术语表:线性代数字典 图的邻接矩阵:满足下面条件的方阵A=(ai),在图中当从第i个节点到第 个节点闻有一条边相连时,a=1;否则叫=0对于一个无向图有A=A 仿射变换:T(v)=Av+vo=线性变换十平移 结合律:(AB)C=A(BC)。即括号可以去掉:ABC=(AB)C=A(BC) 增广矩阵:方程Ax=b的增广矩阵为[Ab]。当b在A的列向量空间中时 方程Ax=b是可解的且[Ab]与A有相同的秩。在[Ab]上消无法保持方程 的解不变 向后代换:将可解的上三角形方程组按πn到x1的顺序求解的方法 V的基:V中一组极大线性无关的向量ⅴ1,V2,…,Va。V中任意向量ⅴ 可表示为这组向量的线性组合形式。一个向量空间可有很多组基 阶行列式的主公式:De(A4)是m!项的和,每项都是a1a…amx(det(P)= ±1)的形式,其中P是一个列置换矩阵(detP=±1)。每一项乘积中任意两 个乘数都不在同一列中 分块矩阵:将一个矩阵按行、列进行分成若干个小矩阵,把每一个小矩阵都当作 数来处理,这样的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵AB的乘法:如杲矩阵A的列 的分法与B的行的分法一致,则分块矩阵AB的乘法可按矩阵相乘,记为AB Cayley- Hamilton定理:p(从)=det(A-M)有p(A)=CAc>XUs 基变换短阵M:原来的基向量v是新的基向量w;的线性组合Σm;w形式。 cv1+c2v2+…cnⅤn=d1w1+dw2+…dnWn的坐标是由d=Mc所给 出。(对于n=2时,令V1=m11w1+m21w2,v2=m12w1+m2Ww2)
✁✂✄ ☎✆✝✞✟ ✠ ✡☞☛✍✌✍✎✍✏✒✑ ✓✕✔✍✖✍✗✒✘☞✙✍✚✍☛✍✛✒✑ A = (aij ) ✜✕✢ ✡✍✣✍✤☞✥✒✦ i ✧✒★☞✩✍✪ ✦ j ✧✫★✬✩✫✭✬✮✰✯✙✰✱✰✲✰✳✵✴✜ aij = 1; ✶✰✷ aij = 0 ✸✺✹✰✻✰✯✰✧✰✼✫✽ ✡ ✮ A = AT ✸ ✾✍✿✍❀✍❁ ✓ T(v) = Av + v0 = ❂✍❃❀✍❁ + ❄✍❅✍✸ ❆✍❇✍❈ ✓ (AB)C = A(BC) ✸❊❉●❋✵❍✵■❑❏●▲✵▼✓ ABC = (AB)C = A(BC) ✸ ◆✒❖ ✏✒✑ ✓P✛✍◗ Ax = b ☛◆✒❖ ✏✒✑☞❘ [A b] ✸ ✤ b ✢ A ☛✍❙ ✽☞❚✒❯✍✭ ✣☞✴✜ ✛✍◗ Ax = b ❱❲■✍❳☛✍❨ [A b] ❩ A ✮ ✲✒❬☞☛✍❭✸❲✢ [A b] ❪✒❫☞❴✍❵✍❛✍❜✛✍◗ ☛❳✍❝ ❀ ✸ ✽☞❞✍❡❁ ✓❲❢ ■✍❳☛❪✍❣✒❤☞✐✛✍◗✍❥✍❦ xn ✪ x1 ☛✍❧✍♠✍♥❳ ☛✍✛❵✍✸ V ☛✍♦ ✓ V ✣ ✯❥✍♣✍q❂✍❃✍✼✒r☛ ✽☞❚ v1, v2, · · · , vd ✸ V ✣☞s✍t ✽☞❚ v ✉ ■✍✈❲✇❘✍①✍❥ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✐✍②✍✸❲✯✍✧✒✽☞❚✒❯✍✭☞■✍✮✍③✒④ ❥✍♦✸ n ⑤✍⑥❙ ② ☛✍⑦✍⑧② ✓ Det(A) ❱ n! ⑨ ☛✵⑩✸❷❶✵⑨✵✉✵❱ a1α · · · anω ×(det(P) = ±1) ☛ ✐✍②✍✜❲❸ ✣ P ❱✍✯✍✧❙✍❹✍❁❺✏✒✑ (det P = ±1) ✸❲❶✍✯✍⑨✍❻✍❼ ✣☞s✍t✍❽ ✧✍❻✍❾✍✉✍❝✍✢ ❬ ✯ ❙✒✣ ✸ ❿✍➀✏✒✑ ✓➁❢ ✯✵✧✏❑✑●❦⑥✵➂ ❙✵➃⑥❿✍➄✵➅✍➆✧✵➇✏✒✑✜➁➈✍❶✍✯✵✧✍➇✏❑✑✉ ✤☞➉ ❾✵➊✵➋✵➌✵✜ ①✵➍✵☛✵✏❑✑●➎✍❘❿✍➀✏✒✑✸ ❿✍➀✏✒✑ AB ☛❻✍❵ ✓➐➏✵➑✵✏❑✑ A ☛✵❙ ☛❿ ❵✵❩ B ☛⑥ ☛❿ ❵✵✯✵➒✵✜➓✷❿✵➀✏❑✑ AB ☛❻✵❵✵■❦✵✏❑✑●✲❻✵✜➓➔❘ AB ✸ Cayley-Hamilton →✍➌ ✓ p(λ) = det(A − λI) ✮ p(A) = CAc > XUs ✸ ♦✍❀✍❁✍✏✒✑ M ✓❷➣ ➊ ☛✵♦✽●❚ vj ❱✵↔☛✵♦✽●❚ wi ☛❂✵❃❥✵❇ Σmijwi ✐✵②✵✸ c1v1 + c2v2 + · · · cnvn = d1w1 + d2w2 + · · · dnwn ☛✍↕✍➙❱✒➛ d = Mc ➜✍➝ ➞ ✸ (✹✍✻ n = 2 ✴ ✜❲➟ v1 = m11w1 + m21w2, v2 = m12w1 + m22w2) 1
特征方程:det(A-M)=0。n个根是η阶矩阵A的特征根 Cholesky因子化:将正定矩阵A分解为A=CC=(L√D(L√D的形 循环矩阵C:每条对角线上为常值且为循环位移阵所卷绕的矩阵,循环矩阵形 如CoE+C1S1+…+Cn-1S-1。Cx=卷积c*ⅹ,F中的特征向量 代数余子式C:在n阶行列式中,划去元素ai所在的第讠行和第j列,剩下 的元素按原来次序纽成的n-1阶行列式记为M,令C1;=(-1)+M,称 C;为ai的代数余子式 Ax=b的列图:b成为A的列向量的线性鉏合。当b在A的列空间C(A) 中方程组可解 列空间C(A)=A的列向量的所有线性组合所成空间 可交换矩阵AB=BA。若A,B可对角化,则它们有相同的特征向量 友矩阵:第n行的元素为c1,e2,…,Cn,其余主对角线元素为n-1个1的方阵。 通解:方程Ax=b的通解为ⅹ=xp+xn。即(特解xp)+(零空间中元素xn) 复共轭:复数z=a+b的复共轭是z=a-i。z=|242 条件数: condo(A)=k(A)=‖A|A-1=omax/omin。在Ax=b中相对 变换‖6(x)/x‖l要比cond(A)乘以相对变换‖6b/|b小。条件数测量由于 输入的变 起的输出变化的灵敏度 共轭梯度方法:通过在增长的Klow子空间上极小化x7Ax-xb来求解 正定矩阵A的方程Ax=b的一糸列步骤。(第九章末) 协方差矩阵Σ:当随机变量;有均值=0时,它们的协方差∑是xj的均 值。有均值丌,∑=(x-)(x-)的均值是(半)正定的。若r1是独立的 则它是可对角化的 Ar=b的克来姆法则:令B是用b代替A的第j列所得到的矩阵,则方程 的解为x=det(B;)de(A)
