学习资料 新教科书的3.2部分 32A的零空间:求解AX=0 这部分是关于AX=0的解空间的问题題。A是方阵或一般的矩阵。显然 X=0是它的解。若A是可逆阵,则X=0是唯一解。若A不可逆,则 AX=0有非零解。每个解X都属于A的零空间.下面我们要找出所有的这些 解,弄清这个重要的子空间 定义:A的零空间是由AX=0的所有的解向量枸成的线性空间。记为 N(4) 验证所有的解向量构成一个子空间。任取解向量X,Y∈N(A)即AX= 0,AY=0.由矩阵乘法有A(X+Y)=0+0=0,A(cX)=cAX=c0=0.因此 X+Y,cX∈N(A)故N(A)为子空间 强调一点:解向量有n个分量。这些解向量X都是R中的向量.故N(A)是 F的子空间。列空间C(A)也是R的子空间 若AX=b,b≠0,则AX=b的解不构成一个子空间。只有b=0时向量 ⅹ=0才是方程的解,而当解集合中不包含X=0时,解集合不构成子空间 3.4节将说明AX=b的解的结构 例1:x+2y+3z=0,即AX=0,其中A=123,X=y Aⅹ=0的解空间是过原点的一个平面。这个平面就是A的零空间。方程x+ 2y+3z=6的解向量也构成一个平面,但不是一个子空间 例2:描述A= 36的零化空间 解:对于AX=0,用消元法
✁ ✂✄ ☎✝✆✝✞✝✟✝✠ 3.2 ✡✝☛ 3.2 A ✠✝☞✍✌✝✎✑✏✓✒✝✔ AX = 0 ✕ ✡✖☛✘✗✚✙✜✛ AX = 0 ✠✘✔✚✌✘✎✜✠✚✢✜✣✘✤ A ✗✘✥✚✦✜✧✘★✘✩✠✘✪ ✦ ✤✓✫✭✬ X = 0 ✗✭✮ ✠✭✔✭✤✓✯ A ✗✭✰✭✱✲✦✴✳✓✵ X = 0 ✗✭✶✭★✔✭✤✓✯ A ✷✸✰✭✱✭✳✓✵ AX = 0 ✹✸✺☞✝✔✝✤✼✻✝✽✝✔ X ✾✝✿✝✛ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤✼❀✍❁✑❂✝❃✝❄✝❅✍❆✑❇✹ ✠✕✝❈ ✔ ✳✓❉✝❊✕✽✝❋✝❄✝✠✝●✍✌✝✎✑✤ ❍✘■✏ A ✠✘☞✚✌✘✎ ✗✚❏ AX = 0 ✠✘❇✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆✘✠✘❖✘P✚✌✘✎✜✤❘◗✘❙ N(A) ✤ ❚✘❯❇ ✹ ✠✘✔✚❑✜▲✘▼✘◆★✽✭●✚✌✭✎✜✤❘❱✘❲✭✔✚❑✴▲ X, Y ∈ N(A) ❳ AX = 0, AY = 0 ✤ ❏ ✪ ✦✜❨✘❩✘✹ A(X + Y )=0+0=0,A(cX)=c·AX=c·0=0 ✤✸❬✜❭ X + Y ,cX ∈ N(A) ❪ N(A) ❙✝●✍✌✝✎✑✤ ❫✝❴ ★✝❵✏❛✔✍❑✑▲✹ n ✽ ☛ ▲✝✤ ✕✝❈✔✍❑✑▲ X ✾✝✗ Rn ❜ ✠✍❑✑▲✝✤ ❪ N(A) ✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤✓❝✍✌✝✎ C(A) ❞✝✗ Rn ✠✝●✍✌✝✎✑✤ ✯ AX = b, b 6= 0 ✳❛✵ AX = b ✠✝✔✷▼✝◆★✽✝●✍✌✝✎✑✤❢❡ ✹ b = 0 ❣ ❑✑▲ X = 0 ❤✑✗✝✥✝✐✠✝✔✳✴❥✍❦ ✔✝❧✝♠ ❜ ✷✍♥✑♦ X = 0 ❣✝✳ ✔✓❧✝♠✷▼✝◆✝●✍✌✝✎✑✤ 3.4 ♣✑q✝r✍s AX = b ✠✝✔✝✠✝t✝▼✝✤ ✉ 1 ✏ x+2y+3z = 0 ✳✈❳ AX = 0 ✳①✇ ❜ A= h 1 2 3 i ✳ X = x y z ✤ AX = 0 ✠✝✔✍✌✝✎ ✗✝②✝③✝❵✠ ★✽✝④✍❁✑✤ ✕✽✝④✍❁✑⑤✗ A ✠✝☞✍✌✝✎✑✤ ✥✝✐ x + 2y + 3z = 6 ✠✝✔✍❑✑▲❞ ▼✝◆★✽✝④✍❁ ✳✓⑥✝✷✝✗✝★✽✝●✍✌✝✎✑✤ ✉ 2 ✏✓⑦✝⑧ A = " 1 2 3 6 # ✠✝☞✝⑨✍✌✝✎✑✤ ✔✝✏✓⑩✛ AX = 0 ✳✓❶✍❷✑❸✝❩ 1
+2x2=0 x1+2r2=0 1+6x2=0 事实上,只有一个方程。这是因为笫二个方程相当于笫一个方程的两边同乘以 3。故x1+2x2=0与3x1+6r2=0是相同的。直线x1+2x2=0即为 描述解的直线的一种有效的方法是給岀直线上一点,即一个特解。直线上所 有的点都可以用这一特解的倍数来表示。我们设x2=1,从x1+2x2=0知 x2=-2。则特解(-2,1)生成零空间N(4) (A)={cslc∈R,s 通过AX=0的特解得到N(A)。这是描述N(A)的一种最好的方法。N(A) 是这些特解的所有的线性鉏合。这个例子中,我们只有一个特解,所以得到的零 空间是一条直线 对于例1中的平面,我们有2个特解:1=1,2=0它们在 A=123的零空间x+2y+3z=0上。这个平面上的所有向量均为 s1,s2的线性组合 注意这个例子中的特解81,82的特别之处:首先,它们的后两个分量中都含 有1,0。这些分量是自由的。我们可以给它们以特殊的值。而第一个分量-2, 3则是由AX=0决定的 23的第一列含有主元1,故X的第一个分量不是自由的 我们只需对没有主元的那些列所对应的自由分量給以特定的值0,1。通过下 面的几个例子,我们会清楚的看到这种用特解来描述零空间的完美性。 例3.描述以下3个矩阵的零空间。 A 1224 解:AX=0只有零解X=0。零空间N(A)=Z只有一个零向量X=0
