27世纪大学课程辅导丛书 高等数学 典型题 (第2版) 解法·技巧·注释 冬保武忠样毛怀遂一邸双亮 西安交通大学出版社
为学好高等数学,要做一定敷量的习题。在做数学练 习题时,不少人采用“套公式”的方法,这样,只有通过大量 的蛛习,才能获得一些数学知识很难学会分析问题和解决 问题的方法所以,“套公式”的方法是不可取的。本书力图 给读者展示另一种解题方法:从分析题目的条件与站论间 的逻辑关系入手,理清解题思路,再一步一步地做下去;遥 到需用的公式,自然地提取使用,这样能清楚地判断站论的 正确性。我们认为坚持这样的解题方法,不但能对所学知 识加深理解,还有利于培养教学的思雏能力。这就是我们 写这本书的目的。为此我们针对本程的内容精选和编制 了近千道典型题目,用上面所述方法作了解答,有些题目的 解法独特、新颖,多数题目在书的旁边,对该题解题愿路、技 巧作了注释。因此,解答的正文步骤较简略,希望读者在闻 读本书时能边看边推导,并能用我们介绍的一些方法和技 巧,去解答更多的题。最好主动地去想一些更好的解题方 法。 本书可作为高等数学的教学参考书,对报考硕士研究 生以及准备参加数学竞賽的数学爱好者,本书更有参考价 值 本书的第1章、第2章、第7章由毛怀递躺写;第3幸 和第8章由酃双亮編写;第4章、第5章第6章由武忠样 编写;第9章、第10章由龚冬保编写,最后由龚冬保毓稿 写这样的书,对我们来说也是个尝试,希望对读者有所启 发,但限于作者的水平,本书难免有蹴漏与不足之处,恳请 读者批评指正。 編者裏心惑谢陆庆乐教授,他仔辋地审校了全书,并提 出了许多宝贵的意见,感谢西安交通大学出版社的支持使 本书得以出版问世。 编者
录 第1章函數极限连 1.1客观题 (1) 1.1.1填空题… 1.1.2单项选择题 (3) 1.2非客观题……… (8) 1.2.1函数及其性质… …(8) 122数列的极限…………… ……(13) 12.3函数极限……… ……(30) 124连续函数……… …………………(41) 第2章导数与微分 2.1客观题………………… (50) 2.1,1填空题 50 212单项选择题 …(52) 2.2非客观题…………… 2.2.1导数的概念与性质… ,·,指,甲 ( 22.2导数的求法 2.2.3导数的应用… (75) 第3章导敢应用 3.1客观题… (79) 3.11填空题… 3.1.2单项选择题… ………(81) 3.2非客观题………… ………………(87 3.2.1微分中值定理 3.2.2函数的单训性、极值 ……(105) 323不等式… …(110) 324洛必达法则与未定型的极限问题……………………………(119) 第4章不定积分 4.1客观题… …(129) 4.11填空题… (129)
4.1.2单项选择题 ………(134) 4.2非客观题……… 4.2.1分项积分法 (135) 4.2.2换元积分法 (139) 4.2.3分部积分法…… …………(147) 4.24有理函数的积分 ·(156) 4.2.5三角有理式的积分 …(160 4.2.6无理式的积分……… ………(167) 4.2.7杂例…………… (169) 第5章定积分 5.1客观题……………………… ……(172) 5.1.1填空题…… …72) 5.1.2单项选择题 …………(176) 52非客观题……… (182) 52.1定积分的概念及基本性质 (182 5.2.2定积分的计算……… 5.2.3积分不等式…… ………s…………………(203 5.2.4杂例… (216 5.2.5定积分的应用…………… 52.6广义积分……………… (235) 第6章级数 6.1客观题… 重看 (240) 6.1.1填空题… (240) 6.1.2单项选择题………………………… (242) 6.2非客观题……… (245) 62.1常数项级数 (245 6.2.2幂级数 申·,非、由,专、番 (264 62.3傳里叶级数……………… (277) 第7章向量代数与空间解析几何 7.1客观题………… 7.1.1填空题 (283 7.1.2单项选择题… …(285) 7.2非客观题……… (286) 72.1向量代数… …(286) 72.2空间平面与直线………………………………………(292) 723空间曲面、曲线及其方程……(00)
第8章多元函敦微分学及其应用 8.1客观题 ……(306) 8.1.1填空题…… ∵(306) 8.1.2单项选择题 …(313) 82非客观题…… (314) 8.21重极限… (314) 822偏导数…… (318) 8.23多元函数的极值及应用………………………………(333) 第9章多元函数积分学 9.1客观题 339) 9.1.1填空题 (339) 9.1.2单项选择题…… (347) 92非客观题 ……(355) 9.2.1多元函数积分学的概念和基本性质…………… …(355) 922二重积分的计算方法… (360) 923三重积分与重积分应用…… …(374) 92.4曲线积分 …(386) 9.2.5曲面积分……… …(402) 9.2.6多元积分杂例…………………………………………………(414) 第10章常微分方程 10.1客观题…………… 10.1.1填空題……… (425) 10.12单项选择题 ……(427) 10.2非客观题 (431) 10.21一阶微分方程及可降阶的高阶徽分方程 (431) 102.2微分方程的应用… (442) 10.23线性方程 (450)
