第四章数值积分 §4.1数值积分的一般概念 问题:)=f(x)x=2,(x)原函数不易找到 数值方法:找一个逼近f(x)的简单函数p(x)此时 f(x=p(x)+r(x) 数值求积公式[f(x)k≈1(p)=[p(x)dk易算! 误差:Er(f)=l(f)-/(p) R(xdx ??若逼近f(x)的简单函数p(x)是区间a,b上对应于分划 =x0<x1<…<xn-1<xn 及函数值f(x0),f(x1)…,f(xn21),f(x) 的插值函数!由此得到的数值积分公式称为插值型求积公式
第四章 数值积分 §4.1 数值积分的一般概念 的插值函数！由此得到的数值积分公式称为插值型求积公式。 及函数值 ？？若逼近 的简单函数 是区间 上对应于分划 误差： 数值求积公式： 易算！ 数值方法：找一个逼近 的简单函数 此时 问题： 的原函数不易找到。 ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ?, ( ) 0 1 1 0 1 1 b a n n n n b a b a b a f x f x f x f x a x x x x b f x p x a b R x dx Err f I f I p f x dx I p p x dx f x p x R x f x p x I f f x dx f x − = − = = = − = = + = =
??若逼近f(x)简单函数是区间a,b上的最佳平方逼近函数, 则由此得到的求积公式称为高斯型求积公式。 显然,数值求积公式的一般形式为: I()≈∑4(x,)…① 我们的任务是希望误差 Er()=|1()-1(p)≤E 并且代数精度尽量的高。 所谓代数精度:若求积公式(1)对于任意次数不高 于m的多项式pn(x)都精确成立(Er(pn)=0,而对于某 个m+次多项式n+1(x)不精确成立(Er(pm+)≠0)。则 称此求积公式具有m次代数精度
称此求积公式具有 次代数精度。 个 次多项式 不精确成立（ ）。则 于 的多项式 都精确成立（ 而对于某 所谓代数精度：若求积公式（）对于任意次数不高 并且代数精度尽量的高。 我们的任务是希望误差 （） 显然，数值求积公式的一般形式为： m m p x Err p m p x Err p Err f I f I p I f f x m m m m n i i i ) 0 ~ ( ) ( ~ 1 ( ) ( ) 0), 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 + = = − + + = 则由此得到的求积公式称为高斯型求积公式。 ??若逼近f (x)的简单函数是区间[a,b]上的最佳平方逼近函数
汪: 1)求积公式的误差计算精度的度量标志。而代数精度 是求积公式优良性的度量指标。 2)求积公式的误差小,不代表代数精度高。代数精度 高,也不代表求积公式的误差小。他们没有必然联系 3)确定一个求积公式的代数精度可采用如下方法: 若Er(x)=0,k=0,1…,m而Er(xk+)≠0,则求积 公式具有m次代数精度 4)收敛性:Ern(∫)→>0,n→> 5)数值稳定性:若f(x)=y+6,且s6则当∑|< i=0 时,算法是数值稳定的
时，算法是数值稳定的。 数值稳定性：若 且 则当 收敛性： 公式具有 次代数精度。 若 而 则求积 确定一个求积公式的代数精度可采用如下方法： 高，也不代表求积公式的误差小。他们没有必然联系。 ）求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度 是求积公式优良性的度量指标。 ）求积公式的误差计算精度的度量标志。而代数精度 注： = + → → = = = + n i i i i i i n k k f x y Err f n Err x k m Err x 0 1 5) ( ) , , 4) ( ) 0, . m ( ) 0, 0,1, , . ( ) 0, 3) 2 1
§4.2插值型求积公式 、拉格朗日求积公式 用分划a=x0<x1<…<x及对应的型值(x,f(x1) f(xn)构成的拉格朗日函数逼近函数,得到 拉格朗日求积公式: ()≈()=∑4(x),4=1(x)k (n+1) 截断误差:Ern(∫)= n+1 (x)dx 注: a(n+1) 1)代数精度至少为n 2)虽然∑=b-a但不一定数值稳定 l:
§4.2 插值型求积公式 + + = + = = = = b a n n n b a i i n i n i i n n x dx n f Err f I f I f f x l x dx f x a x x x f x f x ( ) . ( 1)! ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) . , ( ) ( ), ( ), 1 ( 1) 0 0 1 0 1 截断误差 拉格朗日求积公式： 构成的拉格朗日函数作为逼近函数，得到 用分划 及对应的型值 一 、拉格朗日求积公式 虽然 但不一定数值稳定。 ）代数精度至少为 注： 2) , 1 ; 0 b a n n i i = − =
3)等距节点的拉格朗积公式称为牛顿柯特斯公式,且 n为偶数时代数精度为+1但∑λ→∞说明对大的数值不稳定 i=0 4)我们知道n>6时拉格朗日插值逼近勰很差,自然求积精度 也难以保证。所以真用的求积公式应是分没低次插值下的 求积公式。即复合求秘式。 5)几个低次牛顿-柯特斯求积公式: *梯形公式(n=时) 1(f) b 2 (f(a)+f(b) E()(b-a)3f"(m) 12 代数精度为