➠✍➡✛✍◗ ✓ det(A − λI) = 0 ✸ n ✧✍➢✍❱ n ⑤ ✏✒✑ A ☛➠✍➡➢✍✸ Cholesky ➤☞➥✍➦ ✓❲❢❺➧→ ✏➨✑ A ❿ ❳ ❘ A = CC T = (L √ D)(L √ D) T ☛ ✐ ②✍✸ ➩✍➫✍✏✒✑ C ✓ ❶ ✙ ✹✒❤☞❂✍❪❘✍➭✍➯✍❨✍❘✍➩❺➫✍➲❅ ✑➜✍➳❺➵☛❺✏✒✑ ✜ ➩❺➫✍✏➨✑✐ ➏ C0E + C1S 1 + · · · + Cn−1S n−1 ✸ Cx = ➳❲❼ c ∗ x ✜ F ✣☞☛➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ❡✍❾✍➸✍➥✍② Cij ✓ ✢ n ⑤✍⑥❙ ② ✣ ✜➻➺✍▲✍❴✍➼ aij ➜✍✢☛✒✦ i ⑥ ⑩✒✦ j ❙ ✜➻➽✗ ☛ ❴✍➼ ❦✍➣ ➊✍➾♠✍❥➄☛ n − 1 ⑤✍⑥❙ ②✍➔❘ Mij ✜➚➟ Cij = (−1)i+jMij ✜ ➎ Cij ❘ aij ☛❡✍❾✍➸✍➥✍②✍✸ Ax = b ☛✍❙✒✡ ✓ b ➄❘ A ☛✍❙ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✤ b ✢ A ☛✍❙ ❯✍✭ C(A) ✣☞✛✍◗✍❥■✍❳✍✸ ❙ ❯✍✭ C(A) = A ☛✍❙ ✽☞❚☛ ➜✍✮✍❂✍❃❥✍❇➜ ➄ ❯✍✭☞✸ ■✍➪❁✍✏✒✑ AB = BA ✸ ➅ A, B ■✍✹✒❤☞➦✍✜❲✷✍➶✍➹✍✮✲✒❬☞☛➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ➘✍✏✒✑ ✓➴✦ n ⑥ ☛❴✰➼❘ c1, c2, · · · , cn ✜➷❸✰➸⑦✹✫❤✬❂✰❴✰➼❘ n−1 ✧ 1 ☛✰✛✫✑✸ ➬ ❳ ✓➴✛✵◗ Ax = b ☛➬ ❳ ❘ x = xp+xn ✸❷❉ (➠ ❳ xp)+(➮❑❯✵✭ ✣ ❴✵➼ xn) ✸ ➱✍✃✍❐ ✓ ➱❾ z = a + ib ☛ ➱✍✃✍❐❱ z = a − ib ✸ zz = |z| 2 ✸ ✙✍✚❾ ✓ cond(A) = κ(A) = kAkkA−1k = σmax/σmin ✸❲✢ Ax = b ✣☞✲✹ ❀✍❁ kδ(x)k/kxk ❒✍❮ cond(A) ❻✒❏✲✹ ❀✍❁ kδbk/kbk ➇✍✸ ✙✍✚❾✍❰✍❚✒➛☞✻ Ï✍Ð☛✍❀➦✍Ñ✒Ò☞Ó☛Ï ➞ ❀➦ ☛✍Ô✍Õ✍Ö✸ ✃✍❐✍×Ö✍✛❵ ✓ ➬❺Ø✢◆❺Ù☛ Krylov ➥➨❯❺✭Ú❪♣ ➇❺➦ 1 2 x T Ax − x T b ➊♥ ❳ ➧ → ✏Û✑ A ☛✍✛✍◗ Ax = b ☛ ✯✒Ü ❙✒Ý☞Þ✸ (✦☞ß✍à✍á) â✛✍ã✍✏✒✑ Σ ✓Û✤☞ä✍å✍❀ ❚ xi ✮✍æ➯ =0 ✴ ✜❲➶✍➹☛â✛✍ã Σij ❱ xixj ☛ æ ➯ ✸➻✮✍æ➯ xi ✜ Σ = (x − x)(x − x) T ☛ æ➯ ❱ (ç) ➧ → ☛ ✸ ➅ xi ❱✍è✍é☛ ✜ ✷✍➶✍❱✍■✍✹✒❤☞➦☛ ✸ Ax = b ☛✍ê➊✍ë✍❵✍✷ ✓ ➟ Bj ❱✍ì b ❡✍í A ☛✒✦ j ❙➜✍î✍✪ ☛✍✏✒✑✜❲✷✛✍◗ ☛ ❳ ❘ xj = det(Bj )/det(A) ✸ 2
R中叉乘Ⅱ×ⅴ:和Ⅱ,正交的向量,长度为‖ull‖lsinθ|=u,v所构 成平行四边形的面积。若u=(u1,u2,3),v=(v1,v,3),则uxv可以用 ijk;auu2ta;a2t]的“行列式”来计算 循环位移阵S:s21=1,S32=1,…,sln=1的置换矩阵S。它的特征值是1的 n个特征根e,k=0,1,…,n-1.特征向量是 Fourier矩阵F的列向量 行列式|A|=det(A):定义dlet(门)=1,行列式换行改变符号且其两行线性相 加不改变行列式的值。当A是奇异矩阵时|4|=0。并且有|AB=|4‖B 和|A=|A4。关于det(A)的主公式是n!项的和,余子式公 式用n-1阶行列式来表示,框体体积=ldet(A) 对角矩阵:非主对角 素都为零的矩阵 分块对角矩阵:除矩阵块Da之外矩阵元素均为零 可对角化矩阵A:必须有η个线性无关的特征向量(在S的列向量中;对应n 个不同的特征值)。则S-1AS=A=特征值矩阵 对角化A=S-1AS:A=特征值矩阵。S=特征向量矩阵。A必须有n个 线性无关的特征向量使S可逆。Ak=SAS 向量空间V的维数:dim(V)=V的一组基中向量的个数 分配律:A(B+C)=AB+AC。即先加后乘与先乘后加结果相同。 积:x1y=x1y1+x2y2+……+xnn。复点积是xy。正交向量的点积 为零。(AB)=(A的第i行)·(B的第j列) 阶梯形矩阵U:若一个方阵第i行的首个非零元素都出现在其上一行首个非零 元的右边,同时没有一非零行出现在零行之下,此方阵称为阶梯形矩阵 特征值λ和特征向量x:Ax=Ax,x≠0。使得det(A-AD)=0 Eigshow:图解2×2矩阵的特征值和奇异值。( MATLAB or Java) 消无法:一糸列把A消成一个上三角形矩阵U或消成形式B=rre∫(A)的行 运算。A=LU,其中(是L中的乘子,或PA=LU且由P对A进行行 变换,或EA=R且E可逆