" x1 + 2x2 = 0 3x1 + 6x2 = 0 # → " x1 + 2x2 = 0 0 = 0 # ❹✲❺✴❻✳ ❡ ✹✭★✽ ✥✭✐✤ ✕ ✗ ❬✴❙✲❼✴❽✭✽✥✭✐✭❾✲❦✴✛ ❼ ★✽ ✥✭✐✠✭❿✭➀✲➁ ❨✲➂ 3 ✤ ❪ x1 + 2x2 = 0 ➃ 3x1 + 6x2 = 0 ✗✘❾ ➁✜✠✘✤✓➄✘❖ x1 + 2x2 = 0 ❳ ❙ N(A) ✤ ⑦✝⑧✝✔✝✠✝➄✝❖✝✠ ★✝➅✝✹✝➆✠✥✝❩✝✗✝➇ ❆✑➄✝❖✝❻★✝❵✝✳✸❳✑★✽✝➈✝✔✝✤✓➄✝❖✝❻✝❇ ✹ ✠ ❵✘✾✘✰✚➂✜❶ ✕ ★➈✘✔✘✠✘➉✘➊✘➋✘➌✘➍✘✤✓❂✓❃✘➎ x2 = 1 ✳✓➏ x1 + 2x2 = 0 ➐ x2 = −2 ✤ ✵➈✝✔ (−2, 1) ➑ ◆✝☞✍✌✝✎ N(A) ✏ N(A) ={c · s | c ∈ R, s = " −2 1 # } ✤ ➒② AX=0 ✠➓➈➓✔➓➔➓→ N(A) ✤ ✕ ✗ ⑦➓⑧ N(A) ✠★➓➅➓➣➓↔✠✥➓❩✤ N(A) ✗✕✝❈➈✝✔✝✠✝❇✹ ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ✕✽✉● ❜ ✳ ❂✝❃✍❡ ✹✝★✽✝➈✝✔✳ ❇ ➂➔✝→✝✠✝☞ ✌✝✎ ✗✝★✝➙ ➄✝❖✝✤ ⑩ ✛✉ 1 ❜ ✠✝④✍❁ ✳ ❂✝❃✹ 2 ✽✝➈✝✔✝✏ s1= −2 1 0 ✳ s2= −3 0 1 ✮ ❃✝➛ A = h 1 2 3 i ✠✘☞✚✌✘✎ x + 2y + 3z = 0 ❻✘✤ ✕✽✘④✚❁✜❻✘✠✘❇✹ ❑✜▲✘➜✘❙ s1, s2 ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➝✝➞✝✕✽✉● ❜ ✠✝➈✝✔ s1, s2 ✠✝➈✝➟✝➠✝➡✝✏✓➢✝➤✳✓✮ ❃✝✠✝➥✝❿✝✽☛ ▲ ❜ ✾✝♦ ✹ 1 ✳ 0 ✤ ✕➓❈☛ ▲✗➧➦✼❏ ✠➓✤➨❂➓❃✰➩➂➫➇➓✮❃ ➂➈➓➭➓✠➓➯✝✤ ❥ ❼ ★✽ ☛ ▲ −2 ✳ −3 ✵✝✗✍❏ AX = 0 ➲ ❍✠✝✤ A = h 1 2 3 i ✠✍❼ ★ ❝♦✝✹✝➳✝❸ 1 ✳✓❪ X ✠✍❼ ★✽ ☛ ▲ ✷✘✗➵➦✑❏ ✠ ✳ ❂✝❃✍❡✑➸✝⑩✝➺✹✝➳✝❸✠✝➻❈❝✘❇✝⑩✘➼✝✠ ➦✑❏✜☛▲➇✍➂➈❍✠✘➯ 0 ✳ 1 ✤ ➒② ❀ ❁✑✠✝➽✝✽✉● ✳ ❂✝❃✝➾❊✍➚ ✠✝➪✝→ ✕ ➅✝❶ ➈✝✔✝➋✝⑦✝⑧✝☞✍✌✝✎✑✠✍➶✑➹✝P✝✤ ✉ 3. ⑦✝⑧ ➂❀ 3 ✽✝✪ ✦✠✝☞✍✌✝✎✑✤ A = " 1 2 3 8 # ✳ B = " A 2A # = 1 2 3 8 2 4 6 16 ✳ C = h A 2A i = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # ✔➓✏ AX = 0 ❡ ✹ ☞➓✔ X=0 ✤➘☞➩✌➓✎ N(A) = Z ❡ ✹➓★✽➓☞➩❑➫▲ X=0 ✤ 2
由消元法 0 12|x1 0 38x2 0 0 由于方阵A是可逆的,故没有其它解。N(A)只含有X=0 对于矩阵 BX=0中的前2个方程要求X=0,后2 个方程也要求X=0。当我们再添加一些方程时,零空间是不会变大的。当我 们給矩阵B添加一行时,在零空间中我们将对X添加新的限制条件 对于矩阵C就不同了。它是在A上添加了几列,而不是几行。解向量X有 4个分量。消元法使得前两列中产生主元,而后两个非主元列是自由的 1224 U=1224 0204 主元列自由列 对于自由变量x3,x4,我们可以给特定的值0,1。而非自由变量x1,x2则 UX=0给出。这样就可以得到N(C)(N(U)的两个特解 PLoo 0 variables 特解是81= 和s2= 0 下面有更多讨论。继续应用消元法。对上三角阵,我们将从两方面继续化简 这个矩阵, 应用向上消元法,将主元上面的元素化为0 2.用整行除以它的主元,将主元化为1 以上的这些变换不会改变方程右端的零向量。零空间仍然不变。当我们用上 面的变换得到R时,零空问将很容易看出:
❏✝❷✑❸✝❩ " 1 2 3 8 # " x1 x2 # = " 0 0 # −→ " 1 2 0 2 # " x1 x2 # = " 0 0 # ➔ " x1 = 0 x2 = 0 # ✤ ❏✑✛✝✥✍✦ A ✗✝✰✝✱✠ ✳✓❪➺ ✹✝✇✝✮✔✝✤ N(A) ❡ ♦✝✹ X = 0 ✤ ⑩ ✛✪ ✦ B ✳ N(B) = Z ✤ BX = 0 ❜ ✠✝➴ 2 ✽ ✥✝✐❄✝✒ X = 0 ✳ ➥ 2 ✽ ✥✝✐✝❞❄✝✒ X = 0 ✤ ❦ ❂✝❃✝➷✝➬✝➮★❈ ✥✝✐✓❣✖✳ ☞✍✌✝✎ ✗✝✷➾✝➱✘✃✝✠✘✤ ❦ ❂ ❃➇ ✪ ✦ B ➬✝➮★✝❐✝❣✝✳ ➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ❂✝❃q ⑩ X ➬✝➮✝☎✝✠✝❒✝❮ ➙✝❰✤ ⑩ ✛✪ ✦ C ⑤ ✷ ➁✍ÏÐ✤ ✮✝✗➛ A ❻✝➬✝➮➵ÏÐ➽✝❝✳Ñ❥✝✷✝✗➽❐ ✤Ñ✔✍❑✑▲ X ✹ 4 ✽ ☛ ▲✝✤ ❷✑❸✝❩✝Ò➔✓➴✝❿✝❝ ❜✑Ó ➑✝➳✝❸✝✳✓❥ ➥✝❿✝✽ ✺✑➳✝❸❝✗➵➦✑❏ ✠ C = " 1 2 2 4 3 8 6 16 # −→ U=" 1 2 2 4 0 2 0 4 # ↑ ↑ ↑ ↑ ➳✝❸❝ ➦✑❏ ❝ ⑩ ✛➧➦➫❏ ➱➓▲ x3, x4 ✳ ❂➓❃✰➩➂➫➇➈❍✠➓➯ 0 ✳ 1 ✤ ❥➩✺➩➦➫❏ ➱➓▲ x1, x2 ✵ ❏ UX = 0 ➇ ❆✑✤ ✕✝Ô⑤ ✰✍➂➔✝→ N(C)(N(U)) ✠✓❿✝✽✝➈✝✔✝✤ ➈✝✔✗ s1= −2 0 1 0 Õ s2 = 0 −2 0 1 ← pivot ← variables ← free ← variables ❀✍❁ ✹✝Ö✍×✑Ø✝Ù✤✓Ú✝Û✝➼❶✍❷✑❸✝❩✤✓⑩✝❻✝Ü✍Ý ✦✑✳ ❂✝❃q✝➏❿✥ ❁✑Ú✘Û✝⑨✍Þ ✕✽✝✪ ✦ ✤ 1. ➼ ❶ ❑✑❻ ❷✑❸✝❩✝✳✓q✝➳✝❸❻✍❁✑✠ ❸✝ß ⑨✝❙ 0 ✤ 2. ❶✍à✑❐✝á✍➂✑✮ ✠ ➳✝❸✝✳✓q✝➳✝❸⑨✝❙ 1 ✤ ➂❻✝✠✕✝❈➱✝â✷➾✝ã✝➱✥✝✐✝ä✝å✠✝☞✍❑✑▲✝✤✓☞✍✌✝✎✑æ✝✬✷ ➱✝✤ ❦ ❂✝❃❶ ❻ ❁✑✠✝➱✝â✝➔✝→ R ❣✝✳ ☞✍✌✝✎ q✝ç✝è✍é ➪✍❆✑✏ 3
1224 1020 R 010 第1行减去第2行做为新的第1行,第2行乘以1/2做为新的第2行,即 得R。最初的两个方程可以化简为x1+2x3=0,x2+24=0。它们恰好是 方程RX=0。其中R的主元列是恒等矩阵。特解仍然是s1,s2。这从RX=0 中更容易看出 在讨论m×η矩阵A,N(A),及N(A)中的特解之前,先强调一点:对 于许多矩阵来说,AX=0的解只有X=0它们的零空间只含有一个向量,即 零向量。生成b=0的列的组合是“零组合”或“平凡纽合”,其解是平凡的即 X=0,但其思想却是不平凡的 种平凡零空间Z的情形是很重要的,这说明A的列向量是线性无关的, 除了零组合以外,再没有哪个列向量的线性合可以给出零向量。从而所有的列 都是主元列,没有一列是自由的。以后你会再次看到这种无关性思想 用消元法解方程AX=0 这是很重要的。我们解有n个未知量的m个方程。用消元法,方程的右边都 是0,通过行变换,左边可以得到简化,随后我们会得到方程的解。请记住解方 程的两个步骤1.向前消无法,使得A变为上三角阵U(或是它的简化形式B) 2.向后代换法,解UX=0或RX=0 你会注意到当A和U的主元个数≤n时向后代换法的一点不同。在本章中 我们是对所有的矩阵来讨论的,而不仅仅是可逆方阵 主元是非零的。主元以下的元素都是0。但可能会出现某一列没有主元。在 这种情形下,不要停止,请继续下一列。请看下面的例子,第一个例子是3×4 矩阵 A=22810 331013 显然 是第一个主元。消去主元下面的 1123 A→0044 0044 第2列主元位置上是0,我们从0的下面找出一个非零的元素,然后进行行 互换,因为这个0元素下面的元素也是0 第2列消元法不起作用;这从
