第七章偏微分方程 71一般介绍 72一阶双曲型方程的差分求解法 73一阶双曲型方程的特征线求解法 74一阶双曲型方程的线上求解法 75二阶椭圆型方程的差分求解法 76二阶椭圆型方程的有限元求解法 77二阶椭圆型方程的加权残差求解法 78二阶抛物型方程的差分求解法 79二阶抛物型方程的线上求解法 7.10二阶双曲型方程的特征线求解法 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 1 第七章 偏微分方程 7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法 7.4 一阶双曲型方程的线上求解法 7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法 7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法 7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法 7.9 二阶抛物型方程的线上求解法 7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法
71偏微分方程的一般介绍 Partial Differential EquationS (PDEs) 自变量数至少2个 u=u(,y, F[x,y,,.,l,,L x axa 阶数方程中导数的最高阶数 b3u.=0 阶 LL+1.= 0 阶 u +u yy 三阶 性态 以一阶方程为例 (+b(x,+c()=0 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 2 7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs) • 自变量数 至少2个 ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , 0 , , 2 2 2 x y u u x u u y u u x u u F x y u u u u u u u u x y x y xx xy x y xx xy yy = = = = = = • 阶数 方程中导数的最高阶数 0 0 0 3 3 + = + = − = x yyy xx y x y u u u u u b u 三阶 二阶 一阶 • 性态 以一阶方程为例 a()u + b()u + c() = 0 x y
7.1 a(b(c()为常数 a()=a(x,y)b()=b(x,y).c()=c(x,y) ()=(x,y) 线性 Linear 5,y,u 拟线性Qa uasilinea i X..uu.u 非线性 nonlinear 例 Ll.+b.=0 线性 L.+L..+x2=0 拟线性 L.+ 0 非线性 对二阶方程 A Ou+B(u+C(u DOu, +EOu,+F0=0 )=(x2y) 线性 E,y,u,ux,uy 拟线性 0)=(x,yn,u,un,n,n)非线性 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 3 7.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) ( ) ( ) () () () () ( ) () ( ) () ( ) x y xx xy yy x y xx xy yy x y x y x y x y x y x y u u u u u u x y u u u x y A B C A u B u C u D u E u F u u u u u x u bu x y u u u x y u x y a a x y b b x y c c x y a b c : , , , , , , , : , , , , : , : , : , : : : : 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , 2 2 + + + + + = + = + + = + = = = = ： 对二阶方程 例 为常数 非线性 拟线性 线性 Nonlinear Quasilinear Linear 非线性 拟线性 线性 非线性 拟线性 线性
7.1 类型 阶栓区型方程 a(u2+b(xn+c()=0 流动方程 Advection Equation (ae) 二阶线性方程 Au+Bu+Cu +GO=0 B2-4AC0双曲型 hyperbolic 波动方程 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 4 7.1 • 类型 一阶栓区型方程 ( ) ( ) ( ) t x x y u v u a u b u c = + + = 0 流动方程 Advection Equation(AE) 二阶线性方程 Au + Bu +Cu +G() = 0 xx xy yy B 4AC 0 椭圆型 elliptic 2 − ( ) 方程，传热方程 方程 u u Laplace u u f x y Poisson xx yy xx yy 0 , + = + = B 4AC 0 抛物型 parabolic 2 − = 方程 扩散方程 u u u K u Burger u u x y yy x yy + = = B 4AC 0 双曲型 hyperbolic 2 − uxx = uyy 波动方程
7.1 求解方法 有限差分法 Method of finite differences(MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC 线上求解法 Method of lines (MOL) 有限元素法 Method of finite elements(MFE) 加权残差法 Method of weighed residuals(MwR) 问题 收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时,数值结果是否趋于理论值? △ 稳定性 Stabilit!y 在某一步引入的误差,经多步数值计算后,会扩大或抑制? → 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 5 7.1 • 求解方法 有限差分法 Method of Finite Differences (MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC) 线上求解法 Method of Lines (MOL) 有限元素法 Method of Finite Elements (MFE) 加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR) • 问题 收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？ 稳定性 Stability 在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？ dx dy x y → ( ) ( ) ( ) (k ) k ey y ey y 1 → 1