R3 ✣☞ï❻ u × v ✓❲⑩ u, v ➧ ➪ ☛ ✽Ú❚❺✜ ÙÖ❺❘ kukkvk | sin θ |= u, v ➜❺ð ➄ ❄❺⑥❺ñ✱ ✐ ☛➨✘ ❼❺✸ ➅ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ✜❲✷ u × v ■➨❏Úì [i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3] ☛óò⑥ ❙ ②✍ô❲➊✍õ✍ö✍✸ ➩✍➫✍➲❅ ✑ S ✓ s21 = 1, s32 = 1, · · · , s1n = 1 ☛✰❹✰❁✵✏✫✑ S ✸✺➶☛➠✰➡➯ ❱ 1 ☛ n ✧ ➠✵➡➢ e 2πik n ✜ k = 0, 1, · · · , n−1 ✸ ➠✵➡ ✽●❚✵❱ Fourier ✏❑✑ F ☛✵❙ ✽●❚✵✸ ⑥ ❙ ② |A| = det(A) ✓ →✍÷ det(I) = 1 ✜☞⑥❙ ②❁ ⑥✍ø❀✍ù❍❨ ❸ ❽⑥✍❂✍❃✲ ú ❝✍ø❀ ⑥ ❙ ② ☛✍➯✸ ✤ A ❱✍û✍ü✏✒✑☞✴ |A| = 0 ✸❲ý❨ ✮ |AB| = |A||B| ✜ |A−1 | = 1/|A| ⑩ |AT | = |A| ✸Ûr☞✻ det(A) ☛✍⑦✍⑧②✍❱ n! ⑨ ☛✍⑩✜❲➸✍➥✍②⑧ ②✍ì n − 1 ⑤✍⑥❙ ②✍➊✍✈✍✇✍✜❲þ✍ÿ✍ÿ✍❼ = |det(A)| ✸ ✹✒❤ ✏✒✑ ✓✁☞⑦✹✒❤☞❂✍❪✍❴✍➼✍✉❘ ➮ ☛✍✏✒✑✸ ❿✍➀✹✒❤ ✏✒✑ ✓✄✂✍✏✒✑➀ Dii ☎✝✆✏✒✑❴✍➼✍æ ❘ ➮✍✸ ■✍✹✒❤☞➦✏✒✑ A ✓✟✞✝✠✮ n ✧✍❂✍❃✍✼✒r☛➠✍➡ ✽☞❚ (✢ S ☛✍❙ ✽☞❚ ✣☛✡ ✹✝☞ n ✧✍❝ ❬☞☛➠✍➡➯ ) ✸❲✷ S −1AS = Λ = ➠✍➡➯✍✏✒✑✸ ✹✒❤☞➦ Λ = S −1AS ✓ Λ = ➠✍➡➯✍✏✒✑✸ S = ➠✍➡ ✽☞❚✏✒✑✸ A ✞✝✠✮ n ✧ ❂✍❃✍✼✒r☛➠✍➡ ✽☞❚✝✌ S ■✝✍✍✸ Ak = SΛ kS −1 ✸ ✽☞❚✒❯✍✭ V ☛✝✎❾ ✓ dim(V ) = V ☛ ✯❥✍♦✒✣ ✽☞❚☛✧✍❾✍✸ ❿✝✏❈ ✓ A(B + C) = AB + AC ✸Û❉☛✑ú ❞✍❻✍❩✝✑✍❻✍❞ ú❆✍➑✍✲✒❬ ✸ ✩✍❼ ✓ x Ty = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn ✸ ➱ ✩✍❼✍❱ x Ty ✸ ➧ ➪✒✽☞❚☛ ✩✍❼ ❘ ➮✍✸ (AB)ij = (A ☛✒✦ i ⑥ ) · (B ☛✒✦ j ❙ ) ✸ ⑤ × ✐✏✒✑ U ✓ ➅ ✯✍✧✛✒✑✍✦ i ⑥ ☛✝✒✧ ➮✍❴✍➼✍✉ ➞☛✓✢✍❸✍❪✍✯✍⑥✒✧ ➮ ❴ ☛✝✔✍✱✜ ❬☞✴✝✕✮✍✯ ➮✍⑥ ➞☛✓✢✍➮✍⑥☎ ✗ ✜✄✖✛✒✑☞➎✍❘ ⑤ × ✐✏✒✑✸ ➠✍➡➯ λ ⑩➠✍➡ ✽☞❚ x ✓ Ax = λx, x 6= 0 ✸✄✌✍î det(A − λI) = 0 ✸ Eigshow ✓Û✡ ❳ 2 × 2 ✏✒✑☞☛➠✍➡➯✍⑩û✍ü➯ ✸ (MATLAB or Java) ❫☞❴✍❵ ✓ ✯✒Ü ❙➈ A ❫ ➄ ✯✍✧✍❪✍❣✒❤☞✐✏✒✑ U ✗✒❫ ➄ ✐✍② R = rref(A) ☛⑥ ✘ ö✍✸ A = LU ✜❲❸ ✣ `ij ❱ L ✣☞☛❻✍➥✍✜✄✗ PA = LU ❨ ➛ P ✹ A ➃ ⑥✍⑥ ❀✍❁✜✄✗ EA = R ❨ E ■✝✍✍✸ 3
消去矩阵=初等矩阵E:恒等矩阵加上第(i,j)(≠j)元素是-(的矩 阵。EA从A的笫讠行减去A的笫j行的(的倍。 椭圆(或椭球)x'Ax=1:要求A是正定的;椭球的轴是A的特征向量,且 长度为1/八不;(对于‖x‖=1向量y=Ax位于由 Eigshow所显示的椭圆 A-lyl2=yr(AA)-ly=1上;轴长a) 指数矩阵e4=+At+42+…其导数为Ae4t;a'=An有解e1n(0) 因子化A=LU:不用行变换把A化成U,用带乘子1(和n=1)的下三角 矩阵L可把U还原为A 快速 Fourier变换(FFT): Fourier矩阵Fn因子化成￡≡log2n个矩阵S 乘以一个置换矩阵。每个S仅需号次乘法,因此Fnx和Fc可用次乘法 来计算。 Fibonacci数:0,1,1,2,3,5,…满足Fn=Fn-1+Fn-2=(-A)/(A1 2).增长率h=当是 Fibonacci矩阵1最大的特征值 A的四个基本子空间:C(4),N(A),C(A1),N(A) Fourier短阵F:矩阵元Fk=e给出正交列FF=n,y=F是 (可迢)离散 Fourier变换y=∑cme2 A的自由列向量:没有主元的列;此列可表示为前面列的线性合。 自由变量r;:第讠列在消元后没有主元。n-r个变量可取任意值。则Ax=b 决定了这r个主变元(若可解!) 列满秩η=n:列向量线性无关。N(A)={0},没有自由变量 r=m:行向量线性无关。Ax=b至少有一个解,列空间是R 是行满秩或列满秩 基本定理:由方程Ax=0可知零空间N(A)和行空间C(A1)是互为正交补 有维数为r和n-r的相互正交的子空间)。应用于A,列空间C(A)是 N(41)的正交补
❫☞▲✏✒✑ = ✙✝✚✏✒✑ Eij ✓☛✛✚✏✒✑ú ❪ ✦✢✜ i, j ✣ (i 6= j) ❴✍➼✍❱ −`ij ☛✍✏ ✑ ✸ EijA ✥ A ☛✒✦ i ⑥✝✤✍▲ A ☛✒✦ j ⑥ ☛ `ij ☛✝✥✸ ✦★✧ (✗✦✝✩)x T Ax = 1 ✓ ❒♥ A ❱➧ → ☛✝✡ ✦✝✩☛✝✪❱ A ☛➠✍➡ ✽☞❚✍✜ ❨ ÙÖ❺❘ 1/ √ λ ✡ (✹❺✻ kxk = 1 ✽Ú❚ y = Ax ➲ ✻➨➛ Eigshow ➜✬✫❺✇☛ ✦✭✧ kA−1yk 2 = y T (AAT ) −1y = 1 ❪ ✡✄✪Ù σi) ✮ ❾ ✏✒✑e At = I +At+ (At) 2 2! +· · · ❸✰✯✵❾❘ AeAt ✡ u 0 = Au ✮✵❳ e Atu(0) ✸ ➤☞➥✍➦ A = LU ✓ ❝✍ì✍⑥❀✍❁➈ A ➦ ➄ U ✜✕ì✝✱✍❻✍➥ `ij (⑩ `ii = 1) ☛✍✗❣✒❤ ✏✒✑ L ■✍➈ U ✲ ➣✍❘ A ✸ ✳✝✴ Fourier ❀✍❁✵✜ FFT ✣ ✓ Fourier ✏✒✑ Fn ➤☞➥✍➦➄ ` = log2 n ✧ ✏✒✑ Si ❻✒❏☞✯✍✧❹✍❁✍✏✒✑✸➚❶❲✧ Si ✶✝✷ n 2 ➾✍❻✍❵✍✜❲➤☛✖ Fnx ⑩ F −1 n c ■✍ì n` 2 ➾✍❻✍❵ ➊✍õ✍ö✍✸ Fibonacci ❾ ✓ 0, 1, 1, 2, 3, 5, · · · ✔✍✖ Fn = Fn−1 + Fn−2 = (λ n 1 − λ n 2 )/(λ1 − λ2) ✸ ◆✍Ù✝✸ λ1 = 1+√ 5 2 ❱ Fibonacci ✏✒✑ " 1 1 1 0 # ✹ q✍☛➠✍➡➯ ✸ A ☛ ñ✍✧♦✝✺➥✒❯✍✭ ✓ C(A), N(A), C(AT ), N(AT ) ✸ Fourier ✏✒✑ F ✓❲✏✒✑❴ Fjk = e 2πijk n ➝ ➞ ➧ ➪ ❙ F T F = nI ✜ y = Fc ❱ (■✝✍) ✻☛✼ Fourier ❀✍❁ y = P cke 2πijk n ✸ A ☛✾✽ ➛ ❙ ✽☞❚ ✓✄✕✮ ⑦ ❴ ☛✍❙✝✡ ✖ ❙ ■✍✈✍✇❘✝✿✒✘☞❙✍☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✽ ➛ ❀ ❚ xi ✓●✦ i ❙✢❑❫●❴✵❞ ✕ ✮ ⑦ ❴✵✸ n − r ✧ ❀❚✵■✰❀s✵t✵➯✸➐✷ Ax = b ❁ →✾❂ ① r ✧ ⑦✍❀ ❴ (➅ ■✍❳✢❃) ✸ ❙✍✔✍❭ r = n ✓❲❙ ✽☞❚✍❂✍❃✍✼✒r☞✸ N(A) = {0} ✜ ✕ ✮ ✽ ➛ ❀ ❚✍✸ ⑥ ✔✍❭ r = m ✓ ⑥➨✽Ú❚❺❂❺❃❺✼➨rÚ✸ Ax = b ❄✭❅Ú✮❺✯❺✧❺❳❺✜ ❙ ❯❺✭Ú❱ Rm ✸ ✔❲❭ ❱✍⑥✔✍❭✗ ❙✍✔✍❭✸ ♦✝✺→✍➌ ✓ ➛ ✛✍◗ Ax = 0 ■✝❆✍➮✒❯✍✭ N(A) ⑩⑥✒❯✍✭ C(AT ) ❱✝❇❘✍➧➪✬❈ (Rn ✮ ✎❾ ❘ r ⑩ n − r ☛✍✲❇➧ ➪ ☛ ➥✒❯✍✭ ) ✸❉☞✍ì✍✻ AT ✜ ❙ ❯✍✭ C(A) ❱ N(AT ) ☛✍➧➪✝❈✍✸ 4
Gauss-jordan方法:通过初等变换把[A门变为[ⅠA-订求出A的逆矩阵A-1 的方法 Gram- Schmidt标准正交化方法:A=QR。A中列向量是线性无关的,Q 中列向量标准正交。Q的每个列向量q是A的前j列向量的线性合 (R是上三角矩阵)约定:diag(R)>0 图G:由m条边两两相连的Ⅱ个节点的集合。一个完全图在节点间共有 n(n-1)/2条边。一个树仅有n-1条边且没有闭圈。 向图的边上 带有方向箭头 Hankel短阵H:每条反对角线上元素均为常值的矩阵;h;依赖于i+j Hermitian矩阵 条件AH=丌=A的复矩阵A,对称矩阵的复的类 Hessenberg矩阵H:次对角线元素非零的三角矩阵 t矩阵hib(n).矩阵元H;=1/(i+j-1)=x-1-dx,特征值 很小且条件数很大的正定矩阵 超立方矩阵P:第n+1行元素按P中一个立方体的角,边,面…的个数 计算 恒等矩阵I(或In):主对角元素为1,非主对角元素为0的矩阵 个有向图的关联矩阵:m条边n个节点的图的关联矩阵是从节点i到节点 的这条边对应一行向量,其笫i列和第j列元素分别为-1和1 不定矩阵:特征值有正有负的对称矩阵 线性无关向量组v1,V2,…,Vk:若C1V1+C2V2+…+ckvk=0成立当且仅当 所有c=0。若Ⅵ1,V2,…,vk是A的行向量,则Ax=0的解仅有x=0 逆矩阵A-1:满足AA-1=I和A-1A=1的方阵A-1.若det(4)=0 或rαnk(A)<π或Ax=0有非零解,则A不可逆,即A没有逆矩阵 (AB)-1=B-1A-1,(41)-1=(A-1)余子式公式(A-1)=Cf/de()
Gauss-Jordan ✛ ❵ ✓ ➬✵Ø✙✰✚❀✵❁➈ [A I] ❀✵❘ [I A−1 ] ♥ ➞ A ☛✍ ✏❑✑ A−1 ☛✍✛❵✍✸ Gram-Schmidt ➙✝❊✍➧ ➪✍➦✛ ❵ ✓ A = QR ✸ A ✣☞❙ ✽☞❚✍❱✍❂✍❃✍✼✒r☛ ✜ Q ✣☞❙ ✽☞❚➙✝❊✍➧ ➪✍✸ Q ☛❶✍✧❙ ✽☞❚ qj ❱ A ☛✝✿ j ❙ ✽☞❚☛ ❂✍❃❥✍❇✸ ✜ R ❱✍❪✍❣✒❤ ✏✒✑ ✣ ✸✁❋☞→✓ diag(R) > 0 ✸ ✡ G ✓ ➛ m ✙ ✱❽ ❽ ✲ ✳☛ n ✧ ★ ✩ ☛❍●❇ ✸❲✯✧❏■☛❑ ✡ ✢ ★ ✩ ✭ ✃ ✮ n(n − 1)/2 ✙❺✱✸❲✯❺✧✵▲ ✶✮ n − 1 ✙❺✱❺❨✬✕✮✭▼✬◆Ú✸❲✯❺✧ ✮✒✽ ✡ ☛❺✱❪ ✱✍✮✛ ✽☛❖✝P✍✸ Hankel ✏✒✑ H ✓ ❶ ✙✝◗✹✒❤☞❂✍❪✍❴✍➼✍æ ❘✍➭✍➯✍☛✍✏✒✑☛✡ hij ❘✝❙ ✻ i + j ✸ Hermitian ✏✒✑ ✓❲✔❺✖❺✙❺✚ AH = A T = A ☛ ➱✏➨✑ A ✜❲✹➎❺✏➨✑Ú☛ ➱☛✭❚ ❯✓ aji = aij ✸ Hessenberg ✏✒✑ H ✓ ➾✍✹✒❤☞❂✍❴✍➼ ➮ ☛ ❣✒❤ ✏✒✑✸ Hlibert ✏✒✑ hilb(n) ✸ ✏✒✑❴ Hij = 1/(i + j − 1) = R 1 0 x i−1x j−1dx ✸ ➠✍➡➯ λmin ③✍➇❨✍✙✍✚❾✍③q✍☛✍➧→ ✏✒✑✸ ❱ é✛✍✏✒✑ P 2 L ✓❺✦ n + 1 ⑥✍❴✍➼ ❦ Rn ✣ ✯✍✧✍é✛ÿ ☛ ❤☞✜ ✱ ✜ ✘ · · · ☛✧✍❾ õ✍ö✍✸ ✛ ✚✏✒✑ I(✗ In) ✓❲⑦✹✒❤☞❴✍➼ ❘ 1 ✜ ☞⑦✹✒❤☞❴✍➼ ❘ 0 ☛✍✏✒✑✸ ✯✍✧✍✮✒✽ ✡☞☛ r☛❲✏✒✑ ✓ m ✙✍✱ n ✧✒★☞✩☛✒✡☞☛ r☛❲✏✒✑❱✥ ★☞✩ i ✪✒★☞✩ j ☛✍①✍✙✍✱✹✝☞✍✯✍⑥✒✽☞❚✍✜❲❸ ✦ i ❙✍⑩✒✦ j ❙❴✍➼ ❿✝❳❘ −1 ⑩ 1 ✸ ❝✍→✏✒✑ ✓ ➠✍➡➯ ✮➧ ✮★❨ ☛✹ ➎✍✏✒✑✸ ❂✍❃✍✼✒r✍✽☞❚❥ v1, v2, · · · , vk ✓ ➅ c1v1 +c2v2 +· · ·+ckvk = 0 ➄ é ✤●❨✶ ✤ ➜✍✮ ci = 0 ✸ ➅ v1, v2, · · · , vk ❱ A ☛⑥✒✽☞❚✍✜☞✷ Ax = 0 ☛❳✶✮ x = 0 ✸ ✍ ✏✒✑ A−1 ✓❲✔❺✖ AA−1 = I ⑩ A−1A = I ☛❺✛➨✑ A−1 ✸ ➅ det(A) = 0 ✗ rank(A) < n ✗ Ax = 0 ✮ ➮❳✜❲✷ A ❝Û■❍✍✜Û❉ A ✕ ✮❍✍✏ ✑ ✸ (AB) −1 = B−1A−1 ✜ (AT ) −1 = (A−1 ) T ✸ ➸✰➥✰②⑧ ② (A−1 )ij = Cij/det(A) ✸ 5
