2003年度研究生入学考试系列参考资料 高等数学学习手记 文登《数学复习指南》&二李《数学复习全书》配套参考资料 策划:K1234cn、 Yacyin、大头林、南天云 顾问:陈文灯、黄先开、李永乐、李正元、范培华、袁荫棠、曹显宾、施明存 编委: Chenkebin、 Dandan、Kj1234cn、 Dspace、 Potato、 Some、 Yacyin、Yyjn 指定站点:www.kaoyan.com(考研加油站-考研论坛-数学版) 下载站点: ftp: /shuxue: shuxue@6112981.16/ 高数主编: Chenkebin 第一章:函数、极限、连续(含初等数学)第五章:多元函数微分学 主编: Yacyin 主编 第二章:一元函数微分学 第六章:多元函数积分学 王 王 编 第三章:一元函数积分学 第七章:无穷级数 主编 主编 第四章:向量代数和空间解析几何 第八章:常微分方程(含差分方程) 主编 主编 线代主编: Yacyin 第一章:行列式 第四章:线性方程组 主编 王 第二章:矩阵 第五章:矩阵的特征值和特征向量 王编 主编 第三章:向量 第六章:二次型 主编 主编 概统主编: Dandan 第一章:随机事件和概率 第五章:大数定律和中心极限定理 王编 主编 第二章:随机变量及其概率分布 第六章:数理统计的基本概念 主编: 主编 第三章:二维随机变量及其概率分布 第七章:参数估计 主编 主编 第四章:随机变量的数字特征 第八章:假设检验 考研数学学习班组织委员会 第1页
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 考研数学学习班组织委员会 第 1 页 高等数学学习手记 文登 数学复习指南 二李 数学复习全书 配套参考资料 策 划 Kj1234cn Yacyin 大头林 南天云 顾 问 陈文灯 黄先开 李永乐 李正元 范培华 袁荫棠 曹显宾 施明存 编 委 Chenkebin Dandan Kj1234cn Nbspace Potato Sodme Yacyin Yyjjnn 指定站点 www.kaoyan.com 考研加油站 考研论坛 数学版 下载站点 ftp://shuxue:shuxue@61.129.81.16/ 高数主编 Chenkebin 第 一 章 函数 极限 连续 含初等数学 主 编 Yacyin 第 二 章 一元函数微分学 主 编 第 三 章 一元函数积分学 主 编 第 四 章 向量代数和空间解析几何 主 编 第 五 章 多元函数微分学 主 编 第 六 章 多元函数积分学 主 编 第 七 章 无穷级数 主 编 第 八 章 常微分方程 含差分方程 主 编 线代主编 Yacyin 第 一 章 行列式 主 编 第 二 章 矩阵 主 编 第 三 章 向量 主 编 第 四 章 线性方程组 主 编 第 五 章 矩阵的特征值和特征向量 主 编 第 六 章 二次型 主 编 概统主编 Dandan 第 一 章 随机事件和概率 主 编 第 二 章 随机变量及其概率分布 主 编 第 三 章 二维随机变量及其概率分布 主 编 第 四 章 随机变量的数字特征 主 编 第 五 章 大数定律和中心极限定理 主 编 第 六 章 数理统计的基本概念 主 编 第 七 章 参数估计 主 编 第 八 章 假设检验 主 编
2003年度研究生入学考试系列参考资料 第O章:初等数学常用公式 初等函数 1、常值函数 值域是只含一个元素的集合的函数,叫做常值函数,通常记为y=∫(x)=a,a为常数。 2、一次函数 自变量为一次的整式所表示的函数叫做一次函数,他的一般形式为y=kx+b,其中k b为常数,且k≠0。 在满足上述条件下,若b=0,就称函数为正比例函数 定义域 实数集R 值域 实数集R b≠0 b=0(正比例函数) 增减性 k>0 k-0 k>0 k-0 增函数 增函数 过(0,b) 0的直线 特点 过(0,0),(k)的直线 k=斜率,a=倾角,k=tana 3、反比例函数 函数y=叫做反比例函数,其中k叫做比例系数 定义域 D=!xx≠0,x∈R k>0 k0 a<0 b 增减性 4、b 减函数 增函数 增函数 减函数 极值 b 4ac-b x=-,) 开口向上 开口向下 特点 顶点(-b,4-6);对称轴:直线x=-b 2 4a 5、幂函数 形如y=x2的函数叫做幂函数,式中a为任意实常数 定义域 使x有意义的实数集合 考研数学学习班组织委员会 第2页
