第三章几何向量 解析几何是用代数的方法研究几何图形的几 何学.中学学过平面解析几何,那是用代数方 法研究平面向何图形.空间解析几何是用代数 方法研究空间几何图形,也是多元函数微积 分的基础. 本章主要研究如下几个问题 1.几何向量的线性运算 2.几何向量的数量积(内积)、向量积(外 积)、混合积 3.空间中的直线与平面 哈工大数学系代数与几何教研室
第三章 几何向量 解析几何是用代数的方法研究几何图形的几 何学. 中学学过平面解析几何，那是用代数方 法研究平面向何图形. 空间解析几何是用代数 方法研究空间几何图形，也是多元函数微积 分的基础. 本章主要研究如下几个问题： 1. 几何向量的线性运算； 2. 几何向量的数量积（内积）、向量积（外 积）、混合积； 3. 空间中的直线与平面
3.1几何向量及其线性运算 3.1.1几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量:数量(标 量),即仅有大小的量,如时间、长度、质 量、温度等.向量(矢量)即不仅有大小而且 还有方向的量,如:力、速度、加速度、电 场强度等,仅知道力的大小,不了解它的方 向是不行的.向量是研究物理学及几何学不可 缺少的工具 哈工大数学系代数与几何教研室
3.1 几何向量及其线性运算 3.1.1 几何向量的概念 现实生活中有这样的两种量：数量（标 量），即仅有大小的量，如时间、长度、质 量、温度等. 向量（矢量）即不仅有大小而且 还有方向的量，如：力、速度、加速度、电 场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方 向是不行的. 向量是研究物理学及几何学不可 缺少的工具
向量:有大小,又有方向的量称为向量.用有向 线段AB表示向量,长度|AB表示向量的大小,用简 头表示方向,称这样的向量为几何向量(简称向 量),记AB或a 2.模:(长度)向量的大小,记作|AB1ab,且 3.单位向量:模为1的向量、不同的方向上有不同 的单位向量a≠0,a0=a 4.0向量:模为0的向量 注:0向量没有确定的方向或说方向任意 5.负向量:与大小相等,方向相反 哈工大数学系代数与几何教研室
1．向量：有大小，又有方向的量称为向量. 用有向 线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简 头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向 量），记 或 | | AB AB a 2．模：（长度）向量的大小，记作 | |,| |, AB a 且 a 0 3．单位向量：模为1的向量、不同的方向上有不同 的单位向量 a 0 ， 0 = a a a 4．0向量：模为0的向量 注：0向量没有确定的方向或说方向任意. 5．负向量：与大小相等，方向相反
6.自由向量:(与起点无关)可以平行移动,(1) 方向相同:(2)大小相等(模相等),我们研究的 都是自由向量.所以任意两向量都共面 哈工大数学系代数与几何教研室
6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1） 方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的 都是自由向量. 所以任意两向量都共面
3.1.2几何向量的线性运算 加法运算:(向量的加法,数乘向量) 1.平行四边形法规:设a=0A,b=0B,则以OA,OB为邻 边的平行四边形OACB的对角线OC称为a与b的和,记 OC=a+b+c 2.三角形法则:(便于多个向量求和).将a的终点 与b的起点重合在一起 说明:若a=OA,b=OB在同一直线上,则其和如: (1).当O与⑦B方向同时,和向量的方向与原来两个向 量的方向相同.其模=两模之和 (2)当O与OB方向相反时,和向量的方向与较长的向 量的方向相同,其模模数系代数与几何教研室
3.1.2 几何向量的线性运算 一、加法运算：（向量的加法，数乘向量） 1．平行四边形法规：设 ，则以 为邻 边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记. a b = = OA OB , OA OB , OACB OC a b b OC = + + a b c 2．三角形法则：（便于多个向量求和）. 将 的终点 与 的起点重合在一起. 说明：若 在同一直线上，则其和如： a b a b = = OA OB , (1). 当 与 方向同时，和向量的方向与原来两个向 量的方向相同. 其模=两模之和. (2). 当 与 方向相反时，和向量的方向与较长的向 量的方向相同，其模=两模之差. OA OB OA OB
