微积分_导数概念

§32导数概念 、导数的定义 导数的几何意义 三、左右导数 四、可导与连续的关系 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、导数的定义 §3.2 导数概念 二、导数的几何意义 三、左右导数 四、可导与连续的关系 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、导数的定义 定义3.1(导数) 设函数=f(x)在点x的某个邻域内有定义,如果极限 f(x+△x)-f(x △x→>0△x△x->0x 存在,则称此极限值为函数x)在点x处的导数,可记为 f∫"(xo),ylx=x X=X 或f( dx 导数定义式的的其它形式 f(o)=lm f(xo+h-f(o) h->0 h f(ro)=lim x→x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、导数的定义 定义31(导数) 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义如果极限 x f x x f x x y x x  + − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在 则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数 可记为 f (x0) 0 | x x y =   0 x x dx dy = 或 0 ( ) x x f x dx d =  导数定义式的的其它形式 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + −  = →  0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − −  = →  下页

可导性 如果函数(x)在点x处有导数,则称函数(x)在点x处可导, 否则称函数(x)在点x处不可导.如果函数(x)在某区间(a,b)内 每一点处都可导,则称fx)在区间(a,b)内可导 导函数 设fx)在区间(a,b)内可导,此时,对于区间(a,b)内每一点 x,都有一个导数值与它对应,这就定义了一个新的函数,称为 函数y=(x)在区间(a,b)内对x的导函数简称为导数记作 f(x)y’"axJ(x) 导函数的定义式 y=/(=lim f(x+Ax)-f(=lin f(x+h-f( h 首页 上页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 可导性 如果函数f(x)在点x 0处有导数 则称函数f(x)在点x0处可导 否则称函数f(x)在点x0处不可导 如果函数f(x)在某区间(a, b)内 每一点处都可导 则称f(x)在区间(a, b)内可导 导函数 设f(x)在区间(a, b)内可导 此时 对于区间(a, b)内每一点 x 都有一个导数值与它对应 这就定义了一个新的函数 称为 函数y=f(x)在区间(a, b)内对x的导函数简称为导数 记作 f (x) y  dx dy 或 f (x) dx d  h f x h f x x f x x f x y f x x h ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 + − =  + −  =  =  → →  导函数的定义式 下页

例1.求函数y=x2在点x=2处的导数 解:当x由2改变到2+Ax时,函数改变量为 △y=(2+Ax)2-22=4Ax+(△x)2, 因此41 -=4+△ △x 1(2)=lim Ay imn(4+△x)=4 △x→>0△x△x→>C 首页上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例1 求函数y=x 2在点x=2处的导数 当x由2改变到2+x时 函数改变量为 y=(2+x) 2−2 2 =4x+(x) 2  因此 x x y = +   4  (2) lim lim (4 ) 4 0 0 = + =    =  →  → x x y f x x (2) lim lim (4 ) 4  0 0 = + =    =  →  → x x y f x x 

例1.求函数y=x2在点x=2处的导数 解:当x由2改变到2+Ax时,函数改变量为 △y=(2+Ax)2-22=4Ax+(△x)2, 因此41 -=4+△ △x f(2)=m4y imn(4+△x)=4 △x→>0△x△x→>C 例2.求线性函数y=ax+b的导数 解:(1)Ay=[a(x+Ax)+b](ax+b)=a△x; (2 C △J B3)y=lim =lim a=a Ax→>0△x△x->0 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 (1)y=[a(x+x)+b]−(ax+b) 例2 求线性函数y=ax+b的导数 =ax (2) a x y =    (3) a a x y y x x = =    =  →0  →0 (3) lim lim a a  x y y x x = =    =  →0  →0 lim lim  解 例1 求函数y=x 2在点x=2处的导数 当x由2改变到2+x时 函数改变量为 y=(2+x) 2−2 2 =4x+(x) 2  因此 x x y = +   4  (2) lim lim (4 ) 4 0 0 = + =    =  →  → x x y f x x (2) lim lim (4 ) 4  0 0 = + =    =  →  → x x y f x x  下页

例3.求函数y=-的导数 解:(1)Ay 1_-Ax x+△xxx(x+△x) (2) △xx(x+△x) B)y=lim m x>0△xAx>0x(x+△x) 首页 上页 返回 下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 3 求函数 x y 1 = 的导数 解 (1) ( ) 1 1 x x x x x x x y + − − = +  =  (2) ( ) 1 x x x x y + =−    (3) 2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  →  解 (1) ( ) 1 1 x x x x x x x y + − − = +  =  (3) 2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  → (3)  2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  → 