2 0 0 3 年 度 研 究 生 入 学 考 试 系 列 参 考 资 料 考研数学学习班组织委员会 第 2 页 第 章 初等数学常用公式 一 初等函数 1 常值函数 值域是只含一个元素的集合的函数 叫做常值函数 通常记为 y fx a = = ( ) a 为常数 2 一次函数 自变量为一次的整式所表示的函数叫做一次函数 他的一般形式为 y kx b = + 其中k b 为常数 且k ≠ 0 在满足上述条件下 若b = 0 就称函数为正比例函数 定义域 实数集 R 值 域 实数集 R b ≠ 0 b = 0 正比例函数 增减性 k ; 0 k ≺ 0 k ; 0 k ≺ 0 增函数 减函数 增函数 减函数 过( ) 0,b ,0 b k − 的直线 过( ) 0,0 ( ) 1, k 的直线 特 点 k 斜率 a 倾角 k a = tan 3 反比例函数 函数 k y x = 叫做反比例函数 其中k 叫做比例系数 定义域 D xx x R = ≠∈ { } 0, k ; 0 k ≺ 0 增减性 减函数 增函数 在 象限 在 象限 特 点 等轴双曲线 坐标轴为渐近线 4 二次函数 由二次多项式表示的函数 即 2 y ax bx c = ++ a ≠ 0 叫做 x 的二次函数 定义域 实数集 R a ; 0 a ≺ 0 2 b x a ≺ − 2 b x a ; − 2 b x a ≺ − 2 b x a 增减性 ; − 减函数 增函数 增函数 减函数 极 值 2 b x a = − 2 min 4 4 ac b y a − = 2 b x a = − 2 max 4 4 ac b y a − = 开口向上 开口向下 特 点 顶点 2 4 , 2 4 b ac b a a − − 对称轴 直线 2 b x a = − 5 幂函数 形如 a y x = 的函数叫做幂函数 式中a 为任意实常数 定义域 使 a x 有意义的实数集合
高 a>0 a0,a≠1,-0,a≠1) y∈ a>1 00) 性质 a{=1(x=0) a3{=1(x=0) 1(x0) 增函数 减函数 特点 曲线与y轴相交于点A(0,1);渐近线为x轴y=0 7、对数函数: 在函数关系式x=a中(a>0,a≠1,00(x>1) 性质 oga x=0(x=1) 0(0<x<1) 增函数 减函数 曲线与x轴相交于点A(10);渐近线为y轴x=0 8、三角函数:(详见第二节) 9、反三角函数:(详见第二节) 角函数及反三角函数 同角三角函数的基本关系式 (1)、倒数关系: cosa·seca=1 (2)、商数关系: 考研数学学习班组织委员会 第3页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 3 页 a ; 0 a ≺ 0 奇偶性 a 为偶数 a 为奇数 a 为负偶数 a 为负奇数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 ( ) −∞,0 中为减 ( ) −∞,0 中为增 增减性 ( ) 0,∞ 中为增 增函数 ( ) 0,∞ 中为减 减函数 特 点 曲线都通过点( ) 0,0 和( ) 1,1 曲线都通过点( ) 1,1 6 指数函数 形如 x y a = aa x ; ≺≺ 0, 1, ≠ −∞ ∞ 的函数叫做指数函数 定义域 x R ∈ a a ; 0, 1 ≠ 值 域 y R+ ∈ a ;1 0 1 ≺ ≺a ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 x x a x x = = ; ; ≺ ≺ ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 x x a x x = = ≺ ; ; ≺ 性 质 增函数 减函数 特点 曲线与 y 轴相交于点 A( ) 0,1 渐近线为 x 轴 y = 0 7 对数函数 在函数关系式 y x a = 中 aa x ; ≺≺ 0, 1,0 ≠ ∞ 若把 x 视为自变量 y 视作因变量 则 称 y 是以a 为底的 x 的对数函数 x 称为真数 记作 loga y x = 指数函数和对数函数互为反函数 定义域 x R+ ∈ a a ; 0, 1 ≠ 值 域 y R ∈ a ;1 0 1 ≺ ≺a ( ) ( ) ( ) 0 1 log 0 1 00 1 a x x x x = = ; ; ≺ ≺≺ ( ) ( ) ( ) 0 1 log 0 1 00 1 a x x x x = = ≺ ; ; ≺≺ 性 质 增函数 减函数 特 点 曲线与 x 轴相交于点 A( ) 1,0 渐近线为 y 轴 x = 0 8 三角函数 详见第二节 9 反三角函数 详见第二节 二 三角函数及反三角函数 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 sin csc 1 a a ⋅ = cos sec 1 a a ⋅ = tan cot 1 a a ⋅ = 商数关系
