§3.5函数的最