第5章画数 第5章函数 5.1函数的基本概念 5,2反函数和复合函数 53集合的基数 返回总目录
第5章 函数 第5章 函数 5.1 函数的基本概念 5.2 反函数和复合函数 5.3 集合的基数 返回总目录
第5章画数 第5章函数 51函数的基本概念 定义511设4和B是两个任意集合,是到B的二元关 系,如果对于A中的每一个元素x,都存在B中惟一元素y, 使得∈f,则称是A到B的函数或映射。记为:A→B xJ>∈f,常记为y=(x),x称为自变元或像源,y称为在作 用下x的函数值或像 由函数的定义可以看出,函数是一种特殊的二元关 系。若是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下 ①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像,所以 A=domf。这称为像的存在性。 ②函数的定义中还强调像y是唯一的,称做像的惟 性。像的惟一性可以描述为:设fx1)=y1且fx2)=y2。如果 x1=x2,那么yy2。或者,如果y为2,那么x1x2
第5章 函数 5.1函数的基本概念 定义5.1.1设A和B是两个任意集合，f是A到B的二元关 系，如果对于A中的每一个元素x，都存在B中惟一元素y， 使得x,yf，则称f是A到B的函数或映射。记为f：A→B。 x,yf，常记为y=f(x)，x称为自变元或像源，y称为在f作 用下x的函数值或像。 由函数的定义可以看出，函数是一种特殊的二元关 系。若f是A到B的函数。它与一般二元关系的区别如下： ①函数的定义中强调A中的每一个元素x有像，所以 A=dom f。 这称为像的存在性。 ②函数的定义中还强调像y是唯一的，称做像的惟一 性。像的惟一性可以描述为：设f(x1 )=y1且f(x2 )=y2。如果 x1 =x2，那么y1 =y2。或者，如果y1≠y2，那么x1≠x2。 第5章 函 数
第5章画数 【例52】设N为自然数集合,下列N上的二元关系是 否为函数? 户|x∈M g=1|x∈N 解:和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数 常记为:N→N,fx)=2x和g:N→N,g(x)=2 设A和B是两个任意集合,A×B任意子集是A到B的二 元关系,但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时 由定理41.1的证明过程可以看出,A到B的二元关系共有 2B个,A到B的函数有多少个呢?以下研究这个问题。 设A和B是两个任意的集合,/:A→B是到B的所 有函数构成的集合,常记为B4。读作B上A
第5章 函数 【例5.2】设 N为自然数集合，下列N上的二元关系是 否为函数？ f=x,2x | xN g=x,2 | xN 解：f和g都是从自然数集合N到自然数集合N的函数， 常记为f：N→N，f(x)=2x和g：N→N，g(x)=2。 设A和B是两个任意集合，A×B任意子集是A到B的二 元关系，但不一定是A到B的函数。当A和B是有限集时， 由定理4.1.1的证明过程可以看出，A到B的二元关系共有 2 |A||B|个，A到B的函数有多少个呢？以下研究这个问题。 设A和B是两个任意的集合，f |f：A→B是A到B的所 有函数构成的集合，常记为B A。读作B上A
第5章画数 【例53】设A=12,3},B={ab},求B4。 解:由A到B的函数有以下8个 f6=1,,,} f=1,,, f=1,,,, f=1,, B4=G0,f1,2,f3,f1f5,f6,f A到B的函数共8个,8=23=BH。 当A和B都是有限集时,这个结论可以推广。一般地 说,若4Fm,|B=n,则B4=m=|B
第5章 函数 【例5.3】设 A=1,2,3，B=a,b，求B A 。 解：由A到B的函数有以下8个： f0 =1,a,2,a,3,a f1 =1,a,2,a,3,b f2 =1,a,2,b,3,a f3 =1,a,2,b,3,b f4 =1,b,2,a,3,a f5 =1,b,2,a,3,b f6 =1,b,2,b,3,a f7 =1,b,2,b,3,b B A= f0 , f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 , f7 A到B的函数共8个，8=23=|B| |A|。 当A和B都是有限集时，这个结论可以推广。一般地 说，若|A|=m，|B|=n，则|B A |=n m=|B| |A|
第5章画数 定义51.2设A和B是两个任意的集合,f:A→B A1cA,集合{(x)kx∈A1}称为集合A1在/下的像,记为A1)。 集合A在下的像f(4)=(x)k∈A}称为函数像。显然, 函数的像八A)就是二元关系f的值域,即A)ranf 【例54】设:1,2,3}→1a,b}, ,},A1=1,2}, 试求A1在下的像(A1)和函数f的像f(4) 解:fA1)={f(x)k∈A1}=1),f(2)}=a} f4)=x)kxeA8=(1),f(2),f3)=a,b