考研数学学习手记系列 sin a tan a= cos a cot a sIn d (3)、平方关系 n2 1+tan-a= sec- a 1+cot- a=csc a 2、诱导公式(略) 3、两角和与差的三角函数 cos(a+P)=cosa cos B-sina sin B cos(a-P)=cosa cos B+sina sin B sin(a+ p)=sina cos B+cosa p sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B tan a+ tan B tan(a+ I-tan.tan B B tan a-tan B I+tan a tan B 4、二倍角公式(含部分三倍角公式) sin 2a=2 sin a cos e cos 20= cos a-sin a=2cos- a-1=1-2sin-a 2 tan a tan 2a 1-tan2 a sin 30=3sin 0-4sin' e 30=4 c0s0-3cos6 5、半角公式 osa 第4页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 4 页 考研数学学习班组织委员会 sin tan cos a a a = cos cot sin a a a = 平方关系 2 2 sin cos 1 a a + = 2 2 1 tan sec + = a a 2 2 1 cot csc + = a a 2 诱导公式 略 3 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin ( ) αβ α β α β += − cos cos cos sin sin ( ) αβ α β α β −= + sin sin cos cos sin ( ) αβ α β α β += + sin sin cos cos sin ( ) αβ α β α β −= − ( ) tan tan tan 1 tan tan α β α β α β + + = − ⋅ ( ) tan tan tan 1 tan tan α β α β α β − − = + ⋅ 4 二倍角公式 含部分三倍角公式 sin 2 2sin cos α αα = 22 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin α = − = −=− aa a a 2 2 tan tan 2 1 tan α α α = − 3 sin 3 3sin 4sin θθ θ = − 3 cos3 4cos 3cos θ θθ = − 5 半角公式 1 cos sin 2 2 α α − = ± 1 cos cos 2 2 α α + = ±
高等数学学 1-cosa sin a I-cosa I+cosa 1+cosa sin a (1)、万能公式: 2 tan tan 1-tan" 1+tan 2 tan I-tan 2)、万能代换: ,则 cos a tan a: 6、积化和差与和差化积公式 积化和差公式 sin a cos B=-[sin(a+B)+sin(a-B) B=sin(a+B)-sin(a-B)I cos a cos B==[cos(a+B)+cos(a-B)I B=-[cos(a+B)-cos(a-B) (2)、和差化积公式 0+sin=2 (+g)os(-9) 2 (+q)(6-q) cos+CoS =2 cos (6+q)(-q) -cOS (+q)(6-q) 2 考研数学学习班组织委员会 第5页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 5 页 1 cos sin 1 cos tan 2 1 cos 1 cos sin α αα α α αα − − =± = = + + 万能公式 2 2 tan 2 sin 1 tan 2 α α α = + 2 2 1 tan 2 cos 1 tan 2 α α α − = + 2 2 tan 2 tan 1 tan 2 α α α = − 万能代换 令tan 2 t α = 则 2 2 sin 1 t t α = + 2 2 1 cos 1 t t α − = + 2 2 tan 1 t t α = − 6 积化和差与和差化积公式 积化和差公式 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 α β αβ αβ = ++ − 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 α β αβ αβ = +− − 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ = ++ − 1 sin cos [cos( ) cos( )] 2 α β αβ αβ =− + − − 和差化积公式 ( )( ) sin sin 2sin cos 2 2 θϕ θϕ θ ϕ + − + = ( )( ) sin sin 2cos sin 2 2 θϕ θϕ θ ϕ + − − = ( )( ) cos cos 2cos cos 2 2 θϕ θϕ θ ϕ + − + = ( )( ) cos cos 2sin sin 2 2 θϕ θϕ θ ϕ + − − =−