第1章函教极隈迹 1.1客观题 1.1.1填空题 11已知f(x)=snx,f[p(x)]=1-x2,则g(x)的定义域为 解依题意得snp(x)=1-x2,所以 注意-1≤snx P(a)=arcsin(1-x) ≤1 所以 √2≤x≤√2 12m(x+++n+2+2+…++nn)=号 解1因为 解1是利用夹逗 2+…+xn准则 n+1 2 2(n2+n+1) 解2则是用无穷 +n+n)=2(n2+n+1)= 小分析法 所以,原式 与是 n+K·n 解2lin K K K 等价无穷小故想 M+okai n+n+ K okai n'+n+K 到用兮代誉 面名是一号,及|点 K K n2+n+K ≤∑ +n+k) 是=2- K(n+K +n+K·而证 明它们差之和趋于 1-3 li (4 本则利用的是分 拆法其目的是求
原式=m[1+427+1310+…+3n-27n+工] 出前n项的和 如3[(-2)+(2-5)+(号请)++x23n+1 14=/1+2++2-1+2(1) 先求根号下的 和再将分子有理 解原式=lim./n(n+_/n(n-1) 化 lir V√n(n+1+√n(n-1 1slm(1+3x)而=_白6 利用重要极限 解原式=lm[(1+3x)3 注意解中的变彩方 146设lin(x+2a 此种变形法是求 8,则a=3ln2 这极限的有效手 解原式[(1+2.)(1+23 段 所以e"=8,a=3l2 17mnun(1+2)-sl(+2)2 利用等价无穷小 代换:当x→0时, 解原式=面[吗(1+2)]-m(1+1 sinz x, In (1+ =!ml(1+2)-ml(1+) 2 当x-0时 COS7 解原式=L1+(cx-1)n[1+(8x-1) 1)妈血1+(o
19已知当x→0时,(1+ax2)3-1与1-c8x是等价无穷小, 本测利用了对数 恒等式N 则常数a= 当x→0时,e 解依题意得 (1+a 1-c (1+ax2) fid1+ar) 1-c8x 所以a= (cx)2,x≠0 最数f(x)在xo 1-10已知∫(x) =0在x=0处连续,则处连旗台lmf(x) 解因为limf( e f(0)=a 所以 bx2,x≤0 1设f(x)={sk 在x=0处闻断,则常数a与 >0 b应满足的关系是a≠b 解因为 lim f(a )= lim (a br")=a f(0) lm(x)=如#=b 所以a≠b 11.2单项选择题 112设∫(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且它们可以构成复合函数利用奇偶画数的 ff(x),g[f(x)],爪g(x)],g[g(x)],则其中为奇函数的是() 性质可得
(A)|f[f(-x)] (A)f∫(x)](B)g[f(x)] f[ -f(r) (c)f[g(x)] (D)glg(x)] 八f(x)] 1-13设f(x 则f(-x)等于() 本影主要检查对 ≤0 雨囊概念罪的情 (A)f(-x)= cost x>0 况.从-x≤0及 x>0人手进行 (B)f(-x) 讨论 cosz, x0 x,x≥0 是学习导就和积分 则∫g(x)]=() (D)的一个重要环节, (A) 1-x,x≥>0()j1-x2,x<0 x2+2,x<0 定要熟练攝 2+x,x≥0 本要从复合函数 x2+2,x<0 (D) f[g(x)]的内层 g(x)开始讨论 解由g(x)≤0得x≥0时,g(x)=-x<0
所以x≥0时f[g(x)]=1+x 由 g(x)>0得x0 所以x<0时g(x)]=x2+2 1-16函数y=sn 的值域是(). 此题可看作求 函y=,x的 (A)[-1,1](B) —2当] 值,这样就把向 (c)01(D)[-号,] 则化了 解因为1+x2≥2|x 所以 故选(B) 117设[x]表示不超过x的最大整数,则y=x-[x]是() 是助爆 (B)题的孙力法 (A)无界函数(B)周期为1的周期函数 (C)单调函数(D)偶函数 解如图1.1所示 图1.1 1-18设数列x与y满足im(xyn)=0,则下列断言正确的是 (A)若x。发散,则yn必发散 木侧的关是利 (B)若x无界,则y必有界 用极限的运算法 (C)若x有界则y必为无穷小 (D)若1为无旁小,则y必为无穷小 解l=m[(x)