72一阶双曲型方程的差分求解法 +1 0 at a 或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) ⅴ为流速因子 该方程的介折解 u=f(x-vi 因为=f()=x-t au du aw at dw at Ox dw ax c 求具体解时需要提供2个辅助条件 u(x, to)=f(x-vto) (xo, t)=f(o-vi 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 6 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 = 0 + x u v t u 或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子 该方程的介折解 u = f (x −vt) ( ) dw du x w dw du x u dw du v t w dw du t u u f w w x v t = = = − = 因为 = , = − 求具体解时需要提供2个辅助条件 ( ) ( ) u(x t) f (x vt) u x t f x vt = − = − 0 0 0 0 ,
7.2 assuming the forcing function is a Rump 0.0<Wf( (w)={1+,-s<W<0 0.0,W<-s 0.0 he solution of u +vu=0 is shown below S 0 it=t x=1·t 2 7.1 Propagation of the Wave Front 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 7 7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below. ( ) − + − = W s s W s W W f W 0.0, 1 , 0 1.0, 0 ut + vux = 0 f (w) −s 0 W 1.0 0.0 u t x 0 t = t 0 x = x j x n t n t = t j x = x x = vt u(x t) j , u(x ,t) 0 ( ) 0 u x,t ( ) n u x,t 图 7.1 Propagation of the Wave Front
721最简单的差分化格式构想 X: X 图72 A x,=X0+·Ax u(to, x)=a(x) l(t,x)=b() to+n·△t +1)_,,(n) +O(△ +O△ -p2+-) 2△x △t 2△x v·△t n→n+1 2△x 浙江大学 实用数值计算方法 8
浙江大学 实用数值计算方法 8 7.2.1 最简单的差分化格式构想 • • • • t x0 x j−1 x j x j+1 x x n+1 t n t 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − u t x b t u t x a x x u v t u 0 0 , , x x j x j = 0 + t t n t n = 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 , 1 , 2 O x x u u x u O t t u u t u n j n j j n n j n j j n + − = + − = + − + ( ) ( ) ( ) ( ) x u u v t u u n j n j n j n j − − − + − + 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j u u x v t u u 1 1 1 2 + − + − − n →n +1 图 7.2
7.2.1 以上方法称为时间镶嵌空间中心的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用:不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差r )+)=(y+y)-y△p4+-pg+ 由于原方程为线性,故误差的传播关系 n+1 ()v·Mr(Gro)_, 2△x +l 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations =nexp(kj·△x) (n+=En+l exp(ikj.Ax) 5称为放大因子 Amplification Factor 决定r0),r0)1, 是否上升序列 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 9 7.2.1 以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性，故误差的传播关系 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j n j n j n j n j u r u r x v t u r u r 1 1 1 1 1 1 2 + + − − + + + − + + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n j n j n j n j r r x v t r r 1 1 1 2 + − + − = − ( ) ( ) ( ) r (i k j x) r i k j x n n j n n j = = + + exp exp 1 1 称为放大因子 Amplification Factor 决定rj (0) ,rj (1) , ,rj (n−1) ,rj (n) ,rj (n+1) , 是否上升序列
72.1 线性微分方程的解 +Oy=F() Dy-P Dy+Oy=F(x) 应为补充解和特殊解之和补充解系由下式求出 D D2-P.D+Q=0 (D-P)(D-P)y=O P,P2为方程式x2-Px+Q=0的两个根 auxiliary equation 补充解系由两 (D-P)y=0 D-P 个独立解 组成 y,=A, exp(Px) exp (ex) Dy=A,Pexp(px)=py 当P2<4O时P=a±iB为复数 y1+ y2ty y+y2为微分方程的两个独立解组成的补充 解,特殊解y由F(x)决定 浙江大学 实用数值计算方法
浙江大学 实用数值计算方法 10 7.2.1 线性微分方程的解 Qy F(x) dx dy P dx d y − + = 2 2 D y − PDy +Qy = F(x) 2 应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出 ( ) ( )( ) 0 0 0 1 2 2 2 − − = − + = − + = D P D P y D P D Q y D y P Dy Qy (auxiliary equation) P1 ,P2为方程式 x 2 − Px +Q = 0 的两个根 (D−P1 )y = 0 (D−P2 )y = 0 补充解系由两 个独立解 组成 y A (Px) y A (P x) 1 1 1 2 2 2 = exp = exp ( ) 当P Q时 P i 为复数 Dy A P Px P y = = = 4 exp 2 1 1 1 1 1 1 p y = y + y + y 1 2 解，特殊解 由 ( )决定。 为微分方程的两个独立解组成的补充 y F x y y p 1 + 2