PRINCEION SCIENCE LIBRARY How to Solve It A New Aspect of Mathematical Method G. Polya SECOND EDITION 阎育苏译北京：科学出版社，1982年
阎育苏 译 北京：科学出版社，1982年
第一部分在教室中 目的 帮助学生 教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单,它需要时间、 实践、热忱以及健全合理的原则。 学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不 到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多 那么学生却又无事可干,教师对学生的帮助应当不多不少,恰使学生有一份合 理的工作 如果学生不太能够独立工作,那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立 工作。为了做到这一点,教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。 不过,对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地,应当了 解学生情况,应当弄清学生正在想什么,并且提出一个学生自己可能会产生的 问题,或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。 2.问题、建议、思维活动 在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时,教师不免一而再,再 而三地提出一些相同的问题,指出一些相同的步骤。这样,在大量的问题中 我们总是问:未知数是什么?我们可以变换提法,以各种不同的方式提问同一个 问题:求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注 意力集中到未知数上。有时,我们用一条建议:看着未知数,来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的:即企图引起同样的思维活动。 从作者看来,在与学生讨论的问题中,收集一些典型的有用问题和建议, 并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议;它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后,他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。 3.普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性,例如:未知数是什么?已 知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的,对于所有各类问题,我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的,数学的或非数学的,理论的或实际的,一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别,上述问题都是有意义的,而且有助于我们解 事实上,还存在一个限制,不过这与论题无关。表中某些问题与建议,只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者,则必须 采用别的提问方法,见第三部分“求解题,求证题
第一部分 在教室中 目的 1．帮助学生 教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、 实践、热忱以及健全合理的原则。 学生应当有尽可能多的独立工作经验。但是如果让他独自面对问题而得不 到任何帮助或者帮助得不够。那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多， 那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合 理的工作。 如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立 工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。 不过，对学生的帮助最好是顺乎自然。教师对学生应当设身处地，应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的 问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。 2．问题、建议、思维活动 在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再 而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中， 我们总是问：未知数是什么?我们可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个 问题：求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注 意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。 从作者看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议， 并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。 3．普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已 知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解 题。 事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段
4.常识 我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的,但是除去其普遍性以外,它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议:看 着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题,这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事,而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的,你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形,你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出 某个未知数,你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了,那你的路子也是对头的;这个建议是个好建议,它向 你提出一个常能成功的程序。 我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的,而且只不 过是普通常识;但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路 动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动,而且他可能根本不会这样做; 我们这张表却尝试去表达这些。 教师与学生,模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时,他可能有两个目的:第一,帮助 学生解决手头的问题;第二,培养学生将来能够独立解题的能力。 经验证明,适当使用我们表中的问题与建议,常能对学生有所裨益。此表 有两个特点:常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识,所以显得很自然, 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性,所以它们对学生的帮助并 非强加于人;它们只不过指出了一般的方向,而留给学生去做的还很多 上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功,他 就提高了一些解题的能力。这时,我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助,那么他就会注 意到这个问题,于是在类似的情况下,他自己就会提出这个问题。通过反复地 提出这个问题,他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功, 他便发现了利用这个问题的正确途径,于是,他真正地领会了它。 学生可能对我们表中的一些问题领会得很好,以致他最终能够在恰当的时 刻向自己提出正确的问题,并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样,学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果,教师 可以做些什么事呢? 解题,譬如,就好象游泳一样,是一种实际技能。当你学习游泳时,你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学 会游泳。当试图解题时,你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为,并 且最后通过实践来学会解题
