简介 线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必 修的重要基础理论课,是工科数学教学三门主要课 程之一,在一般工科专业的教学中占有极重要的地 位,在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的 应用 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融 为了 门课程.代数中的许多概念非常抽象,几何 为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何 提供了便利的研究工具代数与几何的融合能加强 学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法 处理几何问题 哈工大数学系代数与几何教研室
线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必 修的重要基础理论课,是工科数学教学三门主要课 程之一,在一般工科专业的教学中占有极重要的地 位,在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的 应用. 本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融 为了一门课程. 代数中的许多概念非常抽象,几何 为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何 提供了便利的研究工具.代数与几何的融合能加强 学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法 处理几何问题. 简 介
线性代数内容包括:行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等 解析几何的内容包括:几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面 第一章n阶行列式 在工程技术和科学研究中,有很多问题需 要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论 如下几个问题: 1、行列式的定义;2、行列式的性质 3、行列式的计算;4、 Cramer法则 哈工大数学系代数与几何教研室
线性代数内容包括:行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等. 解析几何的内容包括:几何向量、空间中的 平面与直线、二次曲面. 第一章 n阶行列式 在工程技术和科学研究中,有很多问题需 要用到“行列式”这个 数学工具。本章主要讨论 如下几个问题: 1、行列式的定义;2、行列式的性质; 3、行列式的计算;4、Cramer 法则.
11n阶行列式 1.1.1二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究 设二元线性方程组 1x1+a12=b 21x1+a2x2= b(1) 其中a1a2-a12a21≠0 现在讨论线性方程组(1)的求解公式, 对(1)作加减消元得: 哈工大数学系代数与几何教研室
1.1 n阶行列式 1.1.1 二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究: 设二元线性方程组 (1) + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 其中 a11a22 −a12a21 0 现在讨论线性方程组(1)的求解公式, 对(1)作加减消元得:
x 1122 12 (2) 6-b 1422-412C 式(2)就是式(1)的解,但(2)不易记忆, 因此有必要引进新的符号-“行列式”来表示 (2)式 定义:设a1,a12,a21,a2是四个数,称代数和 为二阶行列式,记作 1122 12021 22哈工大数学系代数与几何教研
− − = − − = 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a a a a b b a x a a a a b a a b x 11 12 21 22 a ,a ,a ,a (2) 式(2)就是式(1)的解,但(2)不易记忆, 因此有必要引进新的符号--“行列式”来表示 (2)式. 定义: 设 是四个数,称代数和 11 22 12 21 a a −a a 为二阶行列式,记作 = 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 1 1 2 2 1 2 2 1 a a − a a
an(,j称为这个二阶行列式的元素,的 两个下角标,分别表示所在的行和列的序号, 常称a是行列式的()元素 对线性方程组(1),记 D= ≠0 DI bc b b D b-b b 哈工大数学系代数与几何教研室
称为这个二阶行列式的元素, 的 两个下角标 分别表示所在的行和列的序号, 常称 是行列式的( )元素. a (i, j =1,2) ij ij a i, j ij a i, j 对线性方程组(1),记 D = = 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a 0 a1 1a2 2 − a1 2a2 1 D1 = 1 22 12 2 2 22 1 12 b a a b b a b a = − 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 a b b a a b a b D = = −
(1)的解(2)可写成 D D D 对线性方程组 3x1+5x2= +2x1=2 由于D 35 3×2-5×(-1)≠0; D 1×2-5×2=-8 D2=12哈工大数学系代数与几何教 =3×2-1×(-1)=7
(1)的解(2)可写成 = = . ; 2 2 1 1 D D x D D x − + = + = 2 2 3 5 1 1 2 1 2 x x x x 由于 3 2 5 ( 1) 0 1 2 3 5 = − − − D = ; 1 2 5 2 8, 2 2 1 5 D1 = = − = − 3 2 1 ( 1) 7, 1 2 3 1 2 = − − = − D = 对线性方程组
则方程组的解可以写成 DDDD 11 为了得出关于三元线性方程组 a1x1+a12x2+a13x3=b 21x1+a2x2+a23x3=b2 a21x1+a2x2+a2x2=b2 的类似解法,我们引入三阶行列式 哈工大数学系代数与几何教研□
为了得出关于三元线性方程组 = = − = = . 11 7 ; 11 8 2 2 1 1 D D x D D x 则方程组的解可以写成 + + = + + = + + = 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 的类似解法,我们引入三阶行列式.