第五章线性方程组 5.1齐次线性方程组 5.1.1齐次线性方程组解的性质 线性方程组 +a,、x+…+a,x=b a2Ix,+a22x2+--+a2nxn=b amIE+am2x2+-+amx=b 可表示为矩阵形式 X=B 当β=0时称AX=0为齐次线性方程组 哈工大数学系代数与几何教研室
第五章 线性方程组
齐次线性方程组AX=0解的存在性 对于n元齐次线性方程组AX=0有: (I)AX=0只有零解r(4)=n; (II)AX=0有非零解r(4)<n 齐次线性方程组AX=0解的性质 性质5.1设5,2为齐次线性方程组AX=0的两个解向 量,k为任意数,则 (1)51+52为AX=0的解向量 (2)k5为AX=0的解向量 证(1)由A(1+2)=A()+A(52)=0+0=0 得51+2为AX=0的解向量; (2)由A(k2)=k(与)=k0=0 得k1为AX=0的解向量 注性质5.1说明:齐次线性方程组AX=0的任意解向量 组的任意线性组合仍为大籐鞏与几何教研室
5.1.2基础解系的存在性与求法 定义51设51,52…是齐次线性方程组AX=0的一组解 向量,如果 1)51,2,…n线性无关, (2)齐次线性方程组AX=0的任意解向量组可由 5152…52线性表示 则称5,2,…,5为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系 定理5.1设A是mxn阶矩阵,若r(4)=r<n,则齐次线性 方程组AX=0存在一个由n-r个线性无关的解向量 5构成的基础解系,且它们的线性组合 X=k151+k252+…+kn-,nr (其中k,k2…k n-7 为任意常数) 为AX=0的所有解.称(3)式为AX=0的通解 哈工大数学系代数与几何教研室
AX=0的求解方法 (1)将系数阵A用初等行变换化为规范的阶 梯形阵,即A->R4=A (2)以A2为系数阵得同解方程组AX=0,将方程组AnX= 移项,添项得AX=0的通解 X=k151+k252+…+k n-Pon-r (其中k,k2…k为任意常数 由通解得AX=0的基础解系51,52,…,5 例1求齐次线性方程组 3x,+5x2+6x2-4x,=0 +2x2+4x2-3x1=0 的基础解系及通解 4x,+5x-2x,+3x,=0 3x1+8x,+24x2-19x,=0 解(1)将系数阵A用初等行变焦为规范的阶梯形阵,即 教研室
-4 24-3 0-87 016 A 0000 0000 3824-19 0000 0000 (2得同解方程组Ax=0为:{x-8+2=0 +6x2-5x,=0 (3)移项得 x,=8x,-7 2=-6x3+5x4 再添项得齐次线性方程组的所有解 1=8x x,=-6x3+5X(其中x3,x1为任意常数) 哈工大数学系代数与几何教研室
齐次线性方程组的所有解: 8x3-7x 8x3 6x,+5 0 0 (其中x,x,为任意常数) 哈工大数学系代数与几何教研室
得通解 8 X +x (x,x为任意常数) 0 0 8 6 得基础解系51 2 0 例2设A,B分别为m×n和n×p矩阵,且AB=0,试证明 (4)+r(B)≤n 哈工大数学系代数与几何教研室
证:将B按列分块为B=(B1,月2…,Bn) 由AB=A(B3,B2…,Bn) (AB,AB2,…,AB2)=0 得AB,=0, 即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解向量 (1)若B=0,则显然有r(A)+r(B)≤n, (2)若B≠0,则说明AX=0有非零解,从而AX=0存在基础 解系512…,n,其中r=r(4.因而B的列向量都可由 1592555n-y 线性表示.由命题5.1可知 r(B)≤r(51,52,…,9n=) 综合(1),(2)有r(4)+(B)≤n 哈工大数学系代数与几何教研室
5.2非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 x1+a1,x2+…+a1x=b 21+a22x2+…+a2nx x1+am2x2+……+a n M 可表示为矩阵形式AX=B 或表示为向量形式xa1+x2a2+…+x,an=B 521非齐次方程组解的性质 定理非齐次线性方程组AX=B有解 向量尸可由A的列向量a1a2,…,an线性表示 向量组a,a 与a an,B等价 B) 冷>r(4)=r(4)=r(4,B) 哈工大数学系代数与几何教研室
5.2.1非齐次方程组解的性质
线性方程组AX=B解的性质: 性质5.1若m,n2是X=的两个解向量,是AX=0的解 向量则 1)n1-n2是AX=0的解向量 (2)5+n1是AX=B的一个解向量 (3)AX=B的任意一个解向量n都可表示成 7=50+70 其中仍为AX=B的解,5。为AX=0的一个解 证(1)由 A(71-72)=1(1)-A1(72)=B-B=0 得n-n2是AX=0的解向量 (2)由A(5+n1)=4(5)+A()=0+B=B 得5+m是AX=P的一个解向量 哈工大数学系代数与几何教研室