第二章插值和逼近 21多项式插值 22密切多项式插值 2.3分段插值和样条函数 24有理函数 25多维插值 26函数的逼近 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 1 第二章 插值和逼近 2.1 多项式插值 2.2 密切多项式插值 2.3 分段插值和样条函数 2.4 有理函数 2.5 多维插值 2.6 函数的逼近
插值多项式 Lagrange多项式 Aitken- Neville逐步加精格式 Newton多项式 Newton- Gregory前差分插值 Gregory后差分插值 Gauss差分插值 Stirling差分插值 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 2 插值多项式 Lagrange 多项式 Aitken-Neville 逐步加精格式 Newton 多项式 Newton-Gregory 前差分插值 Gregory 后差分插值 Gauss 差分插值 Stirling 差分插值
2.0 插值自变量和应变量的关系 以表格或曲线形式给出 由于函数关系过于复杂 或当前还未找到合适的方程表达 希望用较少数据点存入计算机 产生插值问题 逼近对计算不便或复杂的函数 用另一便于计算的函数近似之 称为逼近方法 rla= xe dx B(m,n) 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 3 2.0 插值 自变量和应变量的关系 以表格或曲线形式给出 由于函数关系过于复杂 或当前还未找到合适的方程表达 希望用较少数据点存入计算机 产生插值问题 逼近 对计算不便或复杂的函数 用另一便于计算的函数近似之 称为逼近方法 ( ) ( ) ( ) − − − − = − = 1 0 1 1 0 1 B m,n x 1 x dx x e dx m n x
2.0 工程计算用图线 由于系实际测得,往往无合适的方程表达 示例: O'Connel塔效率和操作条件关联 Er =o(log H·P x=logAL H*P 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 3.0 2.0-1.0 0 2.0 图21典型的工程用计算图线 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 4 2.0 工程计算用图线 由于系实际测得，往往无合适的方程表达 示例：O’Connell 塔效率和操作条件关联 (log ) H P E l T = H P x L log −3.0 −2.0 −1.0 0 1.0 2.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 图2.1 典型的工程用计算图线 Y E T
2.0 表2-1典型的数表 节点序数自变量值因变量值 X y 3.0 0.775 2.5 0.670 012345678 2.0 0.565 1.5 0.460 1.0 0.355 0.5 0.260 0.0 0.180 0.5 0.115 0.070 1.5 0.035 10 2.0 0.010 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 5 2.0 表2-1 典型的数表 节点序数 i 自变量值 xi 因变量值 yi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.775 0.670 0.565 0.460 0.355 0.260 0.180 0.115 0.070 0.035 0.010
2.1多项式插值 常用n次多项式Pn(x) y=p、(x)→f(x) d tax+ tax 根据 Weierstrass逼近理论 f(x)+ P,(x 图22 Weirstrass逼近理论示意 x∈a, E>0 a () -p(x)<e x∈a 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 6 2.1 多项式插值 常用n次多项式Pn (x) ( ) ( ) (2 1) = 0 + 1 + + − = → n n n a a x a x y p x f x 根据Weierstrass逼近理论 f (x) P (x) x a b x a b n , , 0 − a b y P (x) n f (x)+ f (x)− f (x) x 图 2.2 Weirstrass 逼近理论示意
21.1插值多项式 插值多项式P Ix y 型值点 x, y y y x X 图2.3型值点和插值多项式 P(x)=a0+a1x+……+a,x2+…+anx →f(x P(x)=f(x,) 使ao 唯一确定 n+1个待定系数n+1个条件 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 7 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 7 2.1.1 插值多项式 ( ) ( ) ( ) i n n i i n n i n i a a a a P x f x P x a a x a x a x , , , , , 0 1 0 1 = = + + + + + 使 唯一确定 n+1 个待定系数 n+1 个条件 • • • • y x0 x1 i x x n x n y i y 1 y 0 y ( ) 0 0 x , y ( ) 1 1 x , y ( ) i i x , y ( ) n n x , y f (x) P (x) n 型值点插值多项式 f (x) 图 2.3 型值点和插值多项式
2.1.1 推导通式 P,(x)=Bn0(x)y+…+Bn(x)y+ +Bnn(x).y ∑Bn,(x)y Bn(x)—P(x)的基本式,基函数 P(x)通过型值点, ∴P Vi, l (2-3)→(2-2) n,0(0 +y2B(x0)+…+yn (x)+…+yBn、x)+…+ynBn(x) υB0(xn)+…+yBn(xn)+…+yBn(x)=yn 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 8 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 8 2.1.1 推导通式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2) 0 , , ,0 0 , = − + = + + + = n i n i i n n n n n n i i B x y B x y P x B x y B x y 的基本式，基函数 ( ) ( ) ( ) (2 3) (2 2) , 0,1, , 2 3 − → − P x = y i = n − P x n i i n 通过型值点， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 4) 0 ,0 , , 0 ,0 , , 0 ,0 0 , 0 , 0 0 − + + + + = + + + + = + + + + = n n i n i n n n n n n n i i n i i n n n i i n i n i n n n y B x y B x y B x y y B x y B x y B x y y B x y B x y B x y B (x) P (x) n,i n
2.1.1 (2-4)成立的条件 0.i≠ 由(2-2)Bn(x)和P(x)最高冥次相同 构造满足(2-5)的B,(x),令 x-xo x-1x-x+1}…(x-xn (2-6 x=xi?j H,J≠ 为使Bn(x)=1, 7) x-x0)…(x-x1x-x+1)…(x-x 定义D(x)=(x-x)(x-x)x-xn)(x-x)(2 所以 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 9 2.1.1 （2-4）成立的条件 由 和 最高冥次相同 构造满足 的 ，令 ( ) B (x) n,i 2 − 2 , (2−5) P (x) n B (x) n,i ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (2 8) 2 7 1 1, 0; ; 0, , ; 2 6 , 0 1 1 0 1 1 , , , , 0 1 1 = − − − − − − − − − − = = = = = = − − − − − − + − + − + n i i i n i i i i i n n i n i i j n i n i i i n D x x x x x x x x x x x x x x x x x C B x x x j n j i B x C x x x x x x x x 所以 定义 为使 ( ) (2 5) 0, 1, , − = = i j i j B x n i j ( ) ( ) ( ) (2 9) , , , = − n i i n i n i D x D x B x
2.1.1 (2-9)→(2-2) P()=∑B,()y=∑y:D,)()(2-10) Lagrange多项式 Rolle,s theorem 2 图24函数与根的关系 根 n-1个根 浙江大学研究生 《实用数值计算方法》 学位课程
浙江大学研究生 学位课程 《实用数值计算方法》 10 2.1.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 10) 2 9 2 2 0 , , 0 = , = = − − → − = = L x D x D x P x B x y y n n i n i i n i i n i n n i i Lagrange 多项式 Rolle’s Theorem f (x) 0 x 1 x • • • • n xi x 2 x f (x) a b 1 2 i n −1 ( ) ( ) 个根 个根 1 ' f x n − f x n 图 2.4 函数与根的关系