微积分_导数的基本公式与运算法则

§3.3导数的基本公式与运算法则 、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 三、基本初等函数的导数 四、复合函数的导数 五、隐函数的导数 六、取对数求导法 七、综合举例 首页 页 返回 下而 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 三、基本初等函数的导数 四、复合函数的导数 §3.3 导数的基本公式与运算法则 五、隐函数的导数 六、取对数求导法 七、综合举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、函数的和、差、积、商的求导法则 如果l(x)、v(x)都是x的可导函数则它们的和、差、积、 商(分母不为零时)也是x的可导函数,并且 Lu(x+v(x)=u'(x)+v(x),>>> [l(x)-v(x)′=u(x)w(x)+l(x)v'(x),>> l(x)1l(x)(x)-l(x)(x) v(x v2(x) (v(x)≠0).>> 特别地,[c(x)′=c(x) 式的推广 (1+2+…+n)′=14+2+…+ (12…n)y=12…un+12…un+…+l1l2…un 首页 上页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的和、差、积、商的求导法则 如果u(x)、v(x)都是x的可导函数则它们的和、差、积、 商(分母不为零时)也是x的可导函数并且 [u(x)v(x)]=u(x)v(x) [u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ 2 v x u x v x u x v x v x u x  −  =  (v(x)0) 特别地 [cu(x)]=cu(x) 公式的推广 (u1+u2+  +un )= u1 +u2 +  +un  (u1 u2  un )=u1 u2  un+u1 u2  un+  +u1 u2  un  >>> >>> >>> 首页

二、反函数的导数 设函数y=x)在点x处有不等于0的导数f(x),并且其反函 数x=f1()在相应点处连续,则4(y)存在,并且 ((),或f(1 If-I 简要证明:这是因为 Lf-r=lm △x=lm △y->0△y△x→>0△ m f(x) △xAx→>0△x 首页 上页返回 下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、反函数的导数 设函数y=f(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函 数x=f −1 (y)在相应点处连续 则[f −1 (y)]存在并且 ( ) 1 [ ( )] 1 f x f y   = −  或 [ ( )] 1 ( ) 1   = − f y f x  简要证明 这是因为 ( ) 1 lim 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 0 1 f x x y x y y x f y x y x  =   =   =   =  →  →  → −  ( ) 1 [ ( )] 1 f x f y   = −  或 [ ( )] 1 ( ) 1   = − f y f x  ( ) 1 lim 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 0 1 f x x y x y y x f y x y x  =   =   =   =  →  →  → −  ( ) 1 lim 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 0 1 f x x y x y y x f y x y x  =   =   =   =  →  →  → −  ( ) 1 lim 1 1 [ ( )] lim lim 0 0 0 1 f x x y x y y x f y x y x  =   =   =   =  →  →  → −  首页

三、基本初等函数的导数 1.常数的导数 (c)=0 这是因为 △ y=lim 0 △x→>0△x△x→>0△x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、基本初等函数的导数 1 常数的导数 (c)=0 这是因为 lim lim 0 0 0 =  − =    =  →  → x c c x y y x x  下页

1.(c)=0 2.幂函数的导数 x)′=nxn 这是因为 (x+△x) Ax→>0△xAx→>0 △v x+ CIxn-IAx+C2xn-2(△x)2+…+(△x)y im △x->0 △x = lm Clr"+Cn2xn-2△x+…+Cnx(△xyn2+(△x)y1 △x->0 首页上页返回下页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  x x x x x y y n n x x  + − =    =  →  → ( ) lim lim 0 0 lim [ ( ) ( ) ] 1 1 2 2 1 2 1 0 − − − − −  → = +  ++  +  n n n n n n n n x C x C x x C x x x −1 = n nx  这是因为 x x C x x C x x x x n n n n n n n x  +  +  ++  − = − −  → ( ) ( ) lim 1 1 2 2 2 0 下页