U = " 1 2 2 4 0 2 0 4 # −→ R = " 1 0 2 0 0 1 0 2 # ❼ 1 ❐✝ê✝ë ❼ 2 ❐✝ì❙✝☎✝✠✍❼ 1 ❐✝✳ ❼ 2 ❐✝❨✍➂ 1/2 ì ❙✝☎✝✠✍❼ 2 ❐✝✳✸❳ ➔ R ✤ ➣✝í✠✝❿✝✽✥✝✐✝✰✍➂⑨✍Þ✑❙ x1 + 2x3 = 0, x2 + 2x4 = 0 ✤ ✮ ❃✝î↔✝✗ ✥✝✐ RX = 0 ✤ ✇ ❜ R ✠ ➳✝❸❝✗✝ï✝ð✪ ✦ ✤✼➈✝✔✝æ✝✬✗ s1, s2 ✤ ✕ ➏ RX=0 ❜ Ö✝è✍é ➪✍❆✑✤ ➛Ø✝Ù m × n ✪ ✦ A ✳ N(A) ✳✑ñ N(A) ❜ ✠✝➈✝✔✝➠✝➴✳ ➤❫✝❴ ★✝❵✏✑⑩ ✛✝ò✍× ✪ ✦➋r✝✳ AX = 0 ✠✝✔✍❡ ✹ X = 0 ✮❃✝✠✝☞✍✌✝✎✝❡ ♦✝✹✝★✽✍❑✑▲✳➓❳ ☞✍❑✑▲✝✤ ➑ ◆ b = 0 ✠✝❝✝✠✝↕✝♠✗ôó☞✝↕✝♠✝õ ✧ôó④✝ö✝↕✝♠✘õ ✳✓✇✔ ✗ ④✝ö✘✠ ❳ X = 0 ✳✓⑥✓✇✝÷✝ø✝ù✝✗✝✷ ④✝ö✝✠✝✤ ✕ ➅ ④✝ö✝☞✍✌✝✎ Z ✠✝ú✝û✗✝ç❋✝❄✝✠ ✳ ✕ r✍s A ✠✝❝✍❑✑▲✗ ❖✝P✝ü ✙✠ ✳ á ÏÐ☞✝↕✝♠ ➂✑ý✝✳ ➷✝➺✹✝þ✽✝❝✍❑✑▲✝✠✝❖✝P✓↕✝♠✰✍➂✑➇ ❆✑☞✍❑✑▲✝✤ ➏✝❥ ❇ ✹ ✠✝❝ ✾✝✗✝➳✝❸❝ ✳ ➺ ✹✝★❝✗➵➦✑❏ ✠✝✤ ➂➥✝ÿ✝➾✝➷✁✝➪✝→ ✕ ➅ü ✙P ÷✝ø · · · ❶➩❷➫❸➓❩✔ ✥➓✐ AX = 0 ✕ ✗➓ç❋➓❄➓✠➓✤➘❂➓❃➓✔✹ n ✽✄✂➐ ▲➓✠ m ✽ ✥➓✐✤ ❶➩❷➫❸➓❩➓✳➘✥➓✐✠ ä➀ ✾ ✗ 0 ✳ ➒②✝❐➱✝â✳✆☎➀ ✰✍➂➔✝→✍Þ✑⑨✳✆✝➥✝❂✝❃✝➾✝➔✝→ ✥✝✐✠✝✔✝✤✆✞✝◗✁✟✝✔✥ ✐ ✠✝❿✝✽✡✠☞☛ 1. ❑✑➴ ❷✑❸✝❩✝✳➫Ò➔ A ➱✝❙✝❻✝Ü✍Ý ✦ U ✌ ✧✝✗✝✮ ✠✍Þ✑⑨✝û✁✍ R) 2. ❑✑➥✁✎✝â❩✝✳ ✔ UX = 0 ✧ RX = 0 ÿ✝➾➝✝➞→ ❦ A Õ U ✠ ➳✝❸✽✝➊ ≤ n ❣ ❑✑➥✁✎✝â❩ ✠ ★✝❵✝✷ ➁✑✤ ➛✁✏✁✑ ❜ ❂✝❃✗ ⑩✝❇✹ ✠✝✪ ✦➋Ø✝Ù✠ ✳✓❥✝✷✁✒✁✒✝✗✝✰✝✱✝✥✍✦✤ ➳✝❸✝✗✍✺☞✝✠✝✤ ➳✝❸✍➂❀✝✠ ❸✝ß✝✾✝✗ 0 ✤ ⑥✝✰✁✓➾✍❆☞✔✡✕★ ❝✝➺✹✝➳✝❸✤✜➛ ✕ ➅ ú✝û✝❀✳✓✷❄✁✖✁✗✳ ✞✝Ú✝Û✓❀★ ❝✝✤✘✞✝➪✘❀✍❁✜✠ ✉● ✳ ❼ ★✽✉●✗ 3 × 4 ✪ ✦ A= 1 1 2 3 2 2 8 10 3 3 10 13 ✫✝✬ a11 = 1 ✗ ❼ ★✽ ➳✝❸✤ ❷✑ë✝➳✝❸❀✍❁✑✠ 2 ✳ 3 A → 1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 4 4 ❼ 2 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻ ✗ 0 ✳ ❂✝❃➏ 0 ✠✝❀✍❁✑❅✍❆ ★✽ ✺☞✝✠ ❸✝ß✝✳ ✬✝➥✁✛❐✝❐ ✜â ✳ ❬✑❙ ✕✽ 0 ❸✝ß ❀✍❁✑✠ ❸✝ß✝❞✝✗ 0 ✳ ❇ ➂ ❼ 2 ❝ ❷✑❸✝❩✝✷✁✢✁✣✝❶✁✤ ✕ ➏ 4
记号上看有点麻烦,因为我们希望得到的是一个矩形矩阵 接下来看第3列,第2个主元是4(但它在第3列),从第3行中减去第2 行中的元素,使得主元以下元素均为0,得到 1123 U=0044(只有2个主元)(最后一个方程变为0=0 0000 第4列主元位置上也是零,但在它下面没有别的行可以互换,因此向前消元 法结来。这个矩阵有3行4列,但只有两个主元.原方程AX=0看起来含有 3个不同的方程,但笫三个方程是前两个的和,当前两个方程满足时,它是自动 满足的(0=0).消无法揭示了方程纽的一个内在本质 现在用向后代换法来求UX=0的所有解.对有4个未知量,2个主元的 方程是有许多解的。问題是如何把它们全部写出来。一个很妤的方法是把主元变 量与自由变量分开 P.主元变量是x1和x3,这是因为1,3列含有主元; F.自由变量是x2和x4,这是因为2,4列不含主元 自由变量m2和4可以任意取值。向后代换法可以找到主元变量x1和x3(在 笫2章的例子中没有一个变量是自由的.当A可逆时所有的变量都是主无变量) 对于自由变量最简单的选择是0和1。这样就给出了特解 特解 令x2=1,x4=0,通过向后代换法知3=0.,x1=-1; 令r2=0,4=1,通过向后代换法知x3=-1, 这些即是UX=0的特解,因此也AX=0的特解。它们在零空间中,且每 一个解都是它们的线性组合 2-x4 通解为X=x2 0 特解 特解 请再看这个答案,这是本章的主要结果。向量s1=「-11001是令