迭代法:通过一些方法得到所期望的解的一糸列步骤。 Jordan型:J=M-1AM。若A有s个线性独立的特征向量,由它的“广 义”特征向量矩阵M得到J=diag(J1,J2,…J)。矩阵块Jk=λk+Nk 其中Nk是一条次对角线上为1,其它元素为0的矩阵,每个矩阵块都有一个 特征值λk和一个特征向量(1,0,……,0) Kirchhoff’s定律:电流定律:节点静电流(流进或流出)是θ.电压定律:围绕 任何闲线圈电势差(电压升降)变化为0 Kronecker积(张量积):A⑧B。其矩阵块为αiB;特征值为λ(A)λq(B) Krylov子空间K(Ab):这个子空间由b,Ab,…,A1-b张成。可用x来数 值過近A-1b,此时b-Axj在该子空间内。K的一组好的基仅要求在每一 步中用A去乘 乘解父:求方程AA=Ab满足极小误差‖el‖2条件的解文,其中 AX和A的所有列向量都是正交的 左逆A:若A有列满秩n,则A+=(AA)-1A。因此A+A=Ln 左零空间N(A1):因为y'A=0,所以A的零空间=A的“左零空间 长度|xl:xx的平方根。(m维空间中有毕达哥拉斯定理) 线性组合:四v+dw或∑vj。有向量加法和数乘两种运算 线性变换了:在线性变换T下,向量ⅴ变为T(),并且满足线性性质: T(v+dw)=cT(v)+dT(w)。例如:矩阵乘法A,函数空间上的微分。 ⅵ1,V2,…,Vn线性相关:存在不全为零的q,使得∑cv=0 Lucas数:Ln=2,1,3,4,…,满足Ln=Ln-1+Lm-2=A1+,Fibo raccI矩阵 的特征值λ1,A 和 Fibonacci数相比I0=2 Markov矩阵M:所有m≥0。且每列和为1。最大特征值为入=1。若
❩❡✍❵ ✓ ➬✍Ø✯✝❬✛ ❵✍î✍✪✍➜✝❭★❪ ☛❳ ☛ ✯✒Ü ❙✒Ý☞Þ✸ Jordan ❫ ✓ J = M−1AM ✸ ➅ A ✮ s ✧✍❂✍❃✍è✍é☛➠✍➡ ✽☞❚✍✜Û➛☞➶ ☛ ò ❖ ÷✍ô ➠❲➡ ✽☞❚✏✒✑ M î✍✪ J = diag(J1, J2, · · · Js) ✸ ✏✒✑➀ Jk=λkIk + Nk ✜ ❸ ✣ Nk ❱✍✯✙ ➾✍✹✒❤☞❂✍❪❘ 1 ✜❲❸✍➶✍❴✍➼ ❘ 0 ☛✍✏✒✑✜❲❶✍✧✏✒✑➀ ✉✍✮✍✯✍✧ ➠✍➡➯ λk ⑩ ✯✍✧➠✍➡ ✽☞❚ (1, 0, · · · , 0) ✸ Kirchhoff’s →❈ ✓❵❴☛❛→❈✍✓ ★☞✩✝❜ ❴☛❛ (❛✍➃✗❛ ➞ ) ❱ 0 ✸ ❴☛❝→❈✍✓❵❞ ➵ s✝❡ ▼☞❂★◆ ❴☛❢✍ã (❴❣❝✝❤✝✐) ❀➦ ❘ 0 ✸ Kronecker ❼ ✜❦❥❚✍❼✾✣ ✓ A N B ✸❷❸✏❑✑➀❘ aijB ✡ ➠✵➡➯✵❘ λp(A)λq(B) ✸ Krylov ➥✒❯✍✭ Kj (A, b) ✓ ①✧✵➥❑❯✵✭✵➛ b, Ab, · · · , Aj−1b ❥➄ ✸ ■✵ì xj ➊✵❾ ➯✝❧✝♠ A−1b ✜✄✖✴ b − Axj ✢✝♥✍➥✒❯✍✭✝♦☞✸ Kj ☛ ✯❥✝♣✍☛✍♦✶❒♥ ✢✍❶✍✯ Ý✍✣ ì A ▲✍❻✍✸ ✹ ➇✝q✍❻✍❳ xb ✓❲♥❺✛❺◗ AT Axb = ATb ✔❺✖❺♣➇✬rã kek 2 ✙❺✚❺☛ ❳ xb ✜❲❸ ✣ e = b − Axb ⑩ A ☛➜✍✮❙ ✽☞❚✍✉✍❱➧ ➪ ☛ ✸ s✍ A+ ✓ ➅ A ✮ ❙✍✔✍❭ n ✜❲✷ A+ = (AT A) −1AT ✸Û➤☛✖ A+A = In ✸ s ➮✒❯✍✭ N(AT ) ✓ ➤ ❘ y T A = 0 T ✜ ➜❑❏ AT ☛➮❑❯✵✭ = A ☛ òs ➮❑❯✵✭●ô ✸ ÙÖ kxk ✓ x T x ☛ ❄✛➢✍✸ (n ✎ ❯✍✭ ✣ ✮✝t✝✉✝✈✝✇✝①✍→✍➌) ✸ ❂✍❃❥✍❇ ✓ cv + dw ✗ P cjvj ✸❲✮✒✽☞❚ú ❵ ⑩❾✍❻❽✝②✘ ö✍✸ ❂✍❃❀✍❁ T ✓ ✢❂❃ ❀ ❁ T ✗ ✜Û✽ ❚ v ❀ ❘ T(v) ✜❲ý ❨✔ ✖ ❂❃❃❍③ ✓ T(cv + dw) = cT(v) + dT(w) ✸✄④➏✍✓❲✏✒✑❻✍❵ Av ✜✄⑤✍❾✒❯✍✭☞❪☛✝⑥❿ ✸ v1, v2, · · · , vn ❂✍❃✲ r ✓✄⑦✢✍❝✝❑❘ ➮ ☛ ci ✜✄✌✍î Pcivi = 0 ✸ Lucas ❾ ✓ Ln = 2, 1, 3, 4, · · · ✜ ✔✍✖ Ln = Ln−1 + Ln−2 = λ n 1 + λ n 2 ✜ Fiboracci ✏❑✑ " 1 1 1 0 # ☛➠✵➡➯ λ1, λ2 = (1± √ 5) 2 ✸ ⑩ Fiboracci ❾ ✲❮ L0 = 2 ✸ Markov ✏✒✑ M ✓ ➜❺✮ mij ≥ 0 ✸ ❨❶ ❙❺⑩❺❘ 1 ✸ ✹ q➠❺➡➯❺❘ λ = 1 ✸ ➅ 6
