1806考试1解答 2000年3月1日 (a)对其増广短阵进行行变换,则第3行变为[0.0,0,-1],其相应于0= 1,因此方程无解 (b)同理可知,要使方程Ax=b有解,b必须满足b+b2=b (c)若A可逆,则Ax=b总有解 题 (a) 100 A=LU 011 003 b)从(a)中的U可以看出其每一列都是主无列。由A知主元列是其列空间 的一纽基:(2,2,0),(2,5,3),(1,0,2)。因为秩为3,则列空间是整个P3空间 因此可选B3的标准基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)作为列空间的另外一组基。事 实上,R3中任何三个线性独立的向量都是列空间的一组基 (c)A的秩为3,因为有3个主元 题3 (a)这是一个LU分解。U是A的梯形形式。因此可看到它有3个主元 因此A的秩是3。 (b)N(A)的一组基是由其特解组成。这些特解是:(-1,-2,1,0,0),(-1,1,0,-1,1)
18.06 ✁ 1 ✂✄ 2000 ☎ 3 ✆ 1 ✝ ✞ 1. (a) ✟✡✠✡☛✌☞✎✍✌✏✎✑✡✒✡✒✡✓✡✔✡✕✗✖✌✘ 3 ✒✡✓✡✙ [0, 0, 0, −1] ✕✗✠✡✚✡✛✡✜ 0 = −1 ✕✣✢✥✤✧✦✧★✧✩✧✪✧✫ (b) ✬✥✭✧✮✧✯✧✕✗✰✧✱✧✦✧★ Ax = b ✲✧✪✧✕ b ✳✧✴✧✵✧✶ b1 + b2 = b3 ✫ (c) ✷ A ✮✧✸✧✕✗✖ Ax = b ✹✧✲✧✪✧✫ ✞ 2. (a) A = LU = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 1 0 3 −1 0 0 3 (b) ✺ (a) ✻✽✼ U ✮✿✾✽❀✿❁✽✠❃❂❃❄❃❅❃❆❃❇❃❈❃❉❃❅❃✫❋❊ A ✯❃❈❃❉❃❅❃❇❃✠❃❅✿●❃❍ ✼❃❄❃■❃❏❃❑ (2, 2, 0),(2, 5, 3),(1, 0, 2) ✫▲✢✽✙❃▼❃✙ 3 ✕◆✖❃❅✿●❃❍✽❇✿❖✽P R3 ●❃❍✽✫ ✢✥✤✧✮✧◗ R3 ✼✧❘✧❙✧❏ (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) ❚✧✙✧❅❯●✧❍✥✼❯❱✥❲✧❄✧■✧❏✧✫✗❳ ❨✥❩✕ R3 ✻✥❬✧❭✧❪✧P✧❫✧❴✧❵✧❛✧✼❯❜✥❝✧❆✧❇✧❅❯●✧❍✥✼✧❄✧■✧❏✧✫ (c)A ✼✧▼✧✙ 3 ✕✣✢✥✙✧✲ 3 P✧❈✧❉✧✫ ✞ 3. (a) ❞✧❇✧❄✧P LU ❡✧✪✧✫ U ❇ A ✼✧❢✧❣✧❣✧❤✧✫✣✢✥✤✧✮✧❀✧✐✧❥✧✲ 3 P✧❈✧❉✧✕ ✢✥✤ A ✼✧▼✧❇ 3 ✫ (b)N(A) ✼❦❄❦■❦❏❦❇❧❊♠✠❦♥❦✪❦■❦♦❦✫♣❞❦q❃♥❦✪❃❇❦❑ (−1, −2, 1, 0, 0),(−1, 1, 0, −1, 1) ✫ 1
(c)给定一个特解(-30,-15,0,10,0),则其通解为 0+ 001.L +x50 10 0 题4. (a)一组基是 (b)由A的倍数组成的子空间是一个合A而不含B的子空间 (c)对,若一个子空间V包含A和B,则其含有A-B=Ⅰ (d)答案和(b)相同 題5.由许多不同的证明方法。其中之一是:若A2=0,则A2不可逆,因此A 不可逆。因为可逆矩阵的积可逆,也即是说A
(c) r✧s✧❄✧P✧♥✧✪ (−30, −15, 0, 10, 0) ✕✗✖✧✠✧t✧✪✧✙ −30 −15 0 10 0 + x3 −1 −2 1 0 0 + x5 −1 1 0 −1 1 ✞ 4. (a) ❄✧■✧❏✧❇ " 1 0 0 0 # , " 0 1 0 0 # , " 0 0 1 0 # , " 0 0 0 1 # ✫ (b) ❊ A ✼✧✉✧✈✧■✧♦✧✼✧✇❯●✧❍✥❇✧❄✧P✧① A ②✧③✧① B ✼✧✇❯●✧❍✥✫ (c) ✟✧✕✗✷✧❄✧P✧✇❯●✧❍ V ④✥① A ⑤ B ✕✗✖✧✠✧①✧✲ A − B = I ✫ (d) ⑥✧⑦✧⑤ (b) ✚❯✬✥✫ ✞ 5. ❊✥⑧❯⑨✥③❯✬✥✼✧⑩❯❶✥✦✧❷✧✫❋✠❯✻✥❸✧❄✧❇✧❑❋✷ A2 = 0 ✕❋✖ A2 ③✧✮✧✸✧✕❹✢✥✤ A ③✧✮✧✸✧✫✣✢✥✙✧✮✧✸✧✍❯✏✥✼✧❺✧✮✧✸✧✕✗❻❯❼✥❇✧❽ A ✮✧✸✧✕ A2 ✮✧✸✧✫ 2