◗✁✥✝❻✝➪✹✝❵✁✦✁✧✝✳ ❬✑❙✝❂✝❃✁★✡✩✑➔✝→✝✠ ✗✝★✽✝✪✝û✝✪ ✦ ✤ ✪❀✘➋✘➪✚❼ 3 ❝ ✳ ❼ 2 ✽ ➳✘❸✘✗ 4(⑥✘✮ ➛✚❼ 3 ❝ ) ✳✓➏ ❼ 3 ❐ ❜ ê✘ë ❼ 2 ❐ ❜ ✠ ❸✝ß✝✳✓Ò➔ ➳✝❸✍➂❀❸✝ß ➜✝❙ 0 ✳ ➔✝→✝✏ U = 1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0 (❡ ✹ 2 ✽ ➳✝❸)(➣ ➥ ★✽ ✥✝✐➱✝❙ 0=0) ✤ ❼ 4 ❝➳✝❸✁✙✁✚❻❞✝✗☞ ✳➫⑥➛ ✮ ❀✍❁✑➺✹ ➟✝✠❐✝✰✍➂✜â ✳ ❬✑❭✍❑✑➴ ❷✑❸ ❩ t✁✫✝✤ ✕✽✝✪ ✦✑✹ 3 ❐ 4 ❝ ✳✓⑥ ❡ ✹ ❿✝✽➳✝❸✤ ③✝✥✝✐ AX = 0 ➪✢ ➋♦✝✹ 3 ✽ ✷ ➁✑✠ ✥✝✐✝✳➫⑥ ❼✑Ü✝✽✥✝✐✝✗➴✝❿✝✽✝✠ Õ✳➓❦ ➴✝❿✝✽✥✝✐✁✬✁✭✝❣✝✳➫✮✝✗➵➦✯✮ ✬✁✭✠ (0=0) ✤ ❷✑❸✝❩✁✰➍➵Ï ✥✝✐↕✝✠ ★✽✡✱✑➛✁✏✁✲✝✤ ✔✝➛❶ ❑✑➥✁✎✝â❩ ➋✝✒ UX = 0 ✠✝❇✹✔✝✤✓⑩✹ 4 ✽✁✂➐ ▲ ✳ 2 ✽ ➳✝❸✠ ✥✝✐✝✗✝✹✝ò✍× ✔✝✠✝✤✑✢✑✣✗✁✳✁✴✁✵✝✮ ❃✁✶✡✡✷ ❆✑➋✝✤ ★✽ ç✝↔✠✥✝❩➓✗✁✵✝➳➓❸➱ ▲ ➃➵➦✑❏ ➱✝▲☛✁✸✤ P. ➳✝❸➱✝▲✗ x1 Õ x3 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 1 ✳ 3 ❝♦✝✹✝➳✝❸✁✤ F. ➦✑❏ ➱✝▲✗ x2 Õ x4 ✳ ✕ ✗ ❬✑❙ 2 ✳ 4 ❝ ✷✝♦✝➳✝❸✤ ➦➫❏ ➱➓▲ x2 Õ x4 ✰➩➂❱➞❲➓➯➓✤ ❑➫➥✄✎➓â❩➓✰➩➂❅➓→ ➳➓❸➱➓▲ x1 Õ x3(➛ ❼ 2 ✑➓✠✉● ❜ ➺ ✹➓★✽➓➱➓▲✗➵➦➫❏ ✠✝✤ ❦ A ✰➓✱➓❣❇ ✹ ✠➓➱➓▲✾➓✗➓➳✝❸➱✝▲) ⑩ ✛➵➦✑❏ ➱✝▲➣ Þ☞✹✝✠✁✺✁✻✗ 0 Õ 1 ✤ ✕✝Ô⑤ ➇ ❆✍ÏÐ➈✝✔✝✤ ➈✝✔ −. ✼ x2=1 ✳ x4=0 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = 0, x1 = −1 ✤ −. ✼ x2=0 ✳ x4=1 ✳ ➒② ❑✑➥✁✎✝â❩✝➐ x3 = −1, x1 = −1 ✤ ✕✝❈ ❳✑✗ UX = 0 ✠✝➈✝✔✳ ❬✑❭❞ AX = 0 ✠✝➈✝✔✝✤ ✮ ❃✝➛✝☞✍✌✝✎ ❜ ✳✯✽✻ ★✽✝✔✾✝✗✝✮ ❃✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ➒✔✝❙ X = x2 −1 1 0 0 + x4 −1 0 −1 1 = −x2 − x4 x2 −x4 x4 (1) ➈✝✔ ➈✝✔ ➒✔ ✞✘➷✘➪✕✽✿✾✿❀✳ ✕ ✗✏✿✑✘✠ ➳❄✘t✿❁✘✤✸❑✜▲ s1 = h −1 1 0 0 i ✗✿✼ 5
r2=1,4=0时的特解。笫2个特解是令r=0,r4=1而得到的。所有的解 都是81,82的线性组合。这两个特解在零空间N(A)中,它们的线性组合张 满了整个零空间 MATLAB零基编码可以计算这些特解,它们还可以研究零空间矩阵N的 列。AX=0的通解是这些列的线性组合。一旦我们有了特解,我们就可以得 到整个零空间 对于每个自由变量都有一个特解。若没有自由变量,则意味着有n个主元变 量,则UX=0和AX=0的解是唯一的,即X=0,所有的变量都是主元变 量,这时N(A)和N(U)都仅合零向量。在没有自由变量,即每列都有主无的 情况下,从零基得到的值将是一个0矩阵 例4求N(U),其中U= 157 U的第2列没有主元,故丌2是自由的,有特解x2=1。由向后带入法有 9x3=0,得x3=0。又由x1+52=0,得x1=5。UX=0的解为数乘以特 解 5 N(U)是R3中的一条直线 0 它是由此特解的倍数构成一个自由变量, N= nulbasis(U)只有一列 我们继续对U使用消元法,使得主元以上元素都为0,主元处为1。7可 以被消去,主元由9变为1。最终将U化R: 157 150 009 化简为R 001 这样可以清楚地看到特解。=[-510 阶梯形矩阵 向前消元法使得A变 这个过程是从一个m×η矩阵A开始的 过行变换,其中包含行变换。当当前列没有主元时,继续下一列。m×n的U 称为阶梯形矩阵 这里有一个4×7阶梯形矩阵。它有3个主元,已用黑体字标出