考研数学学习手记系列 asing+bcoso=va2+basin(0+p) (其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanρ=一确定 7、三角函数的性质 函数式 y=sina y=cosa y=tan a y=cota 定义域 R R ∈Rxk+4下∈Rx≠kk∈引 值域 最大值为1 最大值为1 函数无最大值函数无最大值 最小值为-1 最小值为-1 函数无最小值函数无最小值 周期性 周期为2丌 周期为2丌 周期为丌 周期为丌 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 在 在 32在 在 上都是增函数;上都是增函数 +2kT-+2kz 单调性 在 在 x+2kx,)+2kz[2kx、(2k+1)z]内都是增函数;内都是增函数; 上都是减函数; (k∈Z) 上都是减函数 ∈ (k∈2) 8、反三角函数的性质 函数式 y=arcsin a y= arccosa y=arctan y= arc cota 定义域 l.1 (-∞,+∞ 00.+0 值域 [0,z] (0,x) 在区间 在区间 单调性 在区间[-1]上在区间[-1 是增函数 是减函数 上是增函数 上是减函数 奇偶性 奇函数 非奇非偶 奇函数 非奇非偶 三、排列、组合、二项式定理 1、排列数公式 =n(n-1)( 2、组合数公式 n(n-1)(n-2)(n-m+ m!(n-m 3、组合数的性质 4、排列数和组合数的关系 第6页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 6 页 考研数学学习班组织委员会 ( ) 2 2 a b ab sin cos sin θ ϕ θϕ + =+ + 其中ϕ 角所在象限由a b, 的符号确定 ϕ 角的值由tan b a ϕ = 确定 7 三角函数的性质 函数式 y = sinα y = cosα y = tanα y = cotα 定义域 R R , , 2 xx R x k k Z π π ∈ ≠+ ∈ { } xx R x k k Z ∈≠ ∈ , , π 值 域 [ ] −1,1 最大值为 1 最小值为-1 [ ] −1,1 最大值为 1 最小值为-1 R 函数无最大值 函数无最小值 R 函数无最大值 函数无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 单调性 在 2, 2 2 2 k k π π π π −+ + 上都是增函数 在 3 2, 2 2 2 k k π π π π + + 上都是减函数 ( ) k Z ∈ 在 ( ) 2 1 ,2 k k − π π 上都是增函数 在 2 ,2 1 k k π π ( ) + 上都是减函数 ( ) k Z ∈ 在 2, 2 2 2 k k π π π π −+ + 内都是增函数 ( ) k Z ∈ 在 ( ) k k π π , 1 ( ) + 内都是增函数 ( ) k Z ∈ 8 反三角函数的性质 函数式 y = arcsinα y = arccosα y = arctanα y = arccotα 定义域 [ ] −1,1 [ ] −1,1 ( ) −∞ +∞ , ( ) −∞ +∞ , 值 域 , 2 2 π π − [ ] 0,π , 2 2 π π − ( ) 0,π 单调性 在区间[ ] −1,1 上 是增函数 在区间[ ] −1,1 上 是减函数 在区间 ( ) −∞ +∞ , 上是增函数 在区间 ( ) −∞ +∞ , 上是减函数 奇偶性 奇函数 非奇非偶 奇函数 非奇非偶 三 排列 组合 二项式定理 1 排列数公式 ( )( ) ( ) 12 1 m P nn n n m n = − − −+ " 2 组合数公式 ( )( ) ( ) ( ) 12 1 ! ! !! m m n n m m P nn n n m n C P m mnm − − −+ == = − " 3 组合数的性质 m nm C C n n − = 1 1 m mm C CC n nn − + = + 4 排列数和组合数的关系 ! m m P Cm n n = ⋅