1.(c)=0 2.幂函数的导数 (rn)'=nxn-I 利用商的导数公式,可以证明幂函数y=x当n为负整数时, 也有公式y=mxy 实际上,当n为负整数时,m=n为正整数,于是由 y=x=x E-mxm-l=nxn 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  利用商的导数公式 可以证明幂函数y=x n当n为负整数时 也有公式y=nxn−1  实际上 当n为负整数时 m=−n为正整数 于是由 m n m x y x x − 1 = =  1 1 2 1 2 ( ) ( ) ) 1 ( ) ( − − − − =− =− =   =  =  =− m n m m m m m n mx nx x mx x x x y x  1 1 2 1 2 ( ) ( ) ) 1 ( ) ( − − − − =− =− =   =  =  =− m n m m m m m n mx nx x mx x x x y x  1 1 2 1 2 ( ) ( ) ) 1 ( ) ( − − − − =− =− =   =  =  =− m n m m m m m n mx nx x mx x x x y x  1 1 2 1 2 ( ) ( ) ) 1 ( ) ( − − − − =− =− =   =  =  =− m n m m m m m n mx nx x mx x x x y x  1 1 2 1 2 ( ) ( ) ) 1 ( ) ( − − − − =− =− =   =  =  =− m n m m m m m n mx nx x mx x x x y x  下页

1.(c)=0 2.幂函数的导数 (rn)'=nxn-I 例1.求函数y=x3-5的导数 解:y′=(x3-5)=(x3)y-(5)=3x2-0=3x2 首页上页返回下页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  解 例1 求函数y=x 3−5的导数 y=(x 3−5) =3x 2 =3x  2 =(x −0 3 )−(5)

1.(c)=0 2.幂函数的导数 (rn)'=nxn-I 例1.求函数y=x3-5的导数 解:y′=(x3-5)=(x3)y-(5)=3x2-0=3x2 例2.求函数y=(1+2x)(3x3-2x2)的导数 解:y=(1+2x)(3x3-2x2)+(1+2x)(3x3-2x2) 2(3x3-2x2)+(1+2x)(9x2-4x) =24x3-3x2-4x 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 =24x 3−3x 2−4x 例2 求函数y=(1+2x)(3x 3−2x 2 )的导数 y=(1+2x)(3x 3−2x 2 )+(1+2x)(3x 3−2x 2 ) =2(3x 3−2x 2 )+(1+2x)(9x 2−4x) 1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  解 例1 求函数y=x 3−5的导数 y=(x 3−5) =3x 2 =3x  2 =(x −0 3 )−(5) 下页

1.(c)=0 2.幂函数的导数 (rn)'=nxn-I 4 例3.求函数y= 的导数 解:y=(x) 4 3)5y=3a x4)y-4(x3) x3+12x 43,12 x+ 4 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 3 求函数 3 4 4 3 x x y= − 的导数 解 ) 4 ) ( 3 ( 3 4  = −  x x y ( ) 4( ) 3 1 4 3 = −  − x x 4 3 4 3 12 3 4 12 3 4 x = x + x = x + −  解 ) 4 ) ( 3 ( 3 4  = −  x x y ( ) 4( ) 3 1 4 3 = −  − x x 4 3 4 3 12 3 4 12 3 4 x = x + x = x + −  1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  下页

1.(c)=0 2.幂函数的导数 (rn)'=nxn-I 例4.求函数y=2的导数 x2+1 解: D(x2-N((x2-1(x2+) (x2+1)2 x(x2+1)-(x2-1)2x4x x2+ (x2+1) 首页上页返回下页—结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 (c)=0 2 幂函数的导数 (x n )=nxn−1  解 例 4 求函数 1 1 2 2 + − = x x y 的导数 解 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) + −  + − − +   = x x x x x y 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)2 + + − − = x x x x x 2 2 ( 1) 4 + = x x  2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1)2 + + − − = x x x x x 2 2 ( 1) 4 + = x x  下页