例3.求函数y=-的导数 解:(1)Ay 1_-Ax x+△xxx(x+△x) (2) △xx(x+△x) B)y=lim m Ax>0Axx>0x(x+△x)x2 例4.求函数y=√x的导数 解:(1)Ay=√x+Ax-√x; (2) △y x+△x △x △x △x(√x+Ax+√x)√x+Ax+√x (3)y=lim a=lim x+△x+x-2x 首页上页返回下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 4 求函数y= x 的导数 解 (1)y= x+x− x  (2) x x x x x x x x x x x x x y + + =  + +  =  + − =   1 ( )  (3) x x x x x y y x x 2 1 1 lim lim 0 0 = + + =    =  →  →  (2) x x x x x x x x x x x x x y + + =  + +  =  + − =   1 ( ) (2)  x x x x x x x x x x x x x y + + =  + +  =  + − =   1 ( )  (3) x x x x x y y x x 2 1 1 lim lim 0 0 = + + =    =  →  → (3)  x x x x x y y x x 2 1 1 lim lim 0 0 = + + =    =  →  →  解 例 3 求函数 x y 1 = 的导数 解 (1) ( ) 1 1 x x x x x x x y + − − = +  =  (2) ( ) 1 x x x x y + =−    (3) 2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  →  解 (1) ( ) 1 1 x x x x x x x y + − − = +  =  (3) 2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  → (3)  2 0 0 1 ( ) 1 lim lim x x x x x y y x x =− + =−    =  →  →  下页

例5.给定函数f(x)=x3,求:f∫'(x),f(O),f(1),f(x) 解:(1)y≥=(x+∧x)3-x3=3x2△x+3x(4x)2+(△x)3; (2)4=3x2+3x△x+(△x)2 △x 3)y=m i[3x2+3x△x+(4x)]=3x2 △x->0 x->0 由此得f(x)=3x2,f(0=0,f(1)=3,f"(x)=3x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例5 给定函数f(x)=x 3 求 f (x) f (0) f (1) f (x0 ) (1)y=(x+x) 3−x 3 (2) 2 2 3x 3x x ( x) x y = +  +     (3) 2 2 2 0 0 lim lim [3x 3x x ( x) ] 3x x y y x x = +  +  =    =  →  →  由此得 f (x)=3x 2  f (0)=0 f (1)=3 2 0 3 0 f (x )= x  =3x 2x+3x(x) 2+(x) 3  (3) 2 2 2 0 0 lim lim [3x 3x x ( x) ] 3x x y y x x = +  +  =    =  →  → (3)  2 2 2 0 0 lim lim [3x 3x x ( x) ] 3x x y y x x = +  +  =    =  →  →  由此得 f (x)=3x 2  f (0)=0 f (1)=3 2 0 3 0 由此得 f (x)=3x f (x )= x  2  f (0)=0 f (1)=3 2 0 3 0 由此得 f (x)=3x f (x )= x  2  f (0)=0 f (1)=3 2 0 3 0 f (x )= x  下页

例6.用定义讨论函数f(x 在点x=0处的 0x=0 连续性与可导性 解:因为 lim f(x)=lim xsin=0=f(O) 0 x>0 所以x)在点x=0处连续因为极限 f(x)-f(0 =lim -x=lim sin x→>0x-0 x->0xx→>0x 不存在,所以f(x)在点x=0处不可导 首页 上页 返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 6 用定义讨论函数     =  = 0 0 0 1 sin ( ) x x x x f x 在点 x=0 处的 连续性与可导性 因为 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → →  所以f(x)在点x=0处连续 因为极限 x x x x x f x f x x x 1 lim sin 1 sin lim 0 ( ) (0) lim →0 →0 →0 = = − − 不存在 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → 0 (0)  1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → 0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → →  x x x x x f x f x x x 1 lim sin 1 sin lim 0 ( ) (0) lim →0 →0 →0 = = − − x x x x x f x f x x x 1 lim sin 1 sin lim 0 ( ) (0) lim →0 →0 →0 = = − − 所以f(x)在点x=0处不可导 首页

二、导数的几何意义 函数y=f(x)在点x处的导数f(x)就曲线y=x)在点M(x2y) 处的切线的斜率 由导数的几何意义及直线的点斜式方程,可知曲线fx) 上点(xo2y)处的切线方程为 y-yo=f(o(x-xo) 首页上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0 )就曲线y=f(x)在点M(x0 , y0 ) 处的切线的斜率 由导数的几何意义及直线的点斜式方程 可知曲线y=f(x) 上点(x0 , y0 )处的切线方程为 y−y0=f (x0 )(x−x0 )