高等数学学习手记 第一章:函数·极限·连续 考试内容 函数的概念及表示法;函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;复合函数、反函数、 分段函数和隐函数;基本初等函数的性质及其图形;初等函数;简单应用问题的函数关系的 建立;数列极限与函数极限的定义以及它们的性质;函数的左极限与右极限;无穷小和无穷 大的概念及其关系;无穷小的性质及无穷小的比较;极限的四则运算;极限存在的两个准则: 单调有界准则和夹逼准则;两个重要极限 Im+-=e x→∞ 函数连续的概念;函数间断点的类型;初等函数的连续性;闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理) 考试要求 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式; 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念; 4、掌握基本初等函数的性质及其图形: 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的 关系; 6、掌握极限的性质及四则运算法则; 7、掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法 8、理解无穷小、无穷大以及阶的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限; 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最 大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质 三、典型例题分析(本小节由 Chenkebin编写) 本章主要题型有:①复合分段函数的求值;②直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数(这个里面包含了很多数列收敛的问题);③讨论函数的连续性,判 断间断点的类型;④无穷小阶的比较;③讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根。 1、复合分段函数问题 x 例题1:设函数f(x)=10=1,g(x)=e,求0x)与gx x>1, 分析:这是函数记号的运算,基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解:因为g(x)=,故 考研数学学习班组织委员会 第7页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 7 页 第一章 函数 极限 连续 一 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性 单调性 周期性和奇偶性 复合函数 反函数 分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的 建立 数列极限与函数极限的定义以及它们的性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷 大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限: 0 sin lim 1 x x → x = 1 lim 1 x x e →∞ x + = 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有 界性 最大值和最小值定理 介值定理 二 考试要求 1 理解函数的概念 掌握函数的表示方法 并会建立简单应用问题中的函数关系式 2 了解函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 3 理解复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数的概念 4 掌握基本初等函数的性质及其图形 5 理解极限的概念 理解函数左极限与右极限的概念 以及极限存在与左 右极限之间的 关系 6 掌握极限的性质及四则运算法则 7 掌握极限存在的两个准则 并会利用它们求极限 掌握利用两个重要极限求极限的方法 8 理解无穷小 无穷大以及阶的概念 掌握无穷小的比较方法 会用等价无穷小求极限 9 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 会判别函数间断点的类型 10 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 了解闭区间上连续函数的性质 有界性 最 大值和最小值定理 介值定理 并会应用这些性质 三 典型例题分析 本小节由 Chenkebin 编写 本章主要题型有 复合分段函数的求值 直接计算给定的极限或根据给定的极限反 过来确定式子中的常数 这个里面包含了很多数列收敛的问题 讨论函数的连续性 判 断间断点的类型 无穷小阶的比较 讨论连续函数在给定区间的零点或方程在给定区间 有无实根 1 复合分段函数问题 例题 1 设函数 ( ) 1, 1, 0, 1, 1, 1, x fx x x = = − ≺ ; ( ) x gx e = 求 f[g(x)]与 g[f(x)]. 分析 这是函数记号的运算 基本思路是弄清定义域与函数值之间的关系 解 因为 ( ) x gx e = 故
