1806考试1答案 1({30分)(a)因为R的第3行全为0,所以A的第3行是第1行和第2行的 线性组合,并且A的3行是线性相关的 )在第一步消元后,有 4-18-2b 笫3行 由R知A的笫2列不是主元列,故α=4。继续消元,得 1208-b 0012b-8 和R比较得b=5 (c)令自由变量2和4为1和0,反之亦然。解Rx=0,得到零空间解 0/+d/0 0 且A和R的行空间和零空间总是一样的
1806 ✁ 1 ✂✄ 1(30 ☎) (a) ✆✞✝ R ✟✡✠ 3 ☛✌☞✌✝ 0 ✍✏✎✡✑ A ✟✡✠ 3 ☛✌✒✡✠ 1 ☛✌✓✡✠ 2 ☛✌✟ ✔✌✕✌✖✌✗✍✏✘✌✙ A ✟ 3 ☛✌✒✔✌✕✌✚✡✛✟✌✜ (b) ✢✡✠✞✣✡✤✌✥✞✦✌✧✌✍✏★ 1 2 1 b 0 a − 4 −1 8 − 2b ✠ 3 ☛ ✩ R ✪ A ✟✡✠ 2 ✫✌✬✌✒✌✭✌✦✌✫✌✍✏✮ a = 4 ✜✏✯✌✰✡✥✞✦✌✍✏✱ 1 2 0 8 − b 0 0 1 2b − 8 0 0 0 0 ✓ R ✲✌✳✌✱ b = 5 ✜ (c) ✴✶✵ ✩✞✷✌✸ x2 ✓ x4 ✝ 1 ✓ 0 ✍✞✹✌✺✌✻✌✼✌✜✞✽ Rx = 0 ✍✞✱✌✾✌✿✡❀✌❁✞✽ x = c −2 1 0 0 + d −3 0 −2 1 ✙ A ✓ R ✟✏☛✡❀✌❁✞✓✌✿✡❀✌❁✞❂✌✒✌✣✌❃✌✟✌✜ 1
2(30分)(a)消元后,得 123 033 00c-8 所以当C=8时矩阵不可逆 (b)当c不等于8时,矩阵可逆,它的秩为3。所以它的零空间仅为零向量, 它的列空间为R3。对A-1同样如此 (c)利用消无过程中得到的乘子,则 100123 110 033
2(30 ☎) (a) ✥✞✦✌✧✌✍✏✱ 1 2 3 0 3 3 0 0 c − 8 ✎✡✑✌❄ c = 8 ❅✌❆✡❇✞✬✌❈✌❉✌✜ (b) ❄ c ✬❋❊❋● 8 ❅❋✍❍❆■❇❏❈❋❉❋✍❍❑❋✟❋▲❋✝ 3 ✜❍✎■✑❏❑❋✟❋✿■❀❋❁❏▼❋✝❋✿■◆ ✸ ✍ ❑✌✟✌✫✡❀✌❁✞✝ R3 ✜✏❖ A−1 P ❃✌◗✌❘✌✜ (c) ❙✌❚✡✥✞✦✌❯✌❱✡❲✞✱✌✾✌✟✌❳✌❨✌✍✏❩ A = 1 0 0 1 1 0 2 2/3 1 1 2 3 0 3 3 0 0 12 ✜ 2
3(40分)(a)在每一行中必存在一个主元,所以r=m且A的列空间是R b)因为总有r≤n,而且从 r=m,所以也有m<n (c)令别的行恰好是[2,5]的倍数,例如 25 00 则列空间在R3的由第一列的所有倍数纽成的直线上,零空间在R2的由零解 1 的所有倍数组成的直线上 (d)(c)的零空间解加上特解 0 得到通解 5/2
3(40 ☎) (a) ✢✌❬✌✣✌☛✡❲✞❭✌❪✌✢✌✣✌❫✌✭✌✦✌✍❴✎✡✑ r = m ✙ A ✟✌✫✡❀✌❁✞✒ Rm ✜ (b) ✆✞✝✌❂✌★ r ≤ n ✍✏❵✌✙✌❛ (a) ✪ r = m ✍✏✎✡✑✞❜✌★ m ≤ n ✜ (c) ✴✌❝✌✟✌☛✌❞✌❡✌✒ [2, 5] ✟✌❢✌❣✌✍✏❤✌◗ A = 2 5 4 10 0 0 ✍✐❩✌✫✡❀✌❁✞✢ R3 ✟ ✩ ✠✞✣✌✫✌✟✌✎✌★✌❢✌❣✖✌❥✟✌❦✔✌❧✍✐✿✡❀✌❁✞✢ R2 ✟ ✩ " ✿✌✽ −5/2 1 # ✟✌✎✌★✌❢✌❣✖✌❥✟✌❦✔✌❧✜ (d)(c) ✟✌✿✡❀✌❁✞✽✌♠❧✌♥✽ " 1 0 # ✱✌✾✌♦✌✽ x = " 1 0 # + c " −5/2 1 # 3
