浙江大学材料与化工学院《实用数值计算方法》_第五章 数值求积和数值求导

第五章求积与求导 51数值求积问题 52插值多项式求积 53控制精度的求积方法 54待定系数法 55Gaus开式求积 56其他求积方法 57插值多项式求导 58数值求导的误差分析 59其他求导方法 浙江大学研究生 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 1 第五章 求积与求导 5.1 数值求积问题 5.2 插值多项式求积 5.3 控制精度的求积方法 5.4 待定系数法 5.5 Gauss开式求积 5.6 其他求积方法 5.7 插值多项式求导 5.8 数值求导的误差分析 5.9 其他求导方法

51数值求积问题 X三a 求y=/(y,xx=F(x)原函数 称为常微分方程的积分 Integration of Ordinary Differential Equation 其中 f(x)原函数y=F(x) y(a)=0@x=a 求△y=f(x)tx=F(b)-F()=F() 称为求积问题 Quadrature 浙江大学研究生 > 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 2 5.1 数值求积问题 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quadrature y f x dx F b F a F b y a x a f x y F x dx dy Integration of Ordinary Differential Equation y f y x dx F x y y x a f y x dx dy F a b a a 称为求积问题 求 原函数 其中 称为常微分方程的积分 求 原函数  = = − =      = = = = = =      = = = =   ( ) 0 0 @ , @

51.1机械求积方法 原函数y=F(x)不一定易于找出,如: f(x)=√1+x3 sIn x e 但在给定的x下,易于求得f(x) 因而提出了一类数值求积方法:机械求积 f=f() Do-a =6 图5.1函数值计算过程简单 I= FIx =/()=∑A+0 节点权函数值余值 浙江大学研究生 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 3 5.1.1 机械求积方法 ( ) ( ) ( ) ( ) 因而提出了一类数值求积方法：机械求积 但在给定的 下，易于求得 原函数 不一定易于找出，如： x f x x x x f x x y F x 3 2 , exp sin = 1+ , − = f (x) x x b x0 = a xi n = ( ) i i f = f x I F(x) f (x)dx A f U n i i i b a b = a = =  +  =0 节点 权 函数值 余值 图 5.1 函数值计算过程简单

51.2不同的求积形式 闭式 2 半闭式 开式 8 外延式 9 图52不同的求积形式 浙江大学研究生 > 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 4 5.1.2 不同的求积形式 f (x) a b x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 闭式 外延式 开式 半闭式 图 5.2 不同的求积形式

513代数精度 机械求积 [/=(=∑4+ Q]+U[ 误差(余值) U/=1=/(-∑4 对于f(x)=x 0,0≤k≤ 代数精度为k=m 0 ≠0 k≥m+1 浙江大学研究生 > 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 5 5.1.3 代数精度   ( )       ( )       ( ) ( )     0 1 0 . 0, 0 0 0   + = = =   = = − = − = + = = +     = = k m U x k m U x k m f x x U f I f Q f f x dx A f Q f U f I f f x dx A f U f k k k n i i i b a n i i i b a 代数精度为 对于 误差 余值 机械求积

52插值多项式求值 P,(x)=L(x) y P IllIlllI x b 图53插值多项式的函数形式 任何插值多项式 f(x)=p(x)+r,() 均可用以求积 广/()kx=P(x=广R( /=/]+U[ 浙江大学研究生 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 6 5.2 插值多项式求值 y i y P (x) L (x) n = n P (x) n y = f (x) a x0 xi xn b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) If  Qf  Uf  f x dx P x dx R x dx f x P x R x b a n b a n b a n n = + = = = +    均可用以求积 任何插值多项式 图 5.3 插值多项式的函数形式

