清华大学电子工程系：小波分析（3/4)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 通知: 补课时间:12月20日(星期四)下午2:00。 地点:艺教212。 考试时间改为1月11日(星期五)上午8:00(电 子系教学办安排的)

通知：  补课时间：12月20日（星期四）下午2: 00。 地点：艺教212。  考试时间改为1月11日（星期五）上午8: 00（电 子系教学办安排的）

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 要点回顾: 窗口傅立叶变换: 定义:WF(b)=/(9a0dt=(0,.m0) 其中:gb(t=g(t-b)em 频域表示:WF(ob)=(F(mGa(n) 其中:F(n)和G。(n)分别为f(和gab(t)的傅立叶变换。 缺点:D2×Dp≥

要点回顾：  窗口傅立叶变换： j t b (t) (t - b)  g = g e 其中： , ( , b) (t) (t) t (t), (t) b - g ,b g , WF f g d f  +   =  = 定义：  其中： 和 分别为 和 的傅立叶变换。 频域表示： ( ) ( ) (t) (t) ( ), ( ) 2 1 ( , b) b b g b , , , F G f g WF F G          = 4 1 D D 2 2 缺点： t   

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 要点回顾: 连续小波变换: 定义:(W/anb)=f(ov0dt=((.w(0) 其中:Va()=aPhw(),a∈Ra≠0;b∈R a 反变换:f()=C(ab()22db 其中:C=」 时域窗口x频域窗口=[b+at-aD2,b+at+aD2] LO/a-Do /(2a),Oo/a+Do/(2a)

要点回顾：  连续小波变换： ( )(a, b) (t) (t) t (t), (t) =  a,b = a,b + −  定义：W f f d f ), a R, a 0; b R a t - b (t) | a | ( -1/2 其中：a,b =     b a a (t) C ( )(a, b) (t) a,b 2 -1 d d f = W f    + − + − 反变换：         =  + −  d | | ( ) ( ) 其中： C [ /a - D /(2a), /a D /(2a)] [b at - aD /2, b at aD /2] 0 0 0 t 0 t    +  时域窗口频域窗口= + + + 

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 要点回顾: 离散参数小波变换: 变换系数:C1k=(ma,ka)=(f(t,vikt 小波函数:V1k()△V()={a0P2v(at-k) 反变换:f(=∑∑/,ky4(0

要点回顾：  离散参数小波变换： C ( )(a , ka ) (t), (t) j ,k j 0 j 变换系数： j ,k = W f 0 = f  (t) (t) | a | (a t - k) -j 0 -j/2 j ,k a ,k aj 0 0 j 0 小波函数：  =  =    j k j ,k j ,k 反变换： f (t) f , (t)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 要点回顾: 母小波函数: 有很大的选择余地 容许条件:C=「 - Y(o) do<或()=v(dt 框架条件:Afs∑∑,vk)≤BfP 紧支集:不为0的区间是有界的 正交性 对称性或反对称性 连续性

要点回顾：  母小波函数： − 有很大的选择余地。   +  + −     =     = - 2 (0) (t) t ( ) C d d | | | | 容许条件： 或 2 j k 2 j ,k 2 框架条件：A || f ||   f ,  B|| f || 正交性 紧支集： 不为0的区间是有界的。 对称性或反对称性 连续性

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 标准正交小波基 标准正交小波基的优点: 变换系数没有冗余,能够很好地反映信号的性质。 标准正交小波基与它的对偶相同。 计算简单: 变换系数:C1k=(f(,v(0 重构信号:f(=∑∑CV1 假设: 以下使用的都是二进小波,即小波函数的形式为 V1k(t)=2v(2t-k)

标准正交小波基：  标准正交小波基的优点： − 变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。 − 标准正交小波基与它的对偶相同。 − 计算简单： =   j k j ,k j ,k 重构信号： f (t) C (t) C (t), (t) j ,k = j ,k 变换系数： f  假设： − 以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为： (t) 2 (2 t - k) -j/2 -j j,k = 

@ 华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 多分辨分析的基本思想: 假设有一阶梯宽度为1的函数,现用阶梯宽度比 1大(例如:阶梯宽度为2)的函数来逼近: 0<t<1 0≤t≤1/2 op(t) others 12<t<1 others

多分辨分析的基本思想：  假设有一阶梯宽度为1的函数，现用阶梯宽度比 1大（例如：阶梯宽度为2)的函数来逼近：           = 0 others -1, 1/2 t 1 1, 0 t 1/2 (t) ,       = 0, others 1, 0 t 1 (t)

清华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 多分辨分析的基本思想: 总结以上性质: 假设Ⅴ表示在[k2,(k+1)2],k∈Z各区间上分段恒定 的函数,则有: V cV 对于任何信号t∈L(R),ft在V上的正交投影PV 反映的是用2大小的尺度观察信号得到的结果,故v 实际上表示的是观察信号的分辨率。 令W=辆vkk∈Z},则PV1与PV之差可用信号( 在W上的投影来表示。 0≤t<1/2 0<t<1 12<t<1 0. others th others

多分辨分析的基本思想：  总结以上性质： − 假设Vj表示在[k2j , (k+1)2j ]，kZ各区间上分段恒定 的函数，则有： Vj  Vj-1 − 对于任何信号f(t)L 2 (R)， f(t)在Vj上的正交投影PVj 反映的是用2 j大小的尺度观察信号得到的结果，故Vj 实际上表示的是观察信号的分辨率。 − 令Wj = {j,k, k  Z}，则PVj-1与PVj之差可用信号f(t) 在Wj上的投影来表示。       = 0, others 1, 0 t 1 (t)           = 0 others -1, 1/2 t 1 1, 0 t 1/2 (t)

华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 信号空间L?(R)的分解: 假设由母小波v(产生的小波函数{vk(t),jkeZ 是L2(R)空间的标准正交基,令: j, k V=,Wm=W:W2④ 则有: WW;,Vi≠j W.⊥V V:团W:=V,W m=J

信号空间L2 (R)的分解：  假设由母小波(t)产生的小波函数{j,k(t), j,kZ} 是L2 (R)空间的标准正交基，令： W { (t), k Z} j = j,k  =  = +  +  + = + m j 1 j 2 m j 1 Vj W W W 则有：W W , i j i ⊥ j   Wj ⊥Vj Vj-1 = Vj  Wj m J m j VJ W= =  j j Z L 2 (R) W  =  j j Z V  =   Vj+1  Vj  Vj-1 

华大学电子工程系 智能图文信息处理实验室 多分辨分析的定义: 多分辨率分析是L?(R)空间中相继逼近的函数空 间V的序列,这些闭子空间V有以下性质 ∈Z (2)∪ (3)∩ (4)f(t)∈V分→f(2t)∈V或f(2t)∈V (5)f(t)∈V→f(t-k)eV,Vk∈Z 或f(∈V→f(t-2k)∈V,Vk∈Z (6)存在o(t)∈Vo,使得ok(t)=q(t-k)构成V中的一个标准正交基

多分辨分析的定义：  多分辨率分析是L2 (R)空间中相继逼近的函数空 间Vj的序列，这些闭子空间Vj有以下性质： (1) Vj  Vj-1 , jZ (2) V L (R) 2 j j Z =   (3) V {0} j j Z =   (4) (t) V (2t) V (2 t) V0 j f  j  f  j-1 或 f  (t) V (t - 2 k) V , k Z (5) (t) V (t - k) V , k Z j j j 0 0           f f f f 或 (6) 存在(t) V0，使得0,k (t)  (t - k)构成V0中的一个标准正交基