4．常识 我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。 我们表中的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不 过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路 行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做； 我们这张表却尝试去表达这些。 5．教师与学生，模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助 学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。 经验证明，适当使用我们表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。此表 有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然， 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并 非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。 上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，他 就提高了一些解题的能力。这时，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注 意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地 提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。 学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时 刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师 可以做些什么事呢? 解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学 会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并 且最后通过实践来学会解题
希望提高学生解题能力的教师,必须培养学生的兴趣,然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动,那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外,当教师在全班面前解题时,他应当使其思路更吸引人一些, 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导, 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法,并且这样做以后,他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。 主要部分,主要问题 6.四个阶段 在求解过程中,我们很可能再三地改变我们的观点,或者改变考虑问题的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时,我们对问 题的概念可能很不完整;当我们有些进展以后,我们的看法就不同了;而当我 们几乎已经得到解答的时候,看法就会更不相同。 为了把我们表中的问题与建议进行适当分组,我们把工作分为四个阶段。 首先,我们必须了解问题;我们必须清楚地看到要求的是什么?其次,我们必须 了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的 思路,应该制定一个计划。第三,实现我们的计划。第四,我们回顾所完成的 解答,对它进行检查和讨论。 上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况:一个学生想出了一个 异常好的念头,于是跳过所有的预备步骤,解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的,但是也可能发生很不如愿和很不走运的事:即,学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是:学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来,在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下,去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检査每一步,就可以避免许多错误。如果学生不去重新检査或重新考虑已 完成的解答,则可能失去某些最好的效果。 7、弄清问题 回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的 在校内外,这种愚蠢和可悲的事情却经常发生,但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题,然而他不仅应当弄清它,而且还渴望解 出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣,这并不是他的过错,问题应当精选, 所选的题目不太难但也不要太容易,应顺乎自然而且趣味盎然,并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。 首先,必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点,他 可以要求学生重新叙述这题目,而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还 应当能够指出问题的主要部分,即未知数,已知数据,条件。所以老师提问时, 不要错过这样的问题:未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么? 学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问
希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。 主要部分，主要问题 6．四个阶段 在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问 题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我 们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。 为了把我们表中的问题与建议进行适当分组，我们把工作分为四个阶段。 首先，我们必须了解问题；我们必须清楚地看到要求的是什么?其次，我们必须 了解各个项之间有怎样的联系?未知数和数据之间有什么关系?为了得到解题的 思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划。第四，我们回顾所完成的 解答，对它进行检查和讨论。 上述每一阶段都有其重要性。可能会有这样的情况：一个学生想出了一个 异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答，则可能失去某些最好的效果。 7、弄清问题 回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。 在校内外，这种愚蠢和可悲的事情却经常发生，但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解 出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣，这并不是他的过错，问题应当精选， 所选的题目不太难但也不要太容易，应顺乎自然而且趣味盎然，并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。 首先，必须了解问题的文字叙述。教师在某种程度上可以检查这一点，他 可以要求学生重新叙述这题目，而学生应能流利地重新叙述这个问题。学生还 应当能够指出问题的主要部分，即未知数，已知数据，条件。所以老师提问时， 不要错过这样的问题：未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么? 学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问
题和某一图形有关,那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果 对这些对象需要给以名称,他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号,他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中,假定我们并不期望 有一个明确的回答,而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测,那么另外还 有一个问题可能是有用的,即:满足条件是否可能呢? (在本书第二部分中,把“弄清问题”分成两个阶段:“熟悉问题”和“深 人理解问题”) 8、例子 让我们说明上节中的某几点内容。我们选下列简单问题:已知长方体的 长、宽、高,求其对角线长度。 为了对此问题作有益的讨论,学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几 何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。 教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体,其尺寸可 以测量,也可以估计,要求学生不作测量,间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高,用手势说明什么是对角线,通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更加形象。 以下是老师与学生间的对话 未知数是什么?” “长方体对角线的长度。 “已知数是什么?” “长方体的长、宽、高。” 引入适当的符号,用哪个字母表示未知数?” “长、宽、高应选哪些字母?” “a,b,c” 联系a,b,c与x的条件是什么?” x是长方体的对角线,长方体的长、宽、高为a,b,c” 这是个合理的问题吗?我意思是说,条件是否充分,足以确定未知数吗?” 是的,是充分的。如果我们知道a,b,c,我们就知道平行六面体。如 果平行六面体被确定,则对角线也被确定了。” 9.拟定计划 当我们知道,或至少大体上知道,为了求解未知数,必须完成哪些计算、 要作哪些图的时候,我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划,其过 程可能是漫长而曲折的。事实上,求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者,在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后,突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助,促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头