− = − + − = = − + → − = 1 ( ) 12 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 ( ) * 1 5 4) 6 1. , 3 3 1 1 0 代数精度为 梯形公式（ 时 ） ）几个低次牛顿 柯特斯求积公式： 求积公式。即复合求积公式。 也难以保证。所以真正实用的求积公式应是分段低次插值下的 我们知道 时拉格朗日插值逼近效果很差，自然求积精度 为偶数时代数精度为 但 说明对大的 数值不稳定。 ）等距节点的拉格朗日求积公式称为牛顿 柯特斯公式，且 f b a Err f f a f b b a I f n n n n n n i i
*辛埔生求积公式( Simpson,n=2时) 12(f) b [f(a)+4f( a+b )+f(b) Ern(f) 90 f(4)(7),h= 代数精度为3 Simpson3/8公式(n=3时) 3(f) f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(b), h Error) 80 h5f(4)(m) 代数精度为3
= − − = + + + + + − = = − = − = + + + − = = 3 ( ) 80 3 ( ) 3 [ ( ) 3 ( ) 3 ( 2 ) ( )], 8 ( ) 3/ 8 3 3 2 ( ), 90 ( ) ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 ( ) * , 2 5 (4) 3 3 (4) 5 2 2 代数精度为 公式（ 时） 代数精度为 辛埔生求积公式（ 时） Err f h f b a h f a f a h f a h f b b a I f Simpson n b a f h h Err f f b a b f a f b a I f Simpson n
三、复化求积公式 1、复化梯形公式 给定a,b的分划:x1=a+i,=0:n,h=(b-a)/n (x)dx=∑f(k =∑((x1)+f(x)-215fs) i=1 复化梯形求积公式为: Z()=∑2(f(x-)+f(x i=1 ((a)+/(b)+b2f(a+
二、复化求积公式 1、复化梯形公式 − = = − = = − = = + + + = + = + − = = + = = − − 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ) 2 ( ( ) ( )) 2 ( ) ( ) 12 ( ( ) ( )) 2 ( ) ( ) [ , ] , 0 : , ( )/ . 1 n i n i n i i n i i n i i i b a n i x x i f a f b h f a ih h f x f x h T f f h f x f x h f x dx f x dx a b x a ih i n h b a n i i 复化梯形求积公式为： 给 定 的分划：
截断误差: E7()=-12∑5) b-a)h 12 代数精度为1。 收敛性:Em(f)=O(h2) 数值稳定性:0=4=2,4=h,i=1:n-1 ∑风|=∑=mh=(b-a)< i=0 复合梯形求积公式是巍稳定的。 注:实际计算中,要想得鶸足条件E(f≤s的近似 积分值,需要事先给定或h然而maxf"(x)估计是困 难的
难的。 积分值，需要事先给定或 然 而 的估计是困 注 ：实际计算中，要想得到满足条件 的近似 复合梯形求积公式是数值稳定的。 数值稳定性： 收敛性： 代数精度为 。 截断误差： . max ( ) ( ) ( ) , , 1: 1. 2 ( ) ( ). 1 ( ) 12 ( ) ( ) 12 ( ) 0 0 0 2 2 1 3 n h f x Err f nh b a h i n h Err f h f b a h f h Err f n n i i n i i n i n n i n i = = = − = = = = − = − = − = − = = =
2、复合辛埔生求积公式 给定a,b的分划: x1=a+ih,=0:2m,n=2m2h=(b-a)/n f(x)k=∑Jf(x 2(i-1 ∑3((x-)+4f(x2)+f(x2) ∑ h 90 f(4)() 复化辛埔生求积公式为 2m 5((3)+4.(x2)+f(x2)
2、复合辛埔生求积公式 ( ( ) 4 ( ) ( )) 3 ( ) ( ) 90 ( ( ) 4 ( ) ( )) 3 ( ) ( ) , 0 : 2 , 2 , ( )/ . [ , ] 1 2 2( 1) 2 1 2 1 (4) 5 1 2( 1) 2 1 2 1 2 2( 1) = − − = = − − = = + + − = + + = = + = = = − − m i m i i i m i i m i i i i b a m i x x i f x f x f x h S f f h f x f x f x h f x dx f x dx x a ih i m n m h b a n a b i i 复化辛埔生求积公式为： 给 定 的分划：
即S2n()=2(f(a)+f(b) 4h 3 ∑/(a+(2-1)+23b∑/(a+(2)/) 截断误差: Emn()=-如0∑(5)=-(bon 代数精度为3。 收敛性:E72m()=Oh+)
− = = + + − + + = + 1 1 1 2 ( (2 ) ) 3 2 ( (2 1) ) 3 4 ( ( ) ( )) 3 ( ) m i m i m f a i h h f a i h h f a f b h 即S f ( ) ( ). 3 ( ) 180 ( ) ( ) 90 ( ) 4 2 (4) 4 1 (4) 5 2 Err f h f b a h f h Err f m n i m i = − = − = − = 收敛性： 代数精度为 。 截断误差：