18.06考试22000年4月12日闭卷 请迭择助教: 1) M2 2-131 P. Clifford 2) M3 2-131 P. Clifford 3)T11 2-132 Tde Piro 4)T12 2-132 Tde Piro 5)T1 2-131 T Bohman 6)T1 2-132 T. Pietraho 7)T2 2-132 T. Pietraho 8T2 2-131 T Bohman 意:此试卷有4道题 问题 分数 30 1234 总分 注:其中的一些问題很有意义
18.06 ✁ 2 2000 ✂ 4 ✄ 12 ☎ ✆ ✝ ✞✠✟✠✡ ☛✠☞✠✌✠✍✠✎✡ 1) M2 2-131 P.Clifford 2) M3 2-131 P.Clifford 3) T11 2-132 T.de Piro 4) T12 2-132 T.de Piro 5) T1 2-131 T.Bohman 6) T1 2-132 T.Pietraho 7) T2 2-132 T.Pietraho 8) T2 2-131 T.Bohman ✏✠✑✡✓✒✠✔✠✕✠✖ 4 ✗✠✘✠✙ ✚ ✘ ✛✠✜ 1 30 2 16 3 30 4 24 ✢ ✛ 100 ✏✡✓✣✥✤✧✦✠★✠✩ ✚ ✘✠✪✖✑✠✫✙ 1
1(30分)设A=2-1 (a)求标准正交向量q1,q2,q3,使得q1,q2是A的列空间的一组基。 (b)A的四个基本子空间中哪些含有q3? (c)求到A的左零空间上的授影矩阵P (d)求Ax=127的最小二乘解 注:请写明解答过程,否则无分
1(30 ✛) ✬ A= 1 1 2 −1 −2 4 ✙ (a) ✭✠✮✠✯✠✰✠✱✥✲✧✳ q1, q2, q3, ✴✠✵ q1, q2 ✶ A ✦✠✷✥✸✠✹✧✦✠★✠✺✠✻✙ (b) A ✦✠✼✠✽✠✻✠✾✠✿✥✸✠✹✠✤✧❀✠✩✠❁✠✖ q3 ❂ (c) ✭✠❃ A ✦✠❄✠❅✥✸✠✹✧❆✠✦✠❇✠❈✠❉✥❊ P ✙ (d) ✭ Ax=h 1 2 7 iT ✦✠❋✠●✠❍✠■✠❏✙ ✏✡ ☛✥❑✠▲ ❏✠▼✠◆✠❖✠P✓◗✠❘✠❙✛✠✙ 2
2(16分)计算det(A) 100 12-10 A 2-00 注:请写明解答过程,否则无分
2(16 ✛) ❚✠❯ det(A) ✙ A= 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 ✙ ✏✡ ☛✥❑✠▲ ❏✠▼✠◆✠❖✠P✓◗✠❘✠❙✛✠✙ 3
3(30分)给定一序列{Gk},其中G0=0,G1 (因此Gk+2是Gk+Gk+1的平均数)本题将求解k→∞时Gk的极限 (a)求满足 =A 的矩阵A (b)求A的特征值和特征向量 把A写成SAS-1的形式。其中A是一个对角阵(不必把乘积的结果 写出 (d)求k→∞时,Gk的极限 注:请写明解答过程,否则无分
3(30 ✛) ❱❳❲★❳❨❳✷ {Gk}, ✣❩✤ G0 = 0 P G1 = 1 P Gk+2 = (Gk+Gk+1)/2 ✙ (❬ ✒ Gk+2 ✶ Gk+Gk+1 ✦✠❭✠❪✜) ✾✘✠❫✠✭❏ k → ∞ ❴ Gk ✦✠❵✠❛✙ (a) ✭✠❜✠❝ " Gk+2 Gk+1 # =A" Gk+1 Gk # ✦✠❉✥❊ A ✙ (b) ✭ A ✦✠❞✠❡✠❢✠❣✠❞✠❡ ✲✧✳✠✙ (c) ❤ Ak ❑✧✐ SΛkS −1 ✦✠❥✠❦✙ ✣✥✤ Λ ✶ ★✠✽✠❧✥♠✠❊ (♥✠♦✠❤■✠♣✠✦✠q✠r ❑✠s✧t) ✙ (d) ✭ k → ∞ ❴ P Gk ✦✠❵✠❛✙ ✏✡ ☛✥❑✠▲ ❏✠▼✠◆✠❖✠P✓◗✠❘✠❙✛✠✙ 4
4(24分)设A是一个3×3矩阵且有特征值0,1,2。求解以下问题: (a)A的秩。 (b) det(AA) (c)det(A+I) )(A+1)-的特征值 :请写明解答过程,否则无分
4(24 ✛) ✬ A ✶ ★✠✽ 3×3 ❉✥❊✧✉✠✖✠❞✠❡✠❢ 0,1,2 ✙✓✭❏✥✈✧✇ ✚ ✘✡ (a) A ✦✠①✙ (b) det(AT A) ✙ (c) det(A+I) ✙ (d) (A + I) −1 ✦✠❞✠❡✠❢✙ ✏✡ ☛✥❑✠▲ ❏✠▼✠◆✠❖✠P✓◗✠❘✠❙✛✠✙ 5