考研数学学习手记系列 当x0时,g(x)>1,tgx)=-1 1|x0, 2-x,x≤0 例题2:设g(x)= x+2,x>03f(x)=x,x02-x2,x<0 2、求极限的方法(重点内容,请注意第四部分的极限专项方法综述) 28/y 例题1:求lm SIn Z n 解:本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目。 sIn sin 由于 几,所以 n+1 n+1 n n 而且lmsn红-sx lim .2sin==lim(- +1n 所以利用夹逼定理,可以得到原式答案为 在极限中,还有一种题型就是已知极限,反过来求极限中的参数的题目。这类题一般是 求极限思路的逆分析,90%需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题2:确定常数a、b、C的值,使lim-ax-x=c(c≠0) dt 分析:当x→0时ax-snx→0,且lm2x存在而且不为零,所以 n(1+13) 第8页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 8 页 考研数学学习班组织委员会 当 x0 时 g x() 1 > f[g(x)] 1 总之 有 ( ) 1, 0, 0, 0, 1, 0, x f gx x x = = − ≺ ; 而 ( ) f x( ) gfx e = 所以 ( ) 1 e, x 1 1, x 1 e, 1 gfx x 例题 2 设 ( ) 2, 0 2, 0 x x g x x x − ≤ = + > ( ) 2 , 0 , 0 x x f x x x 2 2, 0 2 ,0 x x x x + ≥ − < 之间要注意定义域和值域相互之间的关系 2 求极限的方法 重点内容 请注意第四部分的极限专项方法综述 例题 1 求 2 sin sin sin lim 1 1 1 2 x n n n n n n π π π →∞ + +⋅⋅⋅+ + + + 解 本题是典型的两边夹和定积分结合应用的题目 由于 sin sin sin 1 iii nnn n n i n n πππ < < + + 所以 11 1 sin 1 1 sin sin 1 nn n ii i i i i n n n nn i n n π π π == = < < + + ∑∑ ∑ 而且 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π →∞ = π ∑ = = ∫ 1 1 1 12 lim sin lim( sin ) 1 1 n n n n i i in i n n nn n π π →∞ →∞ = = π =× = + + ∑ ∑ 所以利用夹逼定理 可以得到原式答案为 2 π 在极限中 还有一种题型就是已知极限 反过来求极限中的参数的题目 这类题一般是 求极限思路的逆分析 90 需要考虑等价无穷小和罗必塔法则 例题 2 确定常数 a b c 的值 使 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c c ≠ 0 分 析 当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 存在而且不为零 所 以
高等数学学习手记 1inrl+tD∥=0(*),因此b必定为零,因为若b>0,则在(0,b)内m1+)20; 若b0,(*)均不成立,确定了b之后,可再由罗必塔法则确定 解:由于当X→0时ax-sinx→>0,且lim ax-sIn x C≠0,故b=0,再用罗必塔法则: x→0rxln(1+r2) ax-sinx lim a-cosx lim a-cosx 若a≠1,则上式为叨,与条件不复合,故 x In(1+t). x+o In(1+x) x-o a=1,从而再用罗必塔法则(或等价无穷小代换,得c 总结:我们认为求极限的主要方法是:罗必塔法则;两个重要极限;两边夹法则;单调 有界法则;等价无穷小替换;泰勒级欻展开〔上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述) 综合历年的考试题目,使用的主要方法就是以上五种。求极限的方法是灵活的,有的题目要 几种方法一起用,所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习。只有自己有了很多的感 性认识,以上方法(理性认识)才能转化为自己的东西。否则光“知道”这些方法是解决不 了问题的。 