m>0,则MA的列向量接近稳定状态的特征向量Ms=s>0 矩阵乘法AB:AB的笫讠行第j列元素是A的第讠行B的第j列相乘 =∑ aikbkj。列向量:AB的第j列=A乘B的第j列。行向量:AB的 第讠行=A的第讠行乘B。列乘行:AB=∑(k列)(k行)。所有这些等价定 义都来自于规则:ABx=A·Bx 极小多项式:满足m(A)=0的次数最小的多项式。m的根是特征值 是det(A-AD)的因子 乘法:Ax=x1(第1列)+……+xn(第n列)=列向量的鉏合 重数AM和GM:一个特征值λ的代数重数AM是指λ作为de(A-AD)=0 的根的重数。几何重数GM是此特征值λ所对应的线性独立的特征向量的个数 =(A所对应的特征空间的维数) 乘子(1:第j行的主元乘(后,在i行把其减掉而消去(ij)处的元素 eij=(消去元)/(第j行主元) 网络:一个有C1,C2,…,cm个常值与m条边相对应的有向图 幂零矩阵N:N的某次幂是零矩阵,即存在正整数k使得N=0。仅有的 特征值是λ=0(k重)。例如,对角线为零的三角矩阵 矩阵的范数‖4:“P2范数"是1的最大比值=0mx,则4x≤4x, ‖AB≤‖州!!B和‖A+班≤‖A‖+‖B. Frobenius范数‖A‖}= ∑∑嗚;(和C的范数分别是|a|列中元素和的最大值和行中元素 和的最大值 标准方程AA=ATb:若A有满秩n,由标准方程可得到Ax=b的最小 二乘解。方程说明(A的列)·(b-A8)=0 正规矩阵N:NN=NTN,有标准正交的(复)特征向量 零空间N(A):N(A)={Ax=0的解}。维数为n-7=(列数)-rnk 零空间矩阵N:N的列是As=0的π-r个特解。正交矩阵Q是有标准 正交列向量的方阵。于是由QQ=I得QT=Q-1。矩阵Q保角且保距
mij > 0 ✜❲✷ Mk ☛✍❙ ✽☞❚✎✝♠✝⑧→✝⑨✝⑩☛➠✍➡ ✽☞❚ Ms = s > 0 ✸ ✏✒✑❻✍❵ AB ✓ AB ☛➨✦ i ⑥ ✦ j ❙ ❴❺➼❺❱ A ☛➨✦ i ⑥ B ☛➨✦ j ❙❺✲ ❻ = Paikbkj ✸ ❙ ✽☞❚✓ AB ☛✒✦ j ❙ = A ❻ B ☛✒✦ j ❙ ✸❲⑥✒✽☞❚✓ AB ☛ ✦ i ⑥ =A ☛✒✦ i ⑥✍❻ B ✸ ❙❻✍⑥✓ AB = P(k ❙ )(k ⑥) ✸●➜✍✮① ❬✝✚✝❶✍→ ÷✍✉✍➊ ✽ ✻✝❷✍✷✓ ABx = A · Bx ✸ A ☛✍♣➇✒④☞⑨✍② ✓❲✔❺✖ m(A) = 0 ☛ ➾❺❾✹ ➇ ☛ ④Ú⑨❺②❺✸ m ☛ ➢❺❱➠❺➡➯ ✜ m(λ) ❱ det(A − λI) ☛ ➤☞➥✍✸ ❻✍❵ ✓ Ax = x1(✦ 1 ❙ )+· · ·+xn(✦ n ❙ )= ❙ ✽☞❚☛✍❥✍❇✸ ❸❾ AM ⑩ GM ✓ ✯✵✧➠✵➡➯ λ ☛❡✵❾❸❾ AM ❱✮ λ ➉✵❘ det(A−λI) = 0 ☛➢ ☛✝❸❾✍✸❣❹❡✝❸❾ GM ❱✝✖➠✍➡➯ λ ➜✍✹✝☞☛ ❂✍❃✍è✍é☛➠✍➡ ✽☞❚☛✧✍❾ =(λ ➜✍✹✝☞☛➠✍➡ ❯✍✭ ☛✝✎❾) ✸ ❻✍➥ `ij ✓Û✦ j ⑥ ☛ ⑦ ❴❻ `ij ❞ ✜❲✢ i ⑥➈❸❍✤▼Ñ ❫ ▲ (i,j) ➋ ☛ ❴➼ ✓ `ij=(❫☞▲✍❴)/(✦ j ⑥ ⑦ ❴) ✸ ❺☛❻ ✓ ✯✍✧✍✮ c1, c2, · · · , cm ✧ ➭✍➯❩ m ✙✍✱✍✲✹✝☞☛ ✮✒✽ ✡ ✸ ❼ ➮✏✒✑ N ✓ N ☛★❽➾ ❼ ❱✍➮✏✒✑✜Û❉ ⑦ ✢➧★❾❾ k ✌✍î Nk = 0 ✸ ✶✮ ☛ ➠✍➡➯ ❱ λ = 0(k ❸ ) ✸✄④➏ ✜❲✹✒❤☞❂❘ ➮ ☛ ❣✒❤ ✏✒✑✸ ✏✒✑☞☛★❿❾ kAk ✓➓ò l 2 ❿❾✰ô➷❱ kAxk kxk ☛✹ q❮ ➯ = σmax ✸➷✷ kAxk ≤ kAkkxk ✜ kABk ≤ kAkkBk ⑩ kA + Bk ≤ kAk + kBk ✸ Frobenius ❿❾kAk 2 F = P P a 2 ij ✡ ` 1 ⑩ `∞ ☛➀❿❾❿❍❳ ❱ | aij | ❙ ✣ ❴➼ ⑩☛ ✹ q➯⑩⑥ ✣ ❴➼ ⑩✍☛ ✹ q✍➯✸ ➙✝❊✍✛✍◗ AT Axb = ATb ✓ ➅ A ✮ ✔✍❭ n ✜✍➛ ➙✝❊✍✛✍◗■✍î✍✪ Ax = b ☛✹ ➇ q✍❻✍❳✍✸ ✛✍◗✝➁★➂ (A ☛✍❙)· (b − Axb)=0 ✸ ➧❷ ✏✒✑ N ✓ NNT = NT N ✜❲✮➙✝❊✍➧ ➪ ☛ (➱ ) ➠✍➡ ✽☞❚✍✸ ➮✒❯✍✭ N(A) ✓ N(A) = {Ax = 0 ☛❳ } ✸ ✎❾ ❘ n − r=(❙❾)−rank ✸ ➮✒❯✍✭ ✏✒✑ N ✓ N ☛✍❙❱ As = 0 ☛ n − r ✧ ➠ ❳✍✸ ➧ ➪✏✒✑ Q ❱✍✮➙✝❊ ➧ ➪ ❙ ✽☞❚☛✍✛✒✑✸ ✻✍❱✒➛ QTQ = I î QT = Q−1 ✸ ✏✒✑ Q ❛✒❤ ❨❛✝➃✍✜ ❉ 7
Qx‖=x和(Qx)(Qy)=xy。所有|=1,且特征向量正交。例如 旋转,反射,置换 正交子空间:V中任意向量ⅴ和W中所有向量W都正交 标准正交向量q,q2…q:点乘满足q·q=1和q1·q=0(i≠j 以这些标准正交向量作为列向量的矩阵Q有QQ=。若m=n,则 Q=Q-1且在Pn中q1,q,…,qn是一组标准正交基:每个向量ⅴ可表示 为ⅴ=∑(yq) 外积 T=列乘以行=对一个矩阵求秩。 部分选主元:在消元法中,第j个主元是选取第j列中绝对值最大元素。所有 乘子有|≤1。舍入误差是可控制的(依赖于矩阵的条件数) 特解 Ax=b的任意解;通常xp的自由变量选为0 Pascal矩阵:P= Pascall(n),元素为二项式亲数(2+j-2 的对称矩 阵。Ps=PLP包含了所有的det=1的 Pascal三角矩阵(更多性质看附录) 置换矩阵P:将1,2,…,n重排,共有n!个排列,这n!个排列对应恒等矩阵 Ⅰ的灬!个行排列。PA按置换P重排A的行,P是行变换B;的积。P是 奇的或偶的(detP=1(或-1)依赖于对换的个数) A的主元列向量:在行化简后含有主元的那些列向量;不是前面列向量的纽合 主元列向量是列空问的一组基。 主元d:当用一行进行消元时,对角线上首个非零元称为主元 Rn中的平面(或超平面):ax=0的解是一个垂直于非零元a的(-1)维 平面。 极分解:A=QH,Q为正交矩阵,H为(半)正定矩阵 正定矩阵A:具有正特征值和正主元的对称矩阵 :矩阵A对于任意的 x≠0,xAx>0恒成立,则称A为正定矩阵 到通过a的直线上的授影p=a(ab/aa):P=aa/aa有秩1
