题函数的研究带来了一定的困 难，为了统一，我们今后使用全总个体域。而将其它个体域