x2 = 1, x4 = 0 ❣ ✠✝➈✝✔✝✤✸❼ 2 ✽✝➈✝✔✗✁✼ x2 = 0, x4=1 ❥➔✝→✝✠✝✤✓❇✹ ✠✝✔ ✾✝✗ s1 ✳ s2 ✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ ✕❿✝✽✝➈✝✔✝➛✝☞✍✌✘✎ N(A) ❜ ✳✓✮ ❃✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✁❂ ✬ Ï à✽✝☞✍✌✝✎✑✤ MATLAB ☞✿❃✿❄✿❅✰✚➂❇❆✿❈✕✘❈➈✘✔✳✓✮ ❃✿❉✰✚➂❇❊●❋ ☞✚✌✘✎✜✪ ✦ N ✠ ❝✝✤ AX = 0 ✠➒✔ ✗✕✝❈❝✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✘✤ ★✿❍❂✘❃✹ Ï ➈✝✔✳ ❂✘❃✝⑤✰✚➂➔ → à✽✝☞✍✌✝✎✑✤ ⑩ ✛✻✝✽ ➦✑❏ ➱✝▲✾✝✹✝★✽✝➈✝✔✝✤Ñ✯✝➺✹➵➦✑❏ ➱✝▲✳Ñ✵➞✁■✁❏ ✹ n ✽ ➳✝❸➱ ▲ ✳✼✵ UX = 0 Õ AX = 0 ✠✝✔✗✝✶✝★✠ ✳✓❳ X = 0 ✳ ❇ ✹ ✠✝➱✝▲✾✝✗✝➳✝❸➱ ▲ ✳ ✕ ❣ N(A) Õ N(U) ✾✁✒✝♦☞✍❑✑▲✝✤✓➛✝➺✹➵➦✑❏ ➱✝▲✳✸❳ ✻✝❝ ✾✝✹✘➳✘❸✠ ú✁❑✝❀✳✓➏☞✁❃✝➔✝→✝✠✝➯q✝✗✝★✽ 0 ✪ ✦ ✤ ✉ 4 ✒ N(U) ✳✓✇ ❜ U = " 1 5 7 0 0 9 # U ✠✚❼ 2 ❝✘➺✹✘➳✘❸✘✳✓❪ x2 ✗ ➦✜❏ ✠ ✳✓✹➈✘✔ x2=1 ✤ ❏ ❑✜➥✿▲✿▼❩✘✹ 9x3=0 ✳ ➔ x3=0 ✤✘◆ ❏ x1+5x2=0 ✳ ➔ x1=-5 ✤ UX = 0 ✠✝✔✝❙✝➊❨✍➂➈ ✔✝✏ X = x2 −5 1 0 N(U) ✗ R3 ❜ ✠ ★✝➙ ➄✝❖ ✮✝✗✍❏ ❭✝➈✝✔✝✠✝➉✝➊✝▼✝◆★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✳ N = nulbasis(U) ❡ ✹✝★❝ ❂✝❃✝Ú✝Û✝⑩ U Ò✝❶✍❷✑❸✝❩✝✳✓Ò➔ ➳✝❸✍➂❻ ❸✝ß✝✾❙ 0 ✳✓➳✝❸➡✝❙ 1 ✤ 7 ✰ ➂☞❖✍❷✑ë✝✳✓➳✝❸✍❏ 9 ➱✓❙ 1 ✤ ➣✁P✝q U ⑨ R ✏ U = " 1 5 7 0 0 9 # ⑨✍Þ✑❙ R = " 1 5 0 0 0 1 # ✕✝Ô✰✍➂✑❊✍➚☞◗➪✝→✝➈✝✔ s = h −5 1 0 i ❘✁❙û✝✪ ✦ ❑✑➴ ❷✑❸✝❩✝Ò➔ A ➱✝❙ U ✳ ✕✽ ②✝✐✝✗✝➏✝★✽ m × n ✪ ✦ A ✸✁❚✠✝✤ ➒ ②✝❐➱✝â✳✓✇ ❜ ♥✑♦✝❐➱✓â✖✤ ❦✝❦ ➴✝❝✝➺✹✝➳✝❸✝❣✝✳ Ú✝Û✝❀★ ❝✝✤ m × n ✠ U ❯❙ ❘✁❙û✝✪ ✦ ✤ ✕✁❱✹✝★✽ 4 × 7 ❘✁❙û✝✪ ✦ ✤ ✮✝✹ 3 ✽ ➳✝❸✝✳❳❲Ð❶✁❨✁❩✁❬✁❭ ❆✑✤ 6
0 x rrr ar U=00000x2三个主元变量是1,x2,6四个自由变量 0000000 是x3,x4,x5,x7N(U)中有4个特解 问題:这个矩阵的列空间及零化空间是什么? 回答:由于每个列向量都有4个分量,因此它们都在Ⅳ4中.(不在R3中!).由 每个列向量的第4个分量都是0,知列向量的任意的线性组合一列空间中的任 意向量,它的第4个分量都是0.列空间C(U)是由所有形如b=(b1,b2,b3,O) 的向量构成。对于这些向量我们用向后代入法解UX=b。这些向量b是7个 列向量的所有可能的线性组合 零空问NU)是R的一个子空间对于每个自由变量均有一个特解,UX 0的解集合是由四个特解的所有线性组合构成的 由于第3,4,5,7列没有主元,因此自由变量为x3,x4,x5,x7 2.取一个自由变量为1,其余的自由变量取值均为0 3.对于主元变量x1,x2,x6解UX=0 4.这给出了零空间矩阵N中4个特解中的一个 首先,我们可以得到阶梯形矩阵中的非零行这些非零行中的第一个非零的 元素为主元,它们依阶梯形向下排列。通常的行变换(在教学编码plu中)可使 得每个主元以下的元素均化为0 通过统计主元数,我们可以得到一个非常重要的定理。设A的列数大于行 数,也即n>m,这时至少有一个自由变量.AX=0最少有一个特解,且是 非零的 3B若AX=0的未知量的个数大于方程的个数(A的列数大于行数),则它有 非零解 换句话说m×n矩阵的零空间中总有非零向量.因为主元个数不会超过m,至 少有n-m个自由变量.(矩阵只有m行,而每行不会有两个主元.)当然或许 某行没有主元,这意味着又有一个自由变量。强调一点:当有一个自由变量时 可设它为1,则方程AX=0有一个非零解 重复说一下:这里最多有个m个主元.n>m时,AX=0至少有一个自