3多边形法则:几个向量之和,只要把它们相继地首 尾连接后,从第一个向量的起点到最后一个向量的 终点的向量,即为和向量,a=a1+a2+…+an 4.运算法贝 (1)a+b=b+a,交换律; (2)(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c,结合律 (3)a+0=a (4)a+(a)=0 5.向量的减法:为平行四边形的另一对角线向量 a-b=a+(-b) 注意:不要把向量与数混淆,实数是有序的,可比 大小,而向量式子a<b无意义,当然向量的长度可 比大小,根据三角形两边之和不小于第三边,a,b,a+b 的长度满足三角不等 语头厚g数与几何教研室
3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首 尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的 终点的向量，即为和向量， a a a a = + + + 1 2 n . 4．运算法则： （1） ，交换律； （2） ,结合律； （3） ； （4） . a b b a + = + ( ) ( ) a b c a b c a b c + + = + + = + + a a + =0 a a + − = ( ) 0 5．向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量 . 注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比 大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可 比大小，根据三角形两边之和不小于第三边, 的长度满足三角不等式 . a b a b − = + −( ) a b a b a b , , + | | | | | | a b a b + +
二、数乘向量 为了描述向量的“伸缩”,定义实数与向 量的乘法 1.定义:k∈Z,a≠0,则k是一个向量, 与a共线,模| = kalk>0与a同向, 时与k<Q反向, 0a=0 若a=0,ka=k0=0,Vk 2.运算法则 (1)la=a,(-1)a=-a; (2)k(a)=(kd,(结合律) 3)k(a+b)=ka+kb (4)(k+1)a=ka+la,(分配律) 哈工大数学系代数与几何教研室
二、数乘向量： 为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向 量的乘法. 1．定义： ，则 是一个向量， 与 共线，模 与 同向， 时与 反向， . 若 . k Z , 0 a ka a | | | || |, 0 k k k a a = a k 0 a 0 0 a = a a = = = 0, 0 0, k k k Z 2．运算法则： （1） ； （2） ，（结合律）； （3） ； （4） ，（分配律）. 1 , ( 1) a a a a = − = − k l kl ( ) ( ) a a = k k k ( ) a b a b + = + ( ) k l k l + = + a a a
3.单位向量:a≠0,a 表示与a=aa,a 同向的单位向量 4.平行:a∥b台b=n,(a≠0),0/Va (共线)即可用同一个起点的有向线段来表示 汪:与 都没有意义 哈工大数学系代数与几何教研室
0 0, | | = a a a a 0 a a a a =| | , a b b a a a // , ( 0), 0// = 1 a b a 3．单位向量： 表示与 同向的单位向量. 4．平行： ，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示. 注： 与 都没有意义
例1:在 ABCD内,设AB=a,AD=b,试用a,b表示 MA MB. MC MD 解::a的对角线互相平分 a+b=AC=2MC.. MC=(a+b) MA=-MC=-(a+b) X.a-b=DB=2MB,:. MB=-(a-b) MD=-MB=-(-b)=(a-b) 哈工大数学系代数与几何教研室
例1：在 内，设 ，试用 表示 . 解： 的对角线互相平分 ， 又 . Y ABCD AB AD = = a b , a b, MA MB MC , , MD + = = a b AC MC 2 1 ( ) 2 = + MC a b 1 ( ) 2 MA MC = − = − + a b 1 2 , ( ) 2 a b a b − = = = − DB MB MB 1 1 ( ) ( ) 2 2 MD MB = − = − − = − a b a b
3.2向量的数量积,向量积和 混合积 321向量在轴上的投影 刚才讨论的向量及运算只是在几何作 图,而这节的目的是用投影法得到向量 的坐标,即将向量与数对应起来,把向 量的代数运算转化为数量(坐标)的代 数运算,实际上是对向量及运算定量的 描述 哈工大数学系代数与几何教研室
3.2 向量的数量积，向量积和 混合积 3.2.1 向量在轴上的投影 刚才讨论的向量及运算只是在几何作 图，而这节的目的是用投影法得到向量 的坐标，即将向量与数对应起来，把向 量的代数运算转化为数量（坐标）的代 数运算，实际上是对向量及运算定量的 描述