第5章 函数 定义5.1.2 设A和B是两个任意的集合，f：A→B， A1A，集合f(x) |xA1称为集合A1在f下的像，记为f(A1 )。 集合A在f下的像 f(A)= f(x) |xA称为函数f的像。显然， 函数f的像f(A)就是二元关系f的值域，即f(A)=ran f。 【例5.4】设f：1,2,3 →a,b， f=1,a,2,a,3,b，A1 =1,2， 试求A1在f下的像f(A1 )和函数f的像f(A)。 解：f(A1 )= f(x) |xA1=f(1), f(2)=a f(A)= f(x) |xA=f(1), f(2), f(3)=a,b
第5章画数 定义513设:A→B,g:C→D,若A=C,B=D且 x∈A,有(x)=g(x),则称函数和g相等,记为f=g 例如,函数:N→N,f(x)=x3 函数g:1,2,3}→N,g(x) 虽然函数f和g有相同的表达式x3,但是它们是两个不 同的函数。 如果把和g看成二元关系, fNXN,用列举法表示为: 1,,,,,…} g1,2,3}×N,用列举法表示为 ,,3,27>} 按二元关系相等的条件衡量,它们也是不等的。函 数相等和二元关系相等是一致的
第5章 函数 定义5.1.3 设f：A→B，g：C→D，若A=C，B=D且 xA，有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记为f =g。 例如，函数f：N→N，f(x)= x 3 函数g：1,2,3 →N，g(x)=x 3 虽然函数f和g有相同的表达式x 3，但是它们是两个不 同的函数。 如果把f和g看成二元关系， fN×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27, 4,64, … g1,2,3 ×N，用列举法表示为： 0,0,1,1,2,8,3,27 按二元关系相等的条件衡量，它们也是不等的。函 数相等和二元关系相等是一致的
第5章画数 定义5.14设f:A→B,若舶值域ranf=B,则称/为满射。 设是4到B的函数,由定义不难看出,如果y∈B,都存 在x∈A,使得(x)=y,则是满射函数。 例如,A=a,b,c;d,B=12,3},/是由A到B的函数, 定义为:f=,,, 因为ranA)=1,2,3}=B,所以/是满射。图52是f示 意图。由图52可得出如下的结论: B 若A、B是有限集,f:A→B 是满射,在f示意图中,B中每/ao 个元素至少是一个有向边的终点 且|B O 2 o 3 图5.2
第5章 函数 定义5.1.4 设f：A→B，若f的值域ran f =B，则称f为满射。 设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果yB，都存 在xA，使得f(x)=y，则f是满射函数。 例如，A=a,b,c,d，B=1,2,3，f是由A到B的函数， 定义为：f =a,1,b,1,c,3,d,2 因为ran f=f(A)=1,2,3=B，所以f是满射。图5.2是f的示 意图。由图5.2可得出如下的结论： 若A、B是有限集，f：A→B 是满射，在f的示意图中，B中每 个元素至少是一个有向边的终点 且|A|≥|B|
第5章画数 定义515设:A→B,若Vy∈ranf,存在惟一的x∈A, 使得(x)=y,则称/为单射 设是到B的函数,由定义不难看出,如果对于x1∈A, x2EA, f(1=y1, f(x2)=y2 ①当y1=y2时,一定有x1=x2,则是单射函数 ②当x12时,一定有y2,则是单射函数 【例55】设:1ab}-2,46},定义 1,} 函数是否为单射?/是否为满射?
第5章 函数 定义5.1.5 设f：A→B，若yran f，存在惟一的xA， 使得f(x)=y，则称f为单射。 设f是A到B的函数，由定义不难看出，如果对于x1A， x2A，f(x1 )=y1，f(x2 )=y2。 ①当y1 =y2时，一定有x1 =x2，则f是单射函数。 ②当x1≠x2时，一定有y1≠y2，则f是单射函数。 【例5.5】设f：a,b→2,4,6，定义 f =a,2,b,6 函数f是否为单射？f是否为满射？
第5章画数 解:因为a)=2,fb)=6,所以是单射。因为∫的值 域anf=12.6}2,4.6},所以不是满射。图5.3是f的示意 图 由图5.3可得出如下的结论: 若A、B是有限集 f:A→B是单射,在f的 示意图中,B中每个像 点是且仅是一条有向边 的终点且4<B 图5.3
第5章 函数 解：因为f(a)=2，f(b)=6，所以f是单射。因为 f 的值 域ran f =2,6≠2,4,6，所以f不是满射。图5.3是 f 的示意 图。 由图5.3可得出如下的结论： 若A、B是有限集， f：A→B是单射，在 f 的 示意图中，B中每个像 点是且仅是一条有向边 的终点且|A|≤|B|
第5章画数 定义5.1.6设:A→B,若既是单射,又是满射,则 称/为双射 例如:A=1,2,3},B=a,b,c,f=}, 是A到B的双射函数,图54是的示意图 a o b 图54
第5章 函数 定义5.1.6 设f：A→B，若f既是单射，又是满射，则 称f为双射。 例如：A=1,2,3，B=a,b,c，f =1,a,2,c,3,b， f是A到B的双射函数，图5.4是f的示意图