U = x x x x x x x 0 x x x x x x 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 Ü✘✽➳✘❸➱✘▲✗ x1, x2, x6 ❪✽ ➦✜❏ ➱✘▲ ✗ x3, x4, x5, x7 N(U) ❜ ✹ 4 ✽✝➈✝✔ ✢✑✣✝✏ ✕✽✝✪ ✦✠✝❝✍✌✝✎ ñ ☞✝⑨✍✌✝✎ ✗✁❫✡❴✡❵ ❛ ✾➓✏ ❏➫✛✻➓✽➓❝➩❑➫▲✾➓✹ 4 ✽ ☛ ▲ ✳ ❬➫❭✮❃✾ ➛ R4 ❜ ✤ (✷ ➛ R3 ❜❝❜) ✤ ❏ ✻✝✽✓❝✍❑✑▲✝✠✍❼ 4 ✽ ☛ ▲ ✾✝✗ 0 ✳✓➐❝✍❑✑▲✝✠✝❱➞✠✝❖✝P✝↕✝♠ – ❝✍✌✝✎ ❜ ✠✝❱ ➞ ❑✑▲✳ ✮ ✠✍❼ 4 ✽ ☛ ▲ ✾✝✗ 0 ✤ ❝✍✌✝✎ C(U) ✗✍❏ ❇ ✹ û✳ b = (b1, b2, b3, 0) ✠✍❑✑▲✝▼✝◆✝✤✴⑩✛✕✝❈ ❑✑▲✝❂✝❃❶ ❑✑➥✁✎✁▼❩ ✔ UX = b ✤ ✕✝❈ ❑✑▲ b ✗ 7 ✽ ❝✍❑✑▲✝✠✝❇✹✝✰✁✓✠✓❖✝P✝↕✝♠✝✤ ☞➩✌➓✎ N(U) ✗ R7 ✠★✽➓●➩✌➓✎➫✤ ⑩ ✛✻➓✽ ➦➫❏ ➱➓▲➓➜✹➓★✽➓➈➓✔✳ UX = 0 ✠✝✔✝❧✝♠✗✍❏ ❪✽✝➈✝✔✝✠✝❇✹ ❖✝P✝↕✝♠✝▼✝◆✝✠✝✤ 1. ❏✑✛ ❼ 3 ✳ 4 ✳ 5 ✳ 7 ❝✝➺✹✝➳✝❸✝✳ ❬✑❭ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ x3, x4, x5, x7 ✤ 2. ❲ ★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ 1 ✳✓✇✁❞✠ ➦✑❏ ➱✝▲✝❲✝➯✝➜✝❙ 0 ✤ 3. ⑩ ✛✝➳✝❸➱✝▲ x1, x2, x6 ✔ UX = 0 ✤ 4. ✕ ➇ ❆✍ÏÐ☞✍✌✝✎✑✪ ✦ N ❜ 4 ✽✝➈✝✔ ❜ ✠ ★✽✝✤ ➢✝➤✳ ❂✝❃✰✍➂➔✝→ ❘✁❙û✝✪ ✦ ❜ ✠ ✺☞❐ ✤ ✕✝❈ ✺☞❐ ❜ ✠✍❼ ★✽ ✺☞✝✠ ❸✝ß ❙ ➳✝❸✝✳✓✮ ❃✁❡❘✁❙û✍❑✑❀✁❢✝❝✘✤ ➒✁❣✠❐ ➱✝â (➛✝✆✡❤☞❄✁❅ plu ❜ ) ✰✝Ò ➔✝✻✝✽➳✝❸✍➂❀✝✠ ❸✝ß ➜✝⑨✝❙ 0 ✤ ➒②✿✐✿❆✘➳✘❸➊ ✳ ❂✘❃✰✚➂➔✘→ ★✽ ✺ ❣ ❋✘❄✭✠ ❍✿❥✤✓➎ A ✠✘❝✘➊✘✃✛✘❐ ➊ ✳ ❞✍❳ n > m ✳ ✕ ❣✁❦✡❧✑✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲ ✤ AX=0 ➣✡❧✑✹✝★✽✝➈✝✔✳❇✽✝✗ ✺☞✝✠✝✤ 3B ✯ AX = 0 ✠✁✂➐ ▲✝✠✝✽✝➊✝✃✛✝✥✝✐✠✝✽✝➊ (A ✠✝❝✝➊✝✃✛✝❐➊ ) ✳✓✵✝✮✝✹ ✺☞✝✔✝✤ â✡♠☞♥r m × n ✪ ✦✠✝☞✍✌✝✎ ❜☞♦ ✹✍✺☞✍❑✑▲✝✤✸❬✜❙ ➳✘❸✽✘➊✷ ➾✁♣② m, ❦ ❧✑✹ n − m ✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝✤ (✪ ✦ ❡ ✹ m ❐✝✳Ñ❥✻ ❐✝✷➾ ✹ ❿✝✽➳✝❸✤ ) ❦ ✬✧✝ò ✕❐ ➺ ✹✝➳✝❸✝✳ ✕✝➞✁■✁❏ ◆ ✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲✝✤ ❫✝❴ ★✝❵✏ ❦✑✹✝★✽ ➦✑❏ ➱✝▲❣✝✳ ✰➎ ✮ ❙ 1 ✳✓✵✝✥✝✐ AX = 0 ✹✝★✽ ✺☞✝✔✝✤ ❋✁qr✝★❀✝✏ ✕✁❱➣✍×✑✹✽ m ✽ ➳✝❸✤ n > m ❣✝✳ AX = 0 ❦✡❧✑✹✝★✽ ➦ 7
由变量和一个非零解。事实上,它有无多个解。这是因为cX0也是一个解 中Ⅺo为特解)。零空间当。包含了一条解直线。当有两个自由变量时,有两个 特解,这时零空间更大 零空问是一个子室间。的“明月数”是自由变量的个数。这种中例想在 章中是有具法定义和细解的 的阶为形矩阵R 11 3 对于阶为形矩阵U=0044,继续用行变换。第2行除以4,使 得两个主元均为1。从第1行中减去新的第2行0011的2倍,这样 就使得笫2个主元上面和下面的元素都为0。化的阶为形矩阵是 1101 R=0011 R的主元为1,主元列上非主元处的元素均为0。用向上消元法可以使得主元 以上元素均为0 原 若A是可逆的,则它的化的行阶为形矩阵R=Ⅰ,其中Ⅰ为恒等矩阵 这是用行变换得到的 R中的0使得我们很容易就找到其特解(和前面一样) 取x2=1,x4=0。解BX=0,则有x1=-1,x3=0 2.取x2=0,x4=1。解RX=0,则有x1=-1,x3=-1 1和0是在 2列中(添加一个就 1和-1是在R的第4列中 添加一个就)。通过变,我们可以从R中得到特解。AX=0或UX=0 或RX=0的通解是这两个特解的线性鉏合。零空间N(A)=N(U)=N(B) 是由以下向量构成的 0 =(AX=0的通解) 书的下一部分将”重讨论R。用 MATLAB但令[B, pimco=rref(A)可
