第八章二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数,这种函数在物 理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用.例如在 三维空间的几何问题中,一般二次曲面在直角坐标系下表 示为三元二次函数,通过对二次型的讨论,可以研究二次 曲面的分类 本章主要讨论: 1.二次型的理论; 2.空间曲面与曲线; 3.二次曲面的分类 哈工大数学系代数与几何教研室
第八章 二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函数在物 理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用． 例如在 三维空间的几何问题中，一般二次曲面在直角坐标系下表 示为三元二次函数，通过对二次型的讨论，可以研究二次 曲面的分类. 本章主要讨论： 1． 二次型的理论； 2． 空间曲面与曲线； 3. 二次曲面的分类．
81实二次型 8.1.1二次型的定义及矩阵表示 1.定义8.1n个变量x1,x2…,xn的二次齐次函数 f(x,x2…x)=∑∑axx 1x1+a12x1X2 +a21x2X1+c2x2+…+a2m2x2x tanIxnxtan2Inx ,t a1x2+2a12x1x2+…+2a +a2x2+2a23x2x3+…+2 …+a 称为n元二次型,简称二次型 当a为实数时,称/为实二次型,a为复数时/为复二次型 本书只讨论实二次型 哈工大数学系代数与几何教研室
8.1 实二次型 8.1.1 二次型的定义及矩阵表示 1．定义8.1 个变量 的二次齐次函数 称为 n 元二次型，简称二次型. 1 2 , , , n x x x 1 2 1 1 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = = 2 = + + + a x a x x a x x 11 1 12 1 2 1 1 n n 2 + + + + a x x a x a x x 21 2 1 22 2 2 2 n n+ 2 + + + + a x x a x x a x n n n n nn n 1 1 2 2 2 = + + + a x a x x a x x 11 1 12 1 2 1 1 2 2 n n 2 2 + + + + + + a x a x x a x x a x 22 2 23 2 3 2 2 2 2 n n nn n n 当 为实数时，称 为实二次型， 为复数时 为复二次型， 本书只讨论实二次型． aij f aij f
2.矩阵形式 则二次型的矩阵形式为 f(x,x2…x)=XX,A为二次型f的矩阵,r()为二次型f 的秩 二次型∫<>A对称阵 注:讨论二次型问题,首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵,反之,给定一个对称阵,会写出以 它为矩阵的二次型.这里的关键概念是二次型的矩阵是 个对称矩阵 哈工大数学系代数与几何教研室
2．矩阵形式： 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , n n ij ji n n nn n a a a x a a a x a a a a a x = = = A X 则二次型的矩阵形式为 为二次型 的矩阵, 为二次型 的秩． 1 2 ( , , , ) , n f x x x = X AX A f r( ) A f 3．二次型 对称阵 注：讨论二次型问题，首要的问题是给定二次型能准确 地写出二次型的矩阵，反之，给定一个对称阵，会写出以 它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一 个对称矩阵. |~| f ⎯⎯→ 对应 A
例1设二次型f=x2-x2-2xx2+x1x3+4x3试写出二次型 的矩阵.(f为三元二次型) 解:将交叉项xx系数÷2即平均分配给x及x(x1=xx 的二次型的系数矩阵A为 A=-1-12 20 哈工大数学系代数与几何教研室
例1 设二次型 试写出二次型 的矩阵.（ 为三元二次型） 2 2 f x x x x x x x x = − − + + 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 f f 解：将交叉项 的系数 2 即平均分配给 及 的二次型的系数矩阵 为 . i j x x i j x x ( ) j i i j j i x x x x x x = A 1 1 1 2 1 1 2 1 2 0 2 − = − − A
例2将二次型∫=xx2+x3x4写成矩阵形式 解:∫是一个四元二次型,先写出二次型的矩阵 0 00 XI 000 000 xxx 0 0 00 000 f=XAX=(x,,x2,x3,x4) 000 哈工大数学系代数嗚何教研过
例２ 将二次型 写成矩阵形式. 解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵 1 2 3 4 f x x x x = + f 1 2 3 4 1 0 0 0 2 1 000 2 , 1 000 2 1 0 0 0 2 x x x x = = A X 1 2 1 2 3 4 3 4 1 0 0 0 2 1 000 2 ( , , , ) 1 000 2 1 0 0 0 2 x x f x x x x x x = = X AX