题和某一图形有关，那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。如果 对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望 有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还 有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢? (在本书第二部分中，把“弄清问题”分成两个阶段：“熟悉问题”和“深 人理解问题”)。 8、例子 让我们说明上节中的某几点内容。 我们选下列简单问题：已知长方体的 长、宽、高，求其对角线长度。 为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几 何中的某些应用。他们对立体几何可能只有很少的系统知识。教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。 教师可以通过使问题具体化而使之有趣。如教室就是个长方体，其尺寸可 以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更加形象。 以下是老师与学生间的对话： “未知数是什么?” “长方体对角线的长度。” “已知数是什么?” “长方体的长、宽、高。” “引入适当的符号，用哪个字母表示未知数?” “x” “长、宽、高应选哪些字母?” “a，b，c” “联系a，b，c与x的条件是什么?” “x是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为a，b，c” “这是个合理的问题吗?我意思是说，条件是否充分，足以确定未知数吗?” “是的，是充分的。如果我们知道a，b，c，我们就知道平行六面体。如 果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。” 9．拟定计划 当我们知道，或至少大体上知道，为了求解未知数，必须完成哪些计算、 要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过 程可能是漫长而曲折的。事实上，求解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头
为了弄清学生的心理活动,老师应当回想他自己的经验,回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道,如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实,则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子,但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容,如以前解决的问题,以前证明过的定理。因此,以下列问题开始 工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于:通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关,即,与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上:看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题,那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气;通过探索我们是可以得到它的。这里 有个问题与你的问题有关,且早已解决,你能利用它吗? 上述问题,如能很好地理解和认真地加以考虑,常常有助于激发起一连串 正确的想法;但它们并不总是有用的,它们并非魔法。如果这些问题不行,我 们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面;我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法,例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等;具 体细节是重要的,但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题:如果你不能解决所提出的问题,则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理,考虑各种修改,对各种辅助问题进行 试验,我们可能离开原来的问题太远,甚至最后有失掉它的危险。但是还有 个很好的问题可以把我们带回原处:你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 0.例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” 看着未知数,你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好,未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” 不,我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题 你是否知道任何具有相似未知数的问题?
为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗? 上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 10．例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” …… “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好，未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?
你看,对角线是个线段,就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知 数是直线长度的问题?” “当然,我们曾经解决过这样的问题,例如找出直角三角形的一个边。” 好啊!这里有一个知你的问题有关的问题,且早已解决,你能利用它 你真走运,你想起了一个与你当前问题有关的问题,而且这个问题你以 前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它,你能否引进某个辅助元素?” 图1 “看这里,你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗? 我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备:即使这样明白的提示也不能使 学生开窍,那么他应当动用所有越来越明显的提示。 你是否想在图1中有个三角形?” “在图中,你想有哪种三角形?” 你现在还不能求出这对角线;但你说过你能求出三角形的一个边。那么 现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边,你能找出它吗?” 经过或多或少的帮助后,学生终于成功地引进了决定性的辅助元素,即图 中阴影三角形,在鼓励学生进入实际计算之前,教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。 我想,画出那个三角形是个好主意,你现在有了个三角形,但是你是否 有未知数?” 未知数是三角形的斜边,我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” 如果两边为已知,你会计算。但它们是已知的吗?
…… “你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知 数是直线长度的问题?” “当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。” “好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它 吗？” “你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以 前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?” 图1 “看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?” 我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。 “你是否想在图1中有个三角形?” “在图中，你想有哪种三角形?” “你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么 现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?” 经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图 中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。 “我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否 有未知数?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?
