18.06考试2解答 2000年4月25日 1(30分 (a)q1=1/3|2 P2=1/31,g3=1/3-2 通过求A的左零化空间然后标准化来求q3;或者取g3=q1×;或者任意给定 一个与q1和q线性无关的向量,然后对这三个向量进行 Gram Schmidt正交 化,从而求得q3 (b)q3在A的左零化空间中,因为它与A的两个列向量都正交 4-4-2 ()P=g3(gg)-3=1/9-442 (d)=(AA)-A1b=
18.06 ✁ 2 ✂✄ 2000 ☎ 4 ✆ 25 ✝ 1 ✞ 30 ✟✡✠ (a)q1=1/3 1 2 −2 ☛ q2=1/3 2 1 2 ☛ q3=1/3 2 −2 −1 ☞ ✌✎✍✎✏ A ✑✎✒✎✓✎✔✖✕✎✗✙✘✎✚✎✛✎✜✎✔✎✢✏ q3 ✣✥✤✎✦✎✧ q3=q1×q2 ✣✥✤✎✦✎★✎✩✎✪✎✫ ✬✎✭✎✮ q1 ✯ q2 ✰✲✱✎✳✖✴✑✖✵✙✶☛ ✘✎✚✎✷✎✸✎✹✭ ✵✙✶✎✺✎✻ Gram Schmidt ✼✎✽ ✔☛✲✾✎✿✏✎❀ q3 ☞ (b) q3 ❁ A ✑✎✒✎✓✎✔✖✕✎✗✎❂ ☛❄❃✙❅✎❆ ✮ A ✑✎❇✭✎❈ ✵✙✶✎❉✎✼✎✽☞ (c) P=q3(q T 3 q3) −1 q T 3 =1/9 4 −4 −2 −4 4 2 −2 2 1 ☞ (d) xˆ=(AT A) −1AT~b= " 1 2 # ☞ 1
2(16分)根据求行列式的大公式 det(A)=16-444+1=5 2-100 用行化简:det(A)=det 03/2-10 004/3 0005/4 1/21/2 10 (b)λ1=1,对应的特征向量为 A2=1/2,对应的特征向量为1 11 2/31/3 0(-1/2) 02/31/3 00 /3-1/3 c∞=A∞G1 G 2/31/31 2/31/310 因此Gk→2/3
2 ✞ 16 ✟✡✠❋❊✎●✏ ✻❈✎❍✑✎■✎❏❍✎❑ det(A)=16-4-4-4+1=5 ☞ ▲ ✻✎✔✖▼ ❑ det(A)=det 2 −1 0 0 0 3/2 −1 0 0 0 4/3 −1 0 0 0 5/4 =5 ☞ 3 ✞ 30 ✟✡✠ (a) A=" 1/2 1/2 1 0 # ☞ (b) λ1=1 ☛ ✷✎◆✎✑✎❖✎P✖✵✙✶❅ " 1 1 # ☞ λ2=-1/2 ☛ ✷✎◆✎✑✎❖✎P✖✵✙✶❅ " 1 −2 # ☞ (c) Ak= " 1 1 1 −2 #" 1 k 0 0 (−1/2)k #" 2/3 1/3 1/3 −1/3 # ☞ (d) A∞ = " 1 1 1 −2 # " 1 0 0 0 # " 2/3 1/3 1/3 −1/3 # " G∞ G∞ # = A∞ " G1 G0 # = " 2/3 1/3 2/3 1/3 # " 1 0 # = " 2/3 2/3 # ☛ ❃✙◗ Gk → 2/3 ☞ 2
4(24分) (a)nr=A的零化空间的维数=A的0特征值的重数,因此r=2 (b)det(a' a)=det(a )det(a)=det(a)det(A) 而det(4)=0*1*2=0,因此det(AA)=0 (c)如果将Ⅰ加到一个矩阵上,则它的特征值都增加1;因此,A+Ⅰ的特征 值是1,2,3,并且det(A+D)=1***3=6 (d)如果A有特征值λ,则A-1有特征值1/λ.因此(A+)-1的特征值 是1/1,/2,1/3
4 ✞ 24 ✟✡✠ (a) n-r=A ✑✎✓✎✔✖✕✎✗✙✑✎❘✎❙ =A ✑ 0 ❖✎P✎❚✎✑✎❯✎❙☛❄❃✙◗ r=2 ☞ (b) det(AT A) = det(AT )det(A) = det(A)det(A) ☛ ✿ det(A) = 0 ∗ 1 ∗ 2 = 0 ☛❄❃✙◗ det(AT A)=0 ☞ (c) ❱✎❲✎❳ I ❨✎❩ ✬✎✭✎❬✖❭✙❪☛✲❫✎❆ ✑✎❖✎P✎❚✎❉✎❴✎❨ 1; ❃✙◗✎☛ A+I ✑✎❖✎P ❚✎❵ 1 ☛ 2 ☛ 3, ❛✎❜ det(A + I) = 1 ∗ ∗ ∗ 3 = 6 ☞ (d) ❱✎❲ A ❝✎❖✎P✎❚ λ ☛✲❫ A−1 ❝✎❖✎P✎❚ 1/λ. ❃✙◗ (A + I) −1 ✑✎❖✎P✎❚ ❵ 1/1,1/2,1/3 ☞ 3
