哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵

第二章矩阵 本章主要讨论以下几个问题: 矩阵的概念及矩阵的运算;可逆矩阵;矩阵的分块 矩阵的初等变换,秩及初等方阵;分块矩阵的初等变按 解线性方程组的高斯消去法 2.1矩阵的概念 矩阵的概念 数域的概念:如果数集F包含0和1,并且F中任 何两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在F中,那么, 就称F是一个数域 例如,全体有理数之集Q,全体实数之集R,全体复数 之集C都是数域分别称为有理数域,实数域和复数 域 哈工大数学系代数与几何教研室

第二章 矩阵 本章主要讨论以下几个问题： 矩阵的概念及矩阵的运算;可逆矩阵;矩阵的分块; 矩阵的初等变换,秩及初等方阵;分块矩阵的初等变换; 解线性方程组的高斯消去法. 2.1 矩阵的概念 一 、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任 何两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域

定义2.1由数域F内m×n个数排成的m行 n列的矩形数表 12 22 2 nn 称为数域F上的m行n列的矩阵,简称n×n阶 矩阵,记作A.A可简记为A=(an)mn 这mxn个数a(:12,…,m:12…,n)叫做矩阵A 的元素, 哈工大数学系代数与几何教研室

定义 2.1 由数域 F 内m  n 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表             m m m n n n a a a a a a a a a        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称m  n 阶 矩阵, 记作 A. A 可简记为A = ai j mn ( ) 这m  n 个 数a (i :1,2, ,m; j :1,2, ,n) i j   叫做矩阵 A 的元素

a叫做矩阵A的第i行第j列元素 元素都是实数的矩阵称为实矩阵; 元素都是复数的矩阵称为复矩阵 例如 是2×3阶实矩阵 是3×2阶复矩阵 237)是×4阶实矩阵 6是3x1阶实矩阵; 哈工大数学系代数与几何教研室

ij a 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素. 元素都是实数的矩阵称为实矩阵； 元素都是复数的矩阵称为复矩阵. 例如,         4 5 6 1 2 3 是2  3 阶实矩阵;           − 6 2 2 5 1 i 0 是3 2 阶复矩阵 (1 2 3 7)是14 阶实矩阵;           8 6 4 是31阶实矩阵;

二.几种常用的特殊矩阵 1零矩阵:元素全部为零的矩阵。记作0或nn 2行(列)矩阵:仅有一行(列)的矩阵 例如, an)是行矩阵(也叫n维行向量) b b B 是列矩阵(也叫m维列向量) 3n阶方阵:行数与列数都为n的矩阵 哈工大数学系代数与几何教研室

二．几种常用的特殊矩阵 1 零矩阵：元素全部为零的矩阵。记作 0 或0mn 2 行（列）矩阵：仅有一行（列）的矩阵. 例 如, (a a a ) A = 1 2  n 是行矩阵(也 叫 n 维行向量);               = m 2 1 b b b  B 是列矩阵(也 叫 m 维列向量) ; 3 n 阶方阵:行数与列数都为 n 的矩阵

例如,A 是n阶方阵;A的从左 上角到右下角那条线(称为主对角线)上的元素 an叫做A的主对角线元素 几种特殊的n阶方阵: (1)上(下)三角形矩阵注对角线下(上)方 元素全部为零的n阶友踌系代数与几何教研室

例如,             = n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n a a a a a a a a a        A 是 n 阶方阵；A 的从左 上角到右下角那条线(称为主对角线)上的元素 a a an n , , , 1 1 2 2  叫 做 A 的主对角线元素. 几种特殊的 n 阶方阵: (1) 上(下)三角形矩阵: 主 对 角线下(上)方 元素全部为零的 n 阶方阵

000 20 例如,A=034B= 00 3620 008 4358 上3形矩榫张驾角戒殖阵踢 25 A B 362 8 4358 哈工大数学系代数与几何教研室

上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为               =           = 4 3 5 8 3 6 2 2 5 1 ; 8 3 4 1 2 0 A B . 例如，               =           = 4 3 5 8 3 6 2 0 2 5 0 0 1 0 0 0 ; 0 0 8 0 3 4 1 2 0 A B ； A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵

(2)对角形矩阵:非主对角线元素全部为零的 如, 为对角形矩阵 00 a nn 对角形矩阵A可简记为: 或A=dag(a12a2yam 哈工大数学系代数与几何教研室

(2) 对角形矩阵:非主对角线元素全部为零的 n 阶方阵. 如,               = n n 2 2 1 1 0 0 a 0 a 0 a 0 0        A 为对角形矩阵. 对角形矩阵 A 可简记为:               = n n 2 2 1 1 a a a  A 或 diag(a ,a , ,a ) A = 1 1 2 2  n n

例如, 100 A=030|=dag(1,3,8) 008 000 0000 B diag(l20,2,8) 0020 0008 diag(l, 2) 0 均为对角形矩阵 哈工大数学系代数与几何教研室

例如， diag(1, 2) 0 2 1 0 diag(1, 0, 2, 8); 0 0 0 8 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 diag(1, 3, 8); 0 0 8 0 3 0 1 0 0 =        = =               = =           = C B A 均为对角形矩阵

(3)n阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为1的n阶方阵(即主 对角线上的元素全部为1的n阶对角形矩阵)称 为n阶单位阵,记作En或ln或E 即E 例如,E1=()=1E2 E 哈上大数学系代数与几何教研室

(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主 对角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称 为 n 阶单位阵,记作En 或 n I 或 E. 即               = 1 1 1 n  E . 例 如, ( )           =         = = = 1 1 1 ; 1 1 1 1; E1 E2 E3

(4)n阶数量矩阵:主对角线的元素全相等的 n阶对角形矩阵 ?? 例如,A 为n阶数量矩阵.可记 为aE 哈工大数学系代数与几何教研室

(4) n 阶数量矩阵: 主对角线的元素全相等的 n 阶对角形矩阵. 例如，               = a a a  A 为 n 阶数量矩阵.可记 为 a E