数学实验 Experiments in Mathematics 清华大学数学科学系 为什么要开设数学实验课 ·既要学好“算数学”,更要培养“用数学”的能力 ·利用计算机技术提供的条件,培养分析、思考能力 感受“用数学”的酸甜苦辣,激发学好数学的愿望 以学生动手为主,在教师指导下用学到的数学 课程知识和计算机技术,选择合适的数学软件, 宗旨 分析、解决一些经过简化的实际问题
1 1 数学实验 Experiments in Mathematics 清华大学数学科学系 2 为什么要开设数学实验课 • 既要学好“算数学”, 更要培养“用数学”的能力 • 利用计算机技术提供的条件, 培养分析、思考能力 • 感受“用数学”的酸甜苦辣, 激发学好数学的愿望 课程 宗旨 以学生动手为主，在教师指导下用学到的数学 知识和计算机技术，选择合适的数学软件， 分析、解决一些经过简化的实际问题
数学实验课的内容安排 ·介绍一些解决实际问题的常用数学方法:数值计算、 优化方法、数理统计和计算机模拟的基本原理和算法; 选用一个合适的数学软件 MATLAB,能方便地 实现以上内容的主要算法 数学建模贯穿整个课程,每个内容都从实际问题 引出,并归结于问题的解决; 精心安排学生的实验,上机和作实验报告的时间要保证 14个数学实验的具体内容 预备实验: MATLAB使用练习 数学建模实验1数学建模初步实验13数学建模综合 数值计算实验2插值与拟合实验3数值积分与微分 实验4常微分方程数值解 实验5线性方程组的解法实验6非线性方程近似解 优化方法实验7无约束优化实验8约束优化 数理统计实验9数据的统计描述和分析 实验10方差分析实验1回归分析 计算机模拟实验12计算机模拟
2 3 数学实验课的内容安排 • 介绍一些解决实际问题的常用数学方法：数值计算、 优化方法、数理统计和计算机模拟的基本原理和算法； • 选用一个合适的数学软件——MATLAB，能方便地 实现以上内容的主要算法； • 数学建模贯穿整个课程，每个内容都从实际问题 引出，并归结于问题的解决； • 精心安排学生的实验，上机和作实验报告的时间要保证。 4 14个数学实验的具体内容 预备实验：MATLAB使用练习 数学建模 实验1 数学建模初步 实验13 数学建模综合 数值计算 实验2 插值与拟合 实验3 数值积分与微分 实验4 常微分方程数值解 实验5 线性方程组的解法 实验6 非线性方程近似解 优化方法 实验7 无约束优化 实验8 约束优化 数理统计 实验9 数据的统计描述和分析 实验10 方差分析 实验11 回归分析 计算机模拟 实验12 计算机模拟
实验报告格式的基本要求 具系别、班级、学号、姓名 实验目的 计算题题目,算法设计包括计算公式),程序, 计算结果(计算机输出),结果分析,结论。 题目,问题分析,模型假设,模型建立 应用题算法设计(包括计算公式,程序,计算结 果(计算机输出),结果的数学分析,结果 的实际意义,结论。 收获与建议 数学实验 Experiments in Mathematics 实验1数学建模初步
3 5 实验报告格式的基本要求 系别、班级、学号、姓名 计算题 题目，算法设计(包括计算公式)，程序， 计算结果(计算机输出)，结果分析，结论。 应用题 题目，问题分析，模型假设，模型建立， 算法设计(包括计算公式)，程序，计算结 果(计算机输出)，结果的数学分析，结果 的实际意义，结论。 实验目的 收获与建议 6 数学实验 Experiments in Mathematics 实验1 数学建模初步
从我们常见的模型到数学模型 玩具、照片、火箭模型~实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机~物理模型 地图、电路图、分子结构图…~符号模型 模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼岀來的原型的替代物。 模集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 你碰到过的数学模型—“航行问题” 甲乙两地相距750千米,船从甲到乙 顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小 时,问船的速度是多少。 用ⅹ表示船速,y表示水速,列出方程: (x+y)×30=750 y)×50=750 求解得到x=20,y=5,答:船速每小时20千米
4 7 从我们常见的模型到数学模型 玩具、照片、火箭模型… ~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… ~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 模型 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。 模型 8 你碰到过的数学模型——“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： ( ) 50 750 ( ) 30 750 − × = + × = x y x y 求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20千米 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙 顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小 时，问船的速度是多少
航行问题建立数学模型的基本步骤 ·作出简化假设(船速、水速为常数); ·用符号表示有关量(x,y表示船速和水速); ·用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程) 求解得到数学解答(x=20.,y=5); 回答原问题(船速每小时20千米)。 数学模型( Mathematical Model)和 数学建模( Mathematical modeling) 数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。 数学建模:建立数学模型的全过程 (包括分析、建立、求解、检验) Motivation. formulation. Solution. verification
5 9 航行问题建立数学模型的基本步骤 • 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； • 回答原问题（船速每小时20千米）。 10 数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 数学建模：建立数学模型的 数学建模： 全过程 （包括分析、建立、求解、检验）。 Motivation,Formulation,Solution,Verification
数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展; 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地; 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具; 数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 如虎添翼 数学建模 计算机技术 知识经济