521用 Lagrange多项式求积 D )=L(x)=∑Bn(x)=∑ y i=0 其中 Dn(x)=(x-x0)…(x-x1)x-x1)…(x-xn) o.x Dn、(x)=on(x) 并有 R, (x) n+1 f(x)=P(x)+R1(x) rD(jdx (k=(k=一D,( ∫()=∑4 9质 D A 当a,b,x确定后为具体值 D(x) 并可证明∑A=b-a可用于检查系数 浙江大学研究生 > 7 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 7 5.2.1 用Lagrange多项式求积 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )        = = + − + = = =  = = + + = = − = = − − − − = = = n i i i b a i b a n i n i i b a n i n b a n n n n n n i i n i i n n i i i n n i i n i i n i n i n n n i i f x dx A y y D x D x dx f x dx L x dx f x P x R x x n f R x D x x x x x D x x x x x x x x x y D x D x P x L x B x y 0 0 , , 1 ' , , 0 1 1 0 , , 0 , 1 !     并有 其中   ( ) ( ) n i i b a n i i D x D x dx A ,  , = = = − n i i i A b a a b x 0 , , 并可证明 可用于检查系数 当 确定后为具体值

y 1=b x1-2 图54不等间距开式求积示例 例:要求(x 取节点x= 3开式不等间距 L2(x)= 2)1+ y2 63 26人23 36八32 66 52 x+ dx -x+ 12 6 18 12 42(=22y+y2插值多项式求积公式 浙江大学研究生 8 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 8 y 0 y 1 y 2 y a = 0 1= b y = f (x) 0 x 1 x 2 x       6 1       2 1       3 2 ( ) ( ) ( ) ( )       = − +       − +        +      − +       − +       − +       =       − +        +      − +       − +       − +       =        −      −        −      − +        −      −        −      − +        −      −        −      − = = = = 1 0 2 0 1 2 1 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 3 0 1 0 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 1 0 2 2 0 1 2 0 1 2 1 0 2 1 2 1 12 1 3 1 3 12 9 1 1 12 5 3 18 1 3 1 12 7 3 6 1 12 1 6 4 12 18 1 2 6 5 18 1 6 2 6 7 6 1 2 1 3 2 6 1 3 2 2 1 6 1 3 2 2 1 6 1 2 1 3 2 6 1 3 2 6 1 2 1 6 1 3 2 2 1 3 2 , 2 1 , 6 1 插值多项式求积公式 取节点 开式 不等间距 例：要求 L x dx y y y x x y x x x y x x x y x x x dx y x x dx y x x dx y L x dx y x x y x x y x x L x x x x f x dx 5.2.1 图 5.4 不等间距开式求积示例

例:计算门=exp(2x)bx yo =exp 0.71653131 x=2,=exp(1) 0.36787944 x2 2=exp =0.26359714 210-2y+y2=0437923075=2 /=0.43233 U[/]=-000553 若将以上公式「L(=1y-1x+y2 用于/(xk 只需将x坐标作一线性变换 x0=a+(b-a) x1=a+(b-a) x2=a+(b-a) 浙江大学研究生 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 9 5.2.1   ( ) ( )         ( ) ( ) ( ) ( ) x a (b a) x a b a x a b a x f x dx L x dx y y y U f I f I f y y y Q f x y x y x y I f x dx b a = + − = + − = + − = − + = − =  − + = =  =      = = − = = − =  =      = = − = −    3 2 2 1 6 1 2 1 2 1 0.005593 0.43233 0.437923075 2 1 2 1 0.26359714 3 4 , exp 3 2 , exp 1 0.36787944 2 1 0.71653131 3 1 , exp 6 1 exp 2 2 1 0 1 2 1 0 2 0 0 1 2 2 2 1 1 0 0 1 0 只需将 坐标作一线性变换 用于 若将以上公式 例：计算

522等间距闭式求积公式 Newton-Cotes求积公式 a=xo xI xx x=b 图55等间距求积示意 间距h b +1x x+ ih x1=(- x=x+sh cx=h·ds x1=(s i为正整数,s为正实数 将以上关系式代入 Lagrange插值多项式 求积公式 浙江大学研究生 学位课程

浙江大学研究生 学位课程 > 10 5.2.2 等间距闭式求积公式 Newton-Cotes 求积公式 • • 0 a = x 1 x i x i+1 x x b n = x ( ) ( ) 求积公式 将以上关系式代入 插值多项式 为正整数， 为正实数 间距 Lagrange i s x x s i h x x sh dx h ds x x ih x x i j h x x n b a h i i i j i i − = − = + =  = + − = − = − − = + 0 0 1 图 5.5 等间距求积示意