3、讨论函数的连续性,判断间断点的类型 这部分内容(定义我们不重复了,大家自己看书),我感觉主要内容是两部分,一是函 数的连续问题,二是判断间断点类型。对于间断点类型,数学二可能要出大题,数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点,主要是考察左、右连续的问题(左、右极限)。间断点的判 断时间上也是考察的左、右连续的问题。连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题1:设f(x)=m+2-,试讨论此函数的连续性。 n→∞x+x 解:fx)={0.x=1 显然,f(x)在(-∞,-1),(0,1)(-1,0)以及(1,+)内连 续,只要讨论在-1、0、1三个点的连续性,由limf(x)=1,lim∫(x)=1,lim∫(x)=1 x→1 lim∫(x)=-1,limf(x)=0,所以ⅹ=0,±1是f(x)的三个间断点,其中X=0和-1是可去间 断点,X=1是第一类间断点(跳跃间断点) 例题2:当x→>1时,求函数2x-1的极限 考研数学学习班组织委员会 第9页
高 等 数 学 学 习 手 记 考研数学学习班组织委员会 第 9 页 3 0 ln(1 ) lim x x b t dt → t + ∫ 0 * 因此 b 必定为零 因为若 b>0 则在 0 b 内 3 ln(1 ) 0 t t + > 若 b * 均不成立 确定了 b 之后 可再由罗必塔法则确定 a c 解 由于当 x→0 时 ax sinx→0 且 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ c ≠ 0 故 b 0 再用罗必塔法则 3 0 sin lim ln(1 ) x x b ax x t dt t → − + ∫ 3 0 cos lim ln(1 ) x a x x x → − + 2 0 cos limx a x → x − 若 a ≠ 1 则上式为∞ 与条件不复合 故 a 1 从而再用罗必塔法则 或等价无穷小代换 得 c 1 2 总结 我们认为求极限的主要方法是 罗必塔法则 两个重要极限 两边夹法则 单调 有界法则 等价无穷小替换 泰勒级数展开 上述方法请参见第四部分的极限专项方法综述 综合历年的考试题目 使用的主要方法就是以上五种 求极限的方法是灵活的 有的题目要 几种方法一起用 所以本部分学好的关键还是在于自己要多多练习 只有自己有了很多的感 性认识 以上方法 理性认识 才能转化为自己的东西 否则光 知道 这些方法是解决不 了问题的 3 讨论函数的连续性 判断间断点的类型 这部分内容 定义我们不重复了 大家自己看书 我感觉主要内容是两部分 一是函 数的连续问题 二是判断间断点类型 对于间断点类型 数学二可能要出大题 数学一基本 上只会以小题形式出现 连续问题综合历年考察的特点 主要是考察左 右连续的问题 左 右极限 间断点的判 断时间上也是考察的左 右连续的问题 连续和间断的考察点我个人认为主要归结到左右极 限问题 例题 1 设 f(x) 2 1 lim n n n n n x x x x + − →∞ − − − + 试讨论此函数的连续性 解 f(x) 2 ,0 1 0, 1 , 1 x x x x x − 显然 f(x)在 ∞ -1 0 1 -1 0 以及 1 +∞ 内连 续 只要讨论在 1 0 1 三个点的连续性 由 1 1 lim ( ) 1, lim ( ) 1 x x fx fx →− →− + − = = 1 lim ( ) 1 x f x → + = 1 0 lim ( ) 1,lim ( ) 0 x x fx fx → − → =− = 所以 x 0 ± 1 是 f(x)的三个间断点 其中 x 0 和-1 是可去间 断点 x 1 是第一类间断点 跳跃间断点 例题 2 当 x→1 时 求函数 2 1 1 1 1 x x e x − − − 的极限
考研数学学习手记系列 解:对于这类题,一定要分析左右极限,我把这题作为典型题是想提醒大家,e是非常容 易出左右极隈的问题的,大家一定要关注e^的问题。 limf(x)=lim2exl=+∞;limf(x)=lim2exl=0,所有极限不存在但是也不等于+∞ 4、无穷小阶的问题 首先要明确高阶、低阶、同阶、等价的基本概念(自己看书,这里不再重复)。其实这个问 题是结合在求极限问题里面的 如果要你分析(x)和g(x两者阶的问题,你就是要得到lm(()的值(0、∞、实数、1), g(x) 根据这些来判断两者阶的关系。当然熟练者可以充分利用等价无穷小的替换把f()和G(x)分 别用某些等价无穷小替换成很容易观察的式子,然后一眼就可以看出来。下面举两个例题来 说明问题。 例题1:设函数1x)=si,9(x)=x+x,则当x→0时,)是9的: A.低阶无穷小;B.高阶无穷小;C.等价无穷小;D.