❏ ➱✝▲ Õ★✽ ✺☞✝✔✝✤Ñ❹✍❺✑❻✳Ñ✮✓✹ü✁r × ✽✝✔✝✤ ✕ ✗ ❬✑❙ cX0 ❞✝✗✝★✽✝✔ (✇ ❜ X0 ❙✝➈✝✔) ✤✓☞✍✌✝✎ ❦✡❧✝♥✑♦ Ï ★✝➙ ✔✝➄✝❖✝✤ ❦✑✹❿✝✽ ➦✑❏ ➱✝▲❣✝✳✓✹❿✝✽ ➈✝✔✳ ✕ ❣ ☞✍✌✝✎ Ö ✃✝✤ ☞✍✌✝✎ ✗✝★✽✝●✍✌✝✎✑✤ ✮ ✠ óts➊✝õ ✗➵➦✑❏ ➱✝▲✘✠✝✽✘➊✝✤ ✕ ➅ ❜☞✉÷✝ø➛✁✏ ✑ ❜ ✗✝✹✁✈✁❩❍✝■ Õ ✇✁①✔✁②✝✠✝✤ ③⑨✝✠❘✁❙û✝✪ ✦ R ⑩ ✛❘✁❙û✝✪ ✦ U = 1 1 2 3 0 0 4 4 0 0 0 0 ✳ Ú✝Û❶✝❐➱✝â✝✤ ❼ 2 ❐✝á✍➂ 4 ✳ Ò ➔✝❿✝✽➳✝❸➜✝❙ 1 ✤ ➏ ❼ 1 ❐ ❜ ê✝ë☎✝✠✍❼ 2 ❐ h 0 0 1 1 i ✠ 2 ➉ ✳ ✕✝Ô ⑤Ò ➔✍❼ 2 ✽ ➳✝❸❻✸❁ Õ ❀✍❁✑✠ ❸✝ß✝✾❙ 0 ✤ ③⑨✝✠❘✁❙û✝✪ ✦✑✗ R = 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 ✤ R ✠ ➳✝❸❙ 1 ✳✓➳✝❸❝✝❻ ✺✑➳✝❸➡✝✠ ❸✝ß ➜✝❙ 0 ✤ ❶ ❑✑❻ ❷✑❸✝❩✝✰✍➂✑Ò➔ ➳✝❸ ➂❻ ❸✝ß ➜✝❙ 0 ✤ ✯ A ✗✝✰✝✱✠ ✳✓✵✝✮ ✠ ③⑨✝✠❐❘✁❙û✝✪ ✦ R = I ✳✓✇ ❜ I ❙ ï✝ð✪ ✦ ✤ ✕ ✗✁④✝❶✝❐➱✝â✝➔✝→✝✠✝✤ R ❜ ✠ 0 Ò ➔✝❂✝❃ç✝è✍é ⑤✝❅✝→ ✇➈✝✔ (Õ ➴✍❁ ★Ô ) ✏ 1. ❲ x2 = 1, x4 = 0 ✤✓✔ RX = 0 ✳✓✵✝✹ x1 = −1, x3 = 0 ✤ 2. ❲ x2 = 0, x4 = 1 ✤✓✔ RX = 0 ✳✓✵✝✹ x1 = −1, x3 = −1 ✤ −1 Õ 0 ✗ ➛ R ✠✍❼ 2 ❝ ❜ (➬✝➮★✽✁⑤✁✥) ✤ −1 Õ −1 ✗ ➛ R ✠✍❼ 4 ❝ ❜ (➬✝➮★✽✁⑤✁✥) ✤ ➒② ➱✁✥✳ ❂✝❃✰✍➂✑➏ R ❜ ➔✝→✝➈✝✔✝✤ AX = 0 ✧ UX = 0 ✧ RX = 0 ✠➒✔ ✗✕❿✝✽✝➈✝✔✝✠✝❖✝P✝↕✘♠✝✤❘☞✍✌✘✎ N(A) = N(U) = N(R) ✗✍❏✝➂❀✍❑✑▲✝▼✝◆✝✠✝✏ X = x2 −1 1 0 0 + x4 −1 0 −1 1 =(AX = 0 ✠➒✔ ) ✤ ✏✘✟✘✠✘❀★✘✡✭☛✘q ❏ ❋Ø✘Ù R ✤ ❶ MATLAB ⑥✿✼ [R, pivcol] = rref(A) ✰ 8
以得到R及A的主元列的列表, 主要思想回描 1.零空间N(A)是由AX=0的所有解构成的。 2.通过消元法可以得到阶为形矩阵U或¨化的行阶为阵R,从中我们很容易 看到主元列和自由列 3.对于每个自由列都可以得到AX=0的一个特解。取自由变量为1,其它的 自由变量为0,解AX=0即可得到 4.AX=0的通解是特解的线性组合。 5.若n>m,则A当。有一列没有主元,,当。有一个特解。因此N(4)中 当有一个非零向量x集
➂➔✝→ R ñ A ✠ ➳✝❸❝✝✠✝❝✝➌✝✤ ➳❄ ÷✝ø ❛☞⑦ 1. ☞✍✌✝✎ N(A) ✗✍❏ AX = 0 ✠✝❇✹✔✝▼✝◆✝✠✝✤ 2. ➒②✍❷✑❸✝❩✝✰✍➂➔✝→ ❘✁❙û✝✪ ✦ U ✧ ③⑨✝✠❐❘✁❙ ✦ R ✳✓➏ ❜ ❂✝❃ç✝è✍é ➪✝→ ➳✝❸❝Õ ➦✑❏ ❝✝✤ 3. ⑩ ✛✻✝✽ ➦✑❏ ❝✾✝✰✍➂➔✝→ AX = 0 ✠ ★✽✝➈✝✔✝✤➫❲ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ 1 ✳➫✇✝✮ ✠ ➦✑❏ ➱✝▲✝❙ 0 ✳ ✔ AX = 0 ❳✑✰ ➔✝→✝✤ 4.AX = 0 ✠ ➒✔ ✗➈✝✔✝✠✝❖✝P✝↕✝♠✝✤ 5. ✯ n > m ✳✓✵ A ❦✡❧✑✹✝★❝✝➺✹✝➳✝❸✝✳✘✽✁❦✡❧✑✹✝★✽✝➈✝✔✝✤✸❬✑❭ N(A) ❜ ❦✡❧✑✹✝★✽ ✺☞✍❑✑▲ X ✤ 9