哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第四章 n维向量与线性方程组

第四章n维向量与线性方程组 在许多实际问题中,只用二,三维几何向量是远 远不够的。比如,在气象观测中,我们不仅要了解在某 个时刻云团所处的位置,还希望知道温度,压强等物理 参数。因此,有必要引入n元数组构成的n维向量的概 念。本章主要研究如下几个问题: (1)线性相关与线性无关; (2)向量组的最大无关组与秩; (3)线性方程组解的结构与通解 系代数与几何教研室

第四章 n 维向量与线性方程组 在许多实际问题中，只用二，三维几何向量是远 远不够的。比如，在气象观测中，我们不仅要了解在某 个时刻云团所处的位置，还希望知道温度，压强等物理 参数。因此，有必要引入 n 元数组构成的 n 维向量的概 念。本章主要研究如下几个问题： （1） 线性相关与线性无关； （2） 向量组的最大无关组与秩； （3） 线性方程组解的结构与通解

4.1n维向量 4.1.1n维向量的定义 定义4.1数域F内的n个数a,a2…,an组成的有序数组 (a1,a2,…,an)或 称为数域F上的n维行(或列)向量,数a1叫做此n维 向量的第个分量.如果F是实数域,称其为实向量;如 果F是复数域称其为复向量;记R"为实数域R上n维 向量的全体构成的集合. 哈工大数学系代数与几何教研室

4.1 n 维向量 4.1.1 n 维向量的定义 定义 4.1 数域 F 内的 n 个数 n a ,a , ,a 1 2  组成的有序数组 ( , , , ) 1 2 n a a  a 或       an a a  2 1 称为数域 F 上的 n 维行(或列)向量,数ai叫做此 n 维 向量的第i 个分量.如果 F 是实数域,称其为实向量; 如 果 F 是复数域,称其为复向量;记 n R 为实数域 R 上 n 维 向量的全体构成的集合

设a=(a1,a2…,an)B=(b bn)都是n维向量,当 且仅当a=b(=1,2…,m)时,称向量a与B相等,记作 a= B 分量都是0的向量称为零向量,记作0.即 0=(0,0,,0) 若a=(a an),则(-a12-a2,…an)称为的负向量, 记为-a 若A=(an)mx,则A的每一行(列)可表示一个行(列)向 量,因此由分块阵的定义,A有两种特殊的向量表示形 式 (1)当向量y=(an1a2…an)为矩阵A的第(=12,…,m)行时 矩阵A可以表示为: 哈工大数学系代数与几何教研室

设 ( , , , ), ( , , , )   a1 a2  an   b1 b2  bn 都是 n 维向量,当 且仅当 a b (i 1,2, , n) i  i   时,称向量  与  相等,记作   . 分量都是 0 的向量称为零向量,记作 0.即 0=（0,0,…,0） 若 ( , , , )   a1 a2  an ,则( , , , ) a1 a2  an 称为 的负向量, 记为  . 若 ij m n a   A ( ) , 则 A 的 每 一 行 ( 列 ) 可 表 示 一 个 行 ( 列 ) 向 量 , 因 此 由 分 块 阵 的 定 义 , A 有 两 种 特 殊 的 向 量 表 示 形 式 : (1)当 向量 ( , , , ) i  ai1 ai2  ain  为矩阵 A 的第i(i  1,2,,m)行时, 矩阵 A 可以表示为:

YI (2)当向量 a=0=12…n为矩阵A的第1=12n列时, 矩阵A可以表示为:A=(a1a2…an 4.1.2n维向量的运算 定义4.2设=(a1,a2 β=(b,b2,…,b1)都是n维 向量,那么,n维向量:(a1+b,a2+b2…,an+b1)叫做向 量a与B的和,记做a+B,即 哈工大数学系代数与几何教研室

       m     2 1 A (2) 当向量 ( 1,2, , ) 2 1 j n a a a mj j j j            为矩阵A的第 j( j  1,2,, n)列时, 矩阵 A 可以表示为:   A  1  2   n 4 . 1 . 2 n 维向量的运算 定义 4.2 设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n   a a  a   b b  b 都是 n 维 向量,那么, n 维向量: ( , , , ) a1  b1 a2  b2  an  bn 叫做向 量 与  的和,记做   ,即

a+B=(a,+b, a2+b2, .,an+b 利用负向量,可规定向量的减法: B 定义4.3设a=(a1,a2…,an)是n维向量,k是数,那么, n维向量:(kan,ka2…,Mn)叫做k与向量a的乘积记做 ka,即 ka=(ka1,kd2,…kan 向量的加法与向量的数乘统称为向量的 线性运算。 n维向量的线性运算满足下面的八条性质: 哈工大数学系代数与几何教研室