同阶但是不等价无穷小 答案:[B] 分析:本题就是利用罗必塔法则,求极限lm(x),并利用极限lim5mx=1 2(x) 解:imn/(x) lim sin xxsin(I-cos x) 2sin xx(1-cos x)x cos(1-coS x =lim- sin(l-cos x) =lim x+x x +x im2-sx=lm2mnx=0,所以f(是g(x的高阶无穷小。也就是说fx)变化(趋向 小)的快。 例题2:设1(x有连续导数且(0)=0,f(x)≠0F(x)=(x2-1)/(减,当x→0时,F(x)与 x是同阶无穷小,则k等于多少?(k=2) 解:本题当然可以直接用求极限的方法得到,但是本题我想突出无穷小阶的运算性质 可以想如下方式考虑直接得到结果:由题意可知,x→>0是f(x)是X的1阶无穷小;又f(x)连 续→「f(x)是x的2阶无穷小,「0(0)m是x的3阶无穷小,x/()b是x的四阶无穷 小,于是F(x)是ⅹ的3阶无穷小,因此,当X→0是,F(x)是x的2阶无穷小。 (注意:本题是想让大家明白无穷小的一些运算性质。大家可以理解以下一些结论 设ⅹ→>0,f(x),g(x)分别为ⅹ的n阶和m阶无穷小,nm→f(x)+g(x)是ⅹ的n阶无穷小。 2设x)连续,x→>0时,x)是x的n阶无穷小→「(x)是x的n+1阶无穷小。 第10页 考研数学学习班组织委员会
考 研 数 学 学 习 手 记 系 列 第 10 页 考研数学学习班组织委员会 解 对于这类题 一定要分析左右极限 我把这题作为典型题是想提醒大家 x e 是非常容 易出左右极限的问题的 大家一定要关注 x e 的问题 1 1 1 1 11 11 lim ( ) lim 2 lim ( ) lim 2 0 x x xx xx fx e fx e ++ −− − − →→ →→ = = +∞ = = 所有极限不存在但是也不等于+∞ 4 无穷小阶的问题 首先要明确高阶 低阶 同阶 等价的基本概念 自己看书 这里不再重复 其实这个问 题是结合在求极限问题里面的 如果要你分析 f(x)和 g(x)两者阶的问题 你就是要得到 ( ) lim ( ) f x g x 的值 0 ∞ 实数 1 根据这些来判断两者阶的关系 当然熟练者可以充分利用等价无穷小的替换把 f(x)和 G(x)分 别用某些等价无穷小替换成很容易观察的式子 然后一眼就可以看出来 下面举两个例题来 说明问题 例题 1 设函数 f(x) 1 cos 2 0 sin , x t dt − ∫ g(x) 5 6 , 5 6 x x + 则当 x→0 时 f(x)是 g(x)的 A 低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶但是不等价无穷小 答案 [B] 分析 本题就是利用罗必塔法则 求极限 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 并利用极限 0 sin limx x → x 1 解 0 ( ) lim ( ) x f x → g x 22 2 45 34 2 3 0 00 sin sin(1 cos ) sin(1 cos ) 2sin (1 cos ) cos(1 cos ) lim lim lim x xx 3 4 x x x xx x → →→ xx xx x x × − − ×− × − = = ++ + 2 0 0 2(1 cos ) 2sin lim lim x x 3 4 38 x x → → xx x − = + + 0 所以 f(x)是 g(x)的高阶无穷小 也就是说 f(x)变化 趋向 小 的快 例题 2 设 f(x)有连续导数且 f(0) 0 ' 2 0 ( ) 0, ( ) ( ) ( ) , x f x F x x t f t dt ≠ =− ∫ 当 x→0 时 ' F x( ) 与 k x 是同阶无穷小 则 k 等于多少 k 2 解 本题当然可以直接用求极限的方法得到 但是本题我想突出无穷小阶的运算性质 可以想如下方式考虑直接得到结果 由题意可知 x→0 是 f(x)是 x 的 1 阶无穷小 又 f(x)连 续 0 ( ) x ⇒ f x dt ∫ 是 x 的 2 阶无穷小 0 ( ) x tf t dt ∫ 是 x 的 3 阶无穷小 2 0 ( ) x x f t dt ∫ 是 x 的四阶无穷 小 于是 F(x)是 x 的 3 阶无穷小 因此 当 x→0 是 F(x)是 x 的 2 阶无穷小 (注意 本题是想让大家明白无穷小的一些运算性质 大家可以理解以下一些结论 1.设 x→0 f(x) g(x)分别为 x 的 n 阶和 m 阶无穷小 n<m⇒f(x) g(x)是 x 的 n 阶无穷小 2.设 f(x)连续 x→0 时 f(x)是 x 的 n 阶无穷小 0 ( ) x ⇒ f x dt ∫ 是 x 的 n+1 阶无穷小