kQxk = kxk ⑩ (Qx) T (Qy) = x T y ✸☞➜✍✮ |λ| = 1 ✜ ❨➠✍➡ ✽☞❚➧ ➪✍✸☛④➏✓ ➄✝➅✜ ◗✍✿✜ ❹✍❁✸ ➧ ➪✍➥✒❯✍✭ ✓ V ✣☞s✍t ✽☞❚ v ⑩ W ✣ ➜✍✮✒✽☞❚ w ✉➧ ➪✍✸ ➙✝❊✍➧➪✒✽☞❚ q1, q2, · · · , qn ✓ ✩✍❻✔✍✖ q T i · qi = 1 ⑩ q T i · qj = 0 (i 6= j) ✸ ❏① ❬➙❍❊➧ ➪ ✽ ❚➉❘ ❙ ✽❲❚☛Û✏ ✑ Q ✮ QTQ = I ✸ ➅ m = n ✜❲✷ QT = Q−1 ❨ ✢ Rn ✣ q1, q2, · · · , qn ❱✍✯❥✍➙✝❊✍➧ ➪♦✍✓ ❶✍✧✒✽☞❚ v ■❲✈✍✇ ❘ v = P(v T qj )qj ✸ ✆❼ ✓ uvT= ❙❻✒❏☞⑥ = ✹✍✯✍✧✏✒✑☞♥✍❭✸ ➆❿✝➇⑦ ❴ ✓ ✢✒❫☞❴✍❵ ✣ ✜ ✦ j ✧ ⑦ ❴✍❱➇ ❀ ✦ j ❙✒✣☛➈✹➯ ✹ q ❴✍➼✍✸❲➜✍✮ ❻✍➥✍✮ |`ij | ≤ 1 ✸✄➉Ð r ã❱✍■✝➊✝➋ ☛ (❘✝❙ ✻✏✒✑☞☛✍✙✍✚❾) ✸ ➠ ❳ xp ✓ Ax = b ☛✍s✍t❳ ✡ ➬➭ xp ☛✾✽ ➛ ❀ ❚➇❘ 0 ✸ Pascal ✏✒✑ ✓ Ps =Pascal(n) ✜❲❴❺➼ ❘ q❺⑨❺②➨ÜÚ❾ i + j − 2 i − 1 ! ☛ ✹ ➎❺✏ ✑ ✸ Ps = PLPU ➌➎➍ ❂➐➜✵✮☛ det = 1 ☛ Pascal ❣❑❤ ✏❑✑ (➏❑④●❃✰③✰➐✰➑➓➒) ✸ ❹✍❁✍✏✒✑ P ✓❲❢ 1, 2, · · · , n ❸✝➔✜ ✃ ✮ n! ✧ ➔✍❙✜ ① n! ✧ ➔✍❙✹✝☞✛ ✚✏✒✑ I ☛ n! ✧✍⑥➔✍❙✸ PA ❦❲❹✍❁ P ❸✝➔ A ☛⑥✍✜ P ❱✍⑥❀✍❁ Pij ☛❼✍✸ P ❱ û ☛ ✗✝→☛ (detP = 1( ✗ −1) ❘✝❙ ✻✍✹❁✍☛✧✍❾) ✸ A ☛✍⑦❴ ❙ ✽☞❚ ✓ ✢✵⑥✵➦➓➣●❞ ➍✮ ⑦ ❴ ☛✰↔❬ ❙ ✽●❚✡ ❝✵❱✿❑✘●❙ ✽●❚☛✍❥✵❇✸ ⑦ ❴ ❙ ✽☞❚✍❱❙ ❯✍✭ ☛ ✯❥✍♦✸ ⑦ ❴ d ✓Û✤ ì✍✯✍⑥➃ ⑥✒❫☞❴✴ ✜❲✹✒❤☞❂✍❪✒✧ ➮✍❴➎✍❘✍⑦❴✍✸ Rn ✣☞☛ ❄ ✘ (✗❱ ❄ ✘ ) ✓ a T x = 0 ☛❳✍❱✍✯✍✧✝↕✝➙✍✻ ➮✍❴ a ☛ (n − 1) ✎ ❄ ✘ ✸ ♣❿ ❳ ✓ A = QH ✜ Q ❘✍➧➪✏✒✑✜ H ❘ (ç) ➧ → ✏✒✑✸ ➧ → ✏✒✑ A ✓✄➛✮➧➠➡➯⑩➧⑦ ❴ ☛ ✹ ➎✏ ✑ ✸❲→÷ ✓❲✏ ✑ A ✹✻ st☛ x 6= 0 ✜ x T Ax > 0 ✛➄ é✍✜❲✷➎ A ❘✍➧→ ✏✒✑✸ ✪ ➬✍Ø a ☛ ➙✍❂✍❪☛✝➜✝➝ p = a(a T b/aT a) ✓ P = aaT /aT a ✮❭ 1 ✸ 8
到子空间S上的投影矩阵P:投影p=Pb是S中到b最近的点,误差 b-Pb和S正交。特征值是1或0。特征向量在S或S中。若A的列 向量=S的基,则P=A(AA)-1AT 广义逆矩阵A+( Moore- Penrose逆):把A的列空间变回到A的行空间的 n×m矩阵,且N(A+)=N(A1)。A+A和AA+是到行空间和列空间上的 投影矩阵。Rank(A+)=rank(A) 随机矩阵rand(m)或 rand MATLAB中由随机值生成的矩阵。对于rand 随机值服从[0,1]上的一致分布。对于 randn随机值服从标准正态分布 秩为1的矩阵:A ≠0。列和行空间=直线c和 秩:r(A)=主元数的个数=列空间维数=行空问维数 Ravleigh商:对于对称矩阵A, Rayleigh商q(x)=xAx/xx。Ammn≤ q(x)≤Mmar。q(x)的极值在相应于λmin和Mmax的特征向量x上取到 约化的行阶梯矩阵R:R=rre∫(A)。主元均为1;主元上面和下面的元素 均为0。R的γ个非零行向量给出了A的行空间的一組基 反射矩阵:Q=Ⅰ-2uu。单位向量u被反射到Qu=-1。所有在平面镜 x=0中的向量ⅹ都有Qx=x,因而在此反射下保持不变。“ Householder 矩阵”有Q=Q-=Q 右逆矩阵A+:如果A有行满秩m,令A+=A(AA1)-1则有AA+=Im 转短阵:R=0c00把平面旋转角,而B=B把平面旋 转一θ角。R是正交矩阵,特征值为e和e-0,特征向量为(1,±i) Ax=b的行图:每个方程给出了B中的一个平面;在x点平面相交, 行空间C(A):A的行向量的所有线性组合所形成的空间。列空间同样 f(a1,…xn)的鞍点:∫的一阶导数为0,二阶导数矩阵(2/(rOm= Hessian 矩阵)为不定矩阵的点
✪✍➥✒❯✍✭ S ❪ ☛✝➜✝➝✍✏✒✑ P ✓✄➜❍➝ p = Pb ❱ S ✣ ✪ b ✹♠☛ ✩ ✜✄rã e = b − Pb ⑩ S ➧ ➪ ✸ ➠✍➡➯ ❱ 1 ✗ 0 ✸ ➠✍➡ ✽☞❚✍✢ S ✗ S ⊥ ✣ ✸ ➅ A ☛✍❙ ✽☞❚ = S ☛✍♦✜❲✷ P=A(AT A) −1AT ✸ ❖ ÷✝✍✏✒✑ A+(Moore ➞ Penrose ✍) ✓ ➈ A ☛❺❙ ❯❺✭ ❀✭➟ ✪ A ☛ ⑥➨❯❺✭ ☛ n × m ✏✒✑✜ ❨ N(A+) = N(AT ) ✸ A+A ⑩ AA+ ❱✍✪✍⑥✒❯✍✭ ⑩✍❙ ❯✍✭☞❪☛ ➜✝➝✍✏✒✑✸ Rank(A+) = rank(A) ✸ ä✍å✍✏✒✑ rand(n) ✗ randn(n) ✓ MATLAB ✣ ➛ ä✰å✰➯➡➠➄☛✰✏✫✑✸ ✹✰✻ rand ä✍å✍➯✝➢✍✥ [0, 1] ❪ ☛ ✯✍➒❿✝➤✸❲✹✍✻ randn ä✍å✍➯✝➢✍✥✍➙✝❊✍➧⑩❿✝➤✸ ❭✍❘ 1 ☛✍✏✒✑ ✓ A = uvT 6= 0 ✸ ❙✍⑩⑥✒❯✍✭ = ➙✍❂ cu ⑩ cv ✸ ❭ ✓ r(A)= ⑦ ❴✍❾☛✧✍❾ = ❙ ❯✍✭ ✎❾ = ⑥✒❯✍✭ ✎❾✍✸ Rayleigh ➥ ✓ ✹✍✻✍✹➎✍✏✒✑ A ✜ Rayleigh ➥ q(x) = x T Ax/x T x ✸ λmin ≤ q(x) ≤ λmax ✸ q(x) ☛✍♣✍➯✢ ✲ ☞✍✻ λmin ⑩ λmax ☛➠✍➡ ✽☞❚ x] ❪✝❀✍✪✍✸ ❋☞➦☛⑥✍⑤×✏✒✑ R ✓ R = rref(A) ✸ ⑦ ❴✍æ ❘ 1 ✡❲⑦❴✍❪ ✘☞⑩✍✗✒✘☞☛ ❴✍➼ æ ❘ 0 ✸ R ☛ r ✧ ➮✍⑥✒✽☞❚✍➝ ➞ ❂ A ☛⑥✒❯✍✭ ☛ ✯❥✍♦✸ ◗✍✿✍✏✒✑ ✓ Q = I − 2uuT ✸➎➦➲ ✽☞❚ u ➧ ◗✍✿✪ Qu = −u ✸●➜✍✮✍✢✍❄ ✘☛➨ u T x = 0 ✣➚☛ ✽●❚ x ✉✵✮ Qx = x ✜ ➤●Ñ✵✢✰✖◗✵✿✵✗❛✵❜✵❝❀ ✸ ò Hourseholder ✏✒✑ô❲✮ QT = Q−1 = Q ✸ ✔✍ ✏✒✑ A+ ✓ ➏✵➑ A ✮✵⑥✔✵❭ m ✜ ➟ A+ = AT (AAT ) −1 ✷✵✮ AA+ = Im ✸ ➄✝➅✏✒✑ ✓ R = " cos θ − sin θ sin θ cos θ # ➈✍❄ ✘ ➄✝➅ θ ❤☞✜ Ñ R−1 = RT ➈✍❄ ✘ ➄ ➅ −θ ❤☞✸ R ❱➧ ➪✏✒✑✜ ➠✍➡➯✍❘ e iθ ⑩ e −iθ ✜ ➠✍➡ ✽☞❚❘ (1, ±i) ✸ Ax = b ☛⑥ ✡ ✓ ❶✍✧✛✍◗➝ ➞ ❂ Rn ✣☞☛ ✯✍✧✍❄ ✘☛✡ ✢ x ✩✍❄ ✘☞✲ ➪✍✸ ⑥✒❯✍✭ C(AT ) ✓ A ☛⑥✒✽☞❚☛➜✍✮✍❂✍❃❥✍❇➜✍✐➄☛ ❯✍✭☞✸ ❙ ❯✍✭ ❬☞➍✸ f(x1, · · · , xn) ☛✝➩✩ ✓ f ☛✯✰⑤➡✯✰❾❘ 0 ✜➫q✰⑤➡✯✰❾✏✫✑ (∂ 2f/∂xi∂xj=Hessian ✏✒✑) ❘ ❝✍→✏✒✑☞☛ ✩✍✸ 9
a B Sdu余矩阵S:S=D-CAB,出现在CD的分块消无中 warz不等式:|v·w≤v‖w‖.若A=CrC,则|yAv2≤ (v Av)(w Av 半定矩阵A:半(正)定矩阵是对所有ⅹ,x1Ax≥0都成立的对称矩阵。它的 所有特征值A≥0;没有负主元。 相似矩阵A和B:每个B可写成B=M-1AM的形式。B和A有相同的 特征值。 线性规划的单纯方法:通过沿着可行集合的边从角移动到较低成本的角来找极 小成本向量x*的方法。(其中要求满足约来条件Ax=b和x≥0)。在一角 的极小成本! 奇异矩阵A:一个没有逆矩阵的方阵:detA=0 奇异值分解(SVD):A=UΣV=(正交矩阵U)x(对角矩阵∑)×(正交矩 阵V),U和V的前r个列向量分别是C(A)和C(A1)的标准正交基。且 有Av1=σ山和奇异值σ;>0。U和V后面所余的列向量分别是A和A 的零空间的标准正交基 反对称矩阵K:满足κ;=-Kj的短阵κ,其转置是一K,特征值是纯虛 数,特征向量是正交的 是正交矩阵 可解亲统Ax=b:b在A的列空问中 v1,…Ym的线性扩张V:V中每个向量都是v1,…,vm的线性组合。 As=0的特解:一个自由变量是s=1,其它自由变量是0的解 谱定理:A=QAQ。实对称矩阵A有实特征值λ和标准正交特征向量q 使得Aq=λqi。在动力学中,q是主轴 A的谱:特征值{λ1,…,λn}的集合。谱半径=|λmarl P的标准基:n阶恒等矩阵的列向量。(在R3中记作ijk)
Schur ➸ ✏✒✑ S ✓ S = D − CA−1B ✜ ➞☛✓✢ " A B C D # ☛❿✍➀ ❫☞❴ ✣ ✸ Schwarz ❝✝✚✍② ✓ |v · w| ≤ kvkkwk ✸ ➅ A = C T C ✜❲✷ |v T Av| 2 ≤ (v T Av)(wT Aw) ✸ ç✍→✏✒✑ A ✓ ç (➧ ) → ✏➨✑❱❺✹❺➜❺✮ x, x T Ax ≥ 0 ✉ ➄ é ☛ ✹ ➎❺✏➨✑ ✸❲➶ ☛ ➜✍✮➠✍➡➯ λ ≥ 0 ✡✄✕✮★❨ ⑦ ❴✍✸ ✲❯✏✒✑ A ⑩ B ✓ ❶✍✧ B ■★➭ ➄ B = M−1AM ☛ ✐✍②✍✸ B ⑩ A ✮ ✲✒❬☞☛ ➠✍➡➯ ✸ ❂✍❃✝❷✍➺☛➦✝➯✛ ❵ ✓ ➬❺Ø✬➲✬➳ ■❺⑥●❺❇❺☛❺✱❺✥ ❤Ú❅✬➵❺✪✬➸✬➺➄✺❺☛ ❤Ú➊✬➻♣ ➇➄✺ ✽☞❚ x ∗ ☛✍✛❵✍✸ (❸ ✣ ❒♥✍✔✍✖ ❋☛➼✙✍✚ Ax = b ⑩ x ≥ 0) ✸❲✢✍✯✒❤ ☛✍♣➇➄✺ ❃ û✍ü✏✒✑ A ✓ ✯✍✧✕ ✮✝✍✏✒✑☞☛✍✛✒✑☞✓ det A = 0 û✍ü➯❿ ❳ (SVD) ✓ A = UΣV T =(➧ ➪✏✒✑ U)×(✹✒❤ ✏✒✑ Σ) × ( ➧ ➪✏ ✑ V T ) ✜ U ⑩ V ☛✝✿ r ✧ ❙ ✽☞❚❿✝❳❱ C(A) ⑩ C(AT ) ☛✍➙✝❊✍➧ ➪♦ ✸ ❨ ✮ Avi = σiui ⑩ û✍ü➯ σi > 0 ✸ U ⑩ V ❞ ✘ ➜✍➸☛✍❙ ✽☞❚❿✝❳❱ A ⑩ AT ☛ ➮✒❯✍✭ ☛✍➙✝❊✍➧ ➪♦ ✸ ◗✹ ➎✍✏✒✑ K ✓❲✔✍✖ Kij = −Kji ☛✍✏✒✑ K ✜❲❸➅❹❱ −K ✜ ➠✍➡➯ ❱✝➯✝➽ ❾✍✜ ➠✍➡ ✽☞❚✍❱➧ ➪ ☛ ✸ e Kt ❱➧ ➪✏✒✑✸ ■✍❳✒Ü☛➾ Ax = b ✓ b ✢ A ☛✍❙ ❯✍✭ ✣ ✸ v1, · · · , vm ☛ ❂✍❃✝➚❥ V ✓ V ✣ ❶✍✧✒✽☞❚✍✉✍❱ v1, · · · , vm ☛ ❂✍❃❥✍❇✸ As = 0 ☛➠ ❳ ✓ ✯✍✧ ✽ ➛ ❀ ❚✍❱ si = 1, ❸✍➶ ✽ ➛ ❀ ❚✍❱ 0 ☛❳✍✸ ➪ →✍➌ ✓ A = QΛQT ✸✁➶☞✹➎✍✏✒✑ A ✮★➶ ➠✍➡➯ λi ⑩✍➙✝❊✍➧ ➪➠✍➡ ✽☞❚ qi ✌✍î Aqi = λiqi ✸❲✢✝➵★➹✝➘ ✣ ✜ qi ❱ ⑦✝✪✸ A ☛➪ ✓ ➠✍➡➯ {λ1, · · · , λn} ☛✝●✍❇✸ ➪ç✝➴=|λmax| ✸ Rn ☛✍➙✝❊✍♦ ✓ n ⑤ ✛ ✚✏✒✑☞☛✍❙ ✽☞❚✍✸ (✢ R3 ✣ ➔➉ i,j, k) ✸ 10