“一个边已给定,是c。另一个边,我想也不难求出。是的,另一边是另 个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11.实现计划 想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中,还要有好运气。但实现计划则容 易得多,我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲,我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节,直到每一点都完全清楚了,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划,则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生,很容易发生这种现象;但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路,则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤 根据“直观”或“形式”上的论证,我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上,直到完全搞清楚,毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止;或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合,直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的;更进 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是:学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出:你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12.例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边,而给定的高度c是边长之一,另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边,即面上的对角线,其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后,陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后,他得到 X2=y+c y2=a2+b2于是消去辅助未知数y,从而有 x =a +b +c a2+b2+c2 如果学生正确地进行上述细节运算,老师没有理由去打断他,除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样,教师可以问:
“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另 一个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11．实现计划 想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤。 根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12．例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到 x2=y 2 +c2 y 2 =a 2 +b2于是消去辅助未知数y，从而有 x2=a 2 +b2 +c2 x= 2 2 2 a + b + c 如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：
“你能清楚地看出具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题,学生可能老老实实回答:“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测,他应该继续提问 但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点,否则教师不应当提出这 个问题。即使如此,也仍然存在某些危险性,即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13.回顾 即使是相当好的学生,当他得到问题的解答,并且很干净利落地写下论证 后,就会合上书本,找点别的事来干干。这样做,他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答,通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钴研,我们能够改进这个 解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案,检査了每一步。这样, 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而,出现错误总还是可能的, 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是,如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证,决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏,我们总喜欢去看看它,摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样,我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问:你能用不同方法来导出这结果吗?当然 我们宁愿要简短而直观的论证,而不要冗长而烦琐的,所以要问:你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉:数学题目之间很少有联 系,和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候,我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错,那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味 这样,他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的,以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况,在那些情况下,他能再一次 利用所使用的办法,或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14.例子 在第12节,学生最后得到了解答:如果长方体自同一角引出的三个边为 b,c,那末对角线为 la2+b2+c
“你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测，他应该继续提问： “但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否则教师不应当提出这 个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13．回顾 即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。这样， 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14．例子 在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a， b，c，那末对角线为 2 2 2 a + b + c
你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验:用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题,其结果很容易进行几次检验,而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单,也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题,对这些问题,学生可以很容易地回答“是”;但如回答“不是” 这将表明结果中存在严重的缺点 你是否使用了所有的数据?是否所有数据a,b,c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的,我们的问题对a,b,c 来说是对称的。你所得的公式对a,b,c对称吗?当a,b,c互换时公式是否保持 不变 “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a,b,c,求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似:给定尺寸a、b,求矩形的对角线 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小,并且最后等于零,这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中,令c=0,是否得到矩形对角线的正确公式?” 如果高c增加,则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a,b,c按同一比例增加,则对角线也按同 比例增加。在你的公式中,如将a,b,c分别代以12a,12b,12c,则对角线 也将乘以12,是否这样?” “如果a,b,c的单位是尺,则你的公式给出的对角线的单位也是尺;如 果将所有单位改为寸,则公式应保持正确,是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先,公式通过这么多的检验,这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的,因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验,他就更深信无疑了,这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题,公式的细节获得 了新的意义,而且和不同的事实联系起来了。这样,公式就更容易记住,学生 的知识得以巩固。最后,上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后,一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念:即,利用所 有有关数据,改变数据,对称,类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯,他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合,可能需要逐步地重新检验论 证。但通常,重新检査一下令人恼火之点就够了。在本例,可以建议讨论以前 提过的问题:你能证明具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗(见第12节末
你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”， 这将表明结果中存在严重的缺点。 “你是否使用了所有的数据?是否所有数据a，b，c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a，b，c 来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗?当a，b，c互换时公式是否保持 不变?” “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令c=0，是否得到矩形对角线的正确公式?” “如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增加，则对角线也按同 一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a，12b，12c，则对角线 也将乘以12，是否这样?” “如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如 果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得 了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生 的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯，他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论 证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前 提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末