( , , , )     a1  b1 a2  b2  an  bn 利用负向量,可规定向量的减法: ( , , , )     a1  b1 a2  b2  an  bn 定义 4.3 设 ( , , , )   a1 a2  an 是n 维向量,k 是数, 那么, n 维向量: ( , , , ) 1 2 n ka ka  ka 叫做 k 与向量  的乘积,记做 k ,即 ( , , , ) 1 2 n k  ka ka  ka 向 量 的 加 法 与 向 量 的 数 乘 统 称 为 向 量 的 线 性 运 算 。 n 维 向 量 的 线 性 运 算 满 足 下 面 的 八 条 性 质 :

对任意n维向量a,B,y和数k及l,有 (1)a+B=B+a (2)(a+B)+y=a+(+ (3)a+0=a (4)a+(a)=0 (5)l=a,(-1x= (6)k(la)=(k (7) k(a+B)=ka+kB (8)(k+D)a=ka+la 哈工大数学系代数与几何教研室

(1)     (2) ()    (3) 0 (4) () 0 (5) 1 , (1)  (6) k(l) (kl) (7) k() kk (8) (k l)  kl. 对任意 n 维向量,  , 和数 k 及 l ,有：

4.2向量组的线关系 4.2.1向量的线性组合 定义对于n维向量组a,a2…n及n维向量β如果有一组 数k1,k2,…,k使得B=ka1+k2a2+…+knm成立 则称向量是向量组a,a2…an的线性组合,或称B可由向量 组a1,a2…an线性表示,此时称k1,k2…,kn为组合系数或表示系 数 例如,3维向量组 0.0 B=(a 哈工大数学系代数与几何教研室

      a , b , c  0, 0, 1 0, 1, 0 1, 0, 0 3 2 1         定义 对于 n 维向量组   m , , , 1 2  及 n 维向量 如果有一组 数 m k , k , , k 1 2  使得 m m   k11  k 2 2  k  成立 则称向量 是向量组   m , , , 1 2  的线性组合,或称 可由向量 组   m , , , 1 2  线性表示,此时称 m k , k , , k 1 2  为组合系数或表示系 数. 4.2 向量组的线关系 4.2.1 向量的线性组合 例如, 3 维向量组

则B=a1+b2+cE3 即B可由向量组s1,2,3线性表示,且表示系数是B的分量a,b,c 4 例 3,B 显然B=2a1+a2 即B可由向量组a,a2线性表示,且表示系数是:2,1 例如,n维向量组 E1 哈工大数学系代数与几何教研室

则 1 2 3   a  b  c 即 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示,且表示系数是 的分量a,b,c. 例                       1 1 4 , 1 3 2 , 1 2 1 1  2  显然   21  2 即 可由向量组 , , 1  2 线性表示, 且表示系数是:2,1. 例如，n 维向量组                             1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 , 1 2 2 1      n an a a    

显然a=a1E1+a2E2+……+anEn 即a可由向量组,2,…,n线性表示,且表示系数为a的 n个分量.称向量组c1,52…,5n为n维(标准)单位向量组 对于线性方程组 c1x1+a12x2+…+a1 21x1+a2x2+…+a2nxn=b ax + a +∴+a 记系数阵 哈工大数学系代数与几何教研室

显然 a a an n        1 1 2 2 即 可由向量组 n  , , , 1 2  线性表示, 且表示系数为 的 n 个分量.称向量组 n  , , , 1 2  为 n 维(标准)单位向量组. 对于线性方程组                  m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b          1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 (1) 记系数阵 ( , , , ) 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 n m m mn n n a a a a a a a a a                  A 

bb:b 则线性方程组(1)可以用向量的形式表示为: X,a, +x a .+nan (2) 定理4.1设n维列向量组B,a1,a2…,am,则B可由n维向量组 a,a2,…,n线性表示的充要条件为线性方程组 xax1+x2a2+…+xnn=B (3) 有解。 4.2.2向量组的线性相关与线性无关 对于n维零向量0可由任意n维向量组a1,2…,4线 性表示.事实上: 哈工大数学系代数与几何教研室

              m n x x x X b b b   2 1 2 1  , 则线性方程组(1)可以用向量的形式表示为: x11  x2 2  xn n   (2) 定理 4.1 设 n 维列向量组    m , , , , 1 2  ,则 可由 n 维向量组    m , , , 1 2  线性表示的充要条件为线性方程组 x11  x22  xm m   (3) 有解。 4.2.2 向量组的线性相关与线性无关 对于n 维零向量0 可由任意n 维向量组   m , , , 1 2  线 性表示.事实上: