18.06考试3解答 2000年5月3日 (a)用AA乘每一个特征向量去求特征值:64,4和0 (b)奇异值是A1A的非零特征值的平方根:8和2 (c)奇异值分解是 800 边立 020 001 00 (a)镨。2阶恒等矩阵是对称的,但它有许多不正交的特征向量,例如(1,0) 和(1,1) (b)对。用正交矩阵Q将A对角化:A=QAQ。这样一个矩阵是对称 的 (c)错。例子与(a)相同 題3.d>0,没有这样的特征值。要使所有的特征值都大于零,则意味着A是 正定的。其顺序主子式是1,d-4和12-4d。A的特征值不可能都是正的 题4 a)λ=1是重根,λ=1对应的独立的特征向量由N(A-D)的维数给出, 它是2维的。因此A对应于特征值入=1有2个独立的特征向量。 (b)A有三个独立的特征向量,因此它是可对角化的,等价于说其相似于 100 010
18.06 ✁ 3 ✂✄ 2000 ☎ 5 ✆ 3 ✝ ✞ 1. (a) ✟ AT A ✠☛✡☛☞☛✌☛✍☛✎✑✏✓✒☛✔☛✕☛✍☛✎☛✖☛✗ 64 ✘ 4 ✙ 0 ✚ (b) ✛☛✜☛✖☛✢ AT A ✣✑✤✓✥☛✍☛✎☛✖☛✣☛✦☛✧☛★☛✗ 8 ✙ 2 ✚ (c) ✛☛✜☛✖☛✩☛✪☛✢☛✗ A = " √ 1 2 √ 1 2 √ 1 2 − √ 1 2 # " 8 0 0 0 2 0 # √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1 ✞ 2. (a) ✫☛✚ 2 ✬☛✭☛✮☛✯✑✰✓✢☛✱☛✲☛✣☛✘✴✳☛✵☛✶☛✷✑✸✓✹☛✺☛✻☛✣☛✍☛✎✑✏✓✒☛✘✴✼☛✽ (1, 0) ✙ (1, 1) ✚ (b) ✱☛✚✾✟☛✺☛✻✿✯✑✰ Q ❀ A ✱✑❁✓❂☛✗ A = QΛQT ✚✾❃☛❄☛☞☛✌☛✯✑✰✓✢☛✱☛✲ ✣☛✗ (QΛQT ) T = QΛQT ✚ (c) ✫☛✚✾✼☛❅☛❆ (a) ❇✑❈✓✚ ✞ 3. d > 0 ✘✾❉☛✶☛❃☛❄☛✣☛✍☛✎☛✖☛✚✾❊☛❋☛●☛✶☛✣☛✍☛✎☛✖☛❍☛■☛❏☛✥☛✘✾❑☛▲☛▼☛◆ A ✢ ✺☛❖☛✣☛✚✓P☛◗☛❘☛❙☛❅☛❚☛✢ 1, d − 4 ✙ 12 − 4d ✚ A ✣☛✍☛✎☛✖☛✹☛❯☛❱☛❍☛✢☛✺☛✣☛✚ ✞ 4. (a)λ = 1 ✢❳❲❳★❳✘ λ = 1 ✱❳❨❳✣❳❩❳❬❳✣❳✍❳✎❭✏❪✒✑❫ N(A − I) ✣❳❴❳❵❳❛❭❜❪✘ ✵☛✢ 2 ❴☛✣☛✚❞❝✓❡ A ✱☛❨☛❏☛✍☛✎☛✖ λ = 1 ✶ 2 ✌☛❩☛❬☛✣☛✍☛✎✑✏✓✒☛✚ (b)A ✶☛❢☛✌☛❩☛❬☛✣☛✍☛✎✑✏✓✒☛✘❞❝✓❡☛✵☛✢☛❯☛✱✑❁✓❂☛✣☛✘✾✮☛❣☛❏☛❤☛P☛❇☛✐☛❏ Λ = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1
100 B 011 和A有相同的特征值和相同数目线性独立的特征向量。因此B相似于A (d)矩阵 110 010 002 和A有相同的特征值。与A相比少了一个特征向量:rank(C-D)=2,因 此C相应于特征值λ=1仅有一个线性独立的特征向量
(c) ✯✑✰ B = 1 0 0 0 1 1 0 0 2 ✙ A ✶☛❇✑❈✓✣☛✍☛✎☛✖☛✙☛❇✑❈✓❵❦❥♠❧☛♥☛❩☛❬☛✣☛✍☛✎✑✏✓✒☛✚❞❝✓❡ B ❇☛✐☛❏ A ✚ (d) ✯✑✰ C = 1 1 0 0 1 0 0 0 2 ✙ A ✶☛❇✑❈✓✣☛✍☛✎☛✖☛✚✾❆ A ❇☛♦✑♣✑q♠☞☛✌☛✍☛✎✑✏✓✒☛✗ rank(C − I) = 2 ✘❞❝ ❡ C ❇☛❨☛❏☛✍☛✎☛✖ λ = 1 r☛✶☛☞☛✌☛❧☛♥☛❩☛❬☛✣☛✍☛✎✑✏✓✒☛✚ 2