6 11 数学建模的重要意义 • 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 12 数学建模的具体应用 • 分析与设计 • 预报与决策 • 控制与优化 • 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 如虎添翼
数学建模实例1 录象机计数器的用途 题经试验,一盘录象带从头走到尾,时间用了 183分30秒,计数器读数从00变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半,计数器读数为 4580,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 要求不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系 思考计数器读数是均匀增长的吗? 观察」计数器读数增长越来越慢! 问题分析录象机计数器的工作原理 左轮盘 右轮盘 0000 计数器 主动轮 录象带磁头 压轮 录象带运动方向 录象带运动右轮盘半径增大计数器读数增长变慢 录象带运动速度是常数 轮转速不是常数4
7 13 数学建模实例1 ——录象机计数器的用途 问 题 经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了 183分30秒，计数器读数从0000变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为 4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系。 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 14 问题分析 录象机计数器的工作原理 左轮盘 0000 右轮盘 磁头 主动轮 压轮 计数器 录象带 录象带运动方向 录象带运动 右轮盘半径增大 录象带运动速度是常数 右轮转速不是常数 计数器读数增长变慢 观 察 计数器读数增长越来越慢！
模型假设 录象带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比,记m-kn; 录象带厚度(加两圈间空隙)为常数w; 空右轮盘半径记作r; 时间t0时读数n=0 建模目 建立时间t与读数n之间的关系 (设V,k,W,r为已知参数)15 模型建 建立t与n的函数关系有多种方法 1.右轮盘转第i圈的半径为r+wi,m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt,所以 ∑2(r+m)= m= kn t= wk dark n
8 15 模型假设 • 录象带的运动速度是常数 v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设V，k ，w ，r 为已知参数） 16 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以 r wi vt m = kn m i + = =1 2π ( ) n v rk n v wk t π 2 2π 2 = +
模型建 2.考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度3.考察t到tdt录象带在 乘以转过的长度, 右轮盘缠绕的长度,有 zI+wkn )2-2]=wt(r+wkn 2 kdn= ydt 丌k 2丌rk n+ 思考」1.3种建模方法得到同一结果 2丌(r+wi) 丌[(r+wkn) -]=m/=2kn+p rark (r+ wkn )2Tkdn vdt 但仔细推算会发现稍有差别,请解释。 2.模型中有待定参数,W,vk, 种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法
9 17 模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录象带厚度 乘以转过的长度，即 [(r + wkn ) − r ] = wvt 2 2 π n v rk n v wk t π 2 2π 2 = + 3. 考察t到t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度，有 (r + wkn )2πkdn = vdt 18 思 考 r wi vt m i + = = 1 2 π ( ) [(r + wkn ) − r ] = wvt 2 2 π (r + wkn )2πkdn = vdt n v rk n v wk t π 2 2π 2 = + 1. 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。 2.模型中有待定参数 r, w, v, k, 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法
参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作t=Ⅶm2+bn,只需估计a,b 理论上,已知t=183.5,n=6152,再有一组(t,n)数据即可; 实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合。 现有一批测试数据: 用最小二乘法可得 n00001153204528003466 100120140160183.5 2.51×10-6 n40684621513556196152b=1.44×10-2 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型: t=amn2+b(a=251×10-6,b=1.44×10-2 模型应用 1.回答提出的问题:由模型算得n=4580时t=118.5分 剩下的录象带能录183.5-1185=65分钟的节目 2.揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律, 当录象带的状态改变时,只需重新估计a.b即可
10 19 参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 , 2 t = an + bn 只需估计 a ,b , 理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可； 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合。 现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80 n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5 n 4068 4621 5135 5619 6152 用最小二乘法可得 1.44 10 . 2.51 10 , 2 6 − − = × = × b a 20 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型： t = an + bn 2 ( 2.51 10 , 1.44 10 ) −6 −2 a = × b = × 模型应用 1. 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分， 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目。 2. 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可