第七章线性空间与线性变换 7.1线性空间的概念 7.1.1数域(略) 定义若集合U上定义了某种运算,而U中任意元素进 行这种运算所得的结果均在U中,则称U对这种运算是封 闭的。 7.1.2线性空间的定义 定义7.2设V是非空集合,P是数域。在V的元素间 定义了一种运算“+”,称为加法:对va,B∈T,有唯一的 6∈与他们对应,称为倍和火的梨代问教研昼;
加法“+”满足: (1)a+β=B+a; (2)(a+B)+y=a+(B+y); (3)V中有一个零元素0,对∨a∈V,有a+0=a (4)a∈,存在B∈,称为a的负元素,记为-a,使 得a+(-a)=0 在P和V之间还定义了一个运算称为数乘,对a∈V和 k∈P,有唯一的元素n∈T与之对应,称为k与a的数量乘 积,记为n=ka; 哈工大数学系代数与几何教研室
数乘满是 (5)1a=a,(-l)=a; (6)k(a)=1(ka)=(kDa; (7)(k+1)=k+d (8)k(a+β)=k+kB. 以上的基本律(1)~(8)中,a,B,y是集合Ⅴ中的 任意元素,k,l是P中任意数;那末定义了这样两种运算 的集合V称为数域P上的线性空间 哈工大数学系代数与几何教研室
3线性空间的简单性质 性质7.1在数域P上的线性空间V中, (1)零元素是唯一的,记为0; (2)a∈V,a的负元素是唯一的; (3)Va∈V Vk∈P 有0a=0,k0=0和 (4)若k=0,则有k=0或=0 一些线性空间的例子 例1全体n维实向量依照向量的加法和向量与实 数的数乘构成实线性空间,记为Rn 哈工大数学系代数与几何教研室
例2全体m×n阶实矩阵,依照矩阵的加法和矩阵 与数的数乘构成实线性空间。记为Mmx 例3区间[a,b]上的全体连续实函数,依照函数 的加法和函数与数的乘法作为数乘构成实线性 空间,记为C[a,b] 7.1.4线性子空间 定义7.1设V是数域P上的线性空间,W 是V的非空子集合,若对于V上的加法和乘法运 算,W也是P上的线性空间,则称W为V的一个 线性子空间(简称为子空间) 哈工大数学系代数与几何教研室
性质7.2设V是数域P上的线性空间,如果V 的非空子集合W对于V的加法和乘法运算是封闭 的,则W是V的一个子空间 证显然,我们只要证明基本律(3),(4) 在W中成立即可。对va∈W,由于0eP,而 1=0-1∈P,故有0=0∈和-a=(-1)a∈v。 下面是一些子空间的例子 例4线性空间V的仅含零向量的子集合是V 的一个子空间,常称零子空间;V本身也是V的 个子空间,常称为全空间。 哈工大数学系代数与几何教研室
例5n元实系数线性方程组AX=0的解集合:R(4)是Rn 的一个子空间,常称为A的解空间 证(1)若5,2∈R(4则A1=0,A52=0 故A(51+2)=A51+A2=0 即51+2∈R(4),R(4关于加法运算是封闭的 (2)对k∈R,E∈R(4)有 A(k2)=k(42)=k0=0, 因此k∈R(4),R(4)关于数乘运算是封闭的 综上(1),(2)知R(4是R的一个子空间 哈工大数学系代数与几何教研室
例6三维向量集合 A=(x,x2x3)x3=0} B=(x,x2x)x1+x2+x3=0 都是线性空间R3的子空间。 例7函数集合{f(x)∈C[a,b]f(a)=0 是线性空间C[a,b]的子空间 例8n阶上三角实矩阵集合、下三角实矩阵集 合和实对角矩阵集合都是由所有n阶方阵构成的 线性空间Mm的子空间大数学系代数与几何教研室
7.2线性空间的维数、基与坐标 7.2.1线性相关和线性无关 定义7.2设V是数域P上的线性空间 an是V 中m个向量,若存在P中不全为零的数k1,k2,…,kn使得 k1a1+k2a2+…+knn=0.,则称a1,a2…,an线性相关,否则 称 ,an线性无关 7.2.2维数、基与坐标 定义7.3设V是数域P上的线性空间, an是V 中n个线性无关的向量,若V中任一向量a均可以由 a1,a2…,an线性表示,则称线性空间v是n维线性空间,记 为dimV=n,而称a1,a2…,an是V的一组基。 哈工大数学系代数与几何教研室
7.2.3维数、基与坐标 定义7.4设V是数域P上的线性空间, 是V中n个线性无关的向量,若V中任一向量α均 可以由a1,a…,a线性表示,则称线性空间V是n维 线性空间,记为dimV=n,而称a,a2、an是V的 组基 定义7.5设a1,a2…,an是n维线性空间W的一组 基,vy∈V,且有y=xa1+x2ax2+…+xan则称 x=2为在基a12,…,an下的坐标。 哈工大数学系代数与几何教研室