10 例3设A=-101,试写出以A为矩阵的二次型 01 分析:A是一个3阶对称阵,对应的三元二次型,把a与 an合并后写出二次型 解:设X=(x,x2,x3 1-10 ∫=XAX=(x,x2,x3 01 x+2xx 哈工大数学系代数与几何教研室
例３ 设 ，试写出以 为矩阵的二次型. 分析： 是一个3阶对称阵，对应的三元二次型，把 与 合并后写出二次型. 1 1 0 1 0 1 0 1 1 − = − − A A A aij aji 解：设 T 1 2 3 X = ( , , ) x x x 1 T 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 3 1 1 0 ( , , ) 1 0 1 2 2 0 1 1 x f x x x x x x x x x x x − = = − = − + − − X AX
8.1.2合同矩阵 1.定义82(合同)二个n阶方阵A和B,彐可逆阵C 使CAC=B,则称A与B合同( Congruent)记成A=B 矩阵合同的定义与矩阵相似的定乂很相似,也是n阶方 阵之间的一种等价关系.即 2.合同→等价,合同→>等秩,反之都不成立.但不等 秩,则一定不合同. 3.合同关系具有以下性质: (1)自反性:A=A.(2)对称性:A=B则B=A (3)传递性:A=B,B=C,则A=C (4)A与B合同,则r(4)=(B):丑C可逆,CAC=B. 哈工大数学系代数与几何教研室
8.1.2 合同矩阵 1．定义8.2（合同）二个 阶方阵 和 ， 可逆阵 ，使 ，则称 与 合同（Congruent）记成 . 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 阶方 阵之间的一种等价关系. 即 2．合同 等价，合同 等秩，反之都不成立．但不等 秩，则一定不合同. n A B C T C AC B= A B A B n → → 3．合同关系具有以下性质： （1）自反性： . （2）对称性： 则 . （3）传递性： ，则 . （4） 与 合同，则 . 可逆， . A A A B B A A B B C , A C A B r r ( ) ( ) A B = C T C AC B=
4.(二次型的变换)合同二次型 设二次型f=XAX,经可逆线性变换X=CY(C可逆) f=(Cr'Acr=YC acr=r By 其中B=CTAC,即A与B合同,B仍是对称阵 所以经可逆线性变换后,二次型的对应矩阵是合同的 也可以说:合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 「我们教材是将变量看成R"-个基下的坐标,C是一个基到 另一个基的过渡矩阵,合同阵是不同基下的矩阵] 5.实对称阵A(不但和对角阵相似,也与对角阵合 同).由于实对称可正交相似对角化.所以存在正交阵P 使PP=PP=A,所以实对称阵都与对角阵合同.换句 话说,就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变 换化成只有平方项(x2)而没有混合项xx.这就引出了二次 型的标准形的概念 哈工大数学系代数与几何教研室
4．（二次型的变换）合同二次型 设二次型 ，经可逆线性变换 （ 可逆） 其中 ，即 与 合同， 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 [我们教材是将变量看成 个基下的坐标， 是一个基到 另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵]. T f = X AX X CY = C T T T T f = = = ( ) CY ACY Y C ACY Y BY T B C AC = A B B n R − C 5．实对称阵 （不但和对角阵相似，也与对角阵合 同）. 由于实对称可正交相似对角化. 所以存在正交阵 ， 使 所以实对称阵 都与对角阵合同. 换句 话说，就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变 换化成只有平方项 而没有混合项 . 这就引出了二次 型的标准形的概念. Λ P 1 T , − P AP P AP = = Λ A 2 ( )i x i j x x
202 例4与矩阵A=0-30既相似又合同的矩阵是() 2 (A)-1 (B) 0 C (D) 分析:A是实对称矩阵,所以彐正交阵,使它和一个对 角阵既相似又合同,对角阵的对角元恰是A的特征值 哈工大数学系代数与几何教研室
2 3 0 − 例4. 与矩阵 既相似又合同的矩阵是（ ） （A） . （B） . （C） . （D） . 2 0 2 0 3 0 2 0 2 = − A 1 1 0 − 3 4 0 − 2 3 0 − 分析： 是实对称矩阵，所以 正交阵，使它和一个对 角阵既相似又合同，对角阵的对角元恰是 A 的特征值. A
A-20-2 解:|E-A=02+30=2(+3)2-4) 0 A的特征值是0,-34,与A既相似又合同的矩阵是3 ,所以应选(D) 哈工大数学系代数与几何教研室
解： 的特征值是 ，与 既相似又合同的矩阵是 ，所以应选（D）. 2 0 2 | | 0 3 0 ( 3)( 4) 2 0 2 − − − = + = + − − − E A A 0, 3,4 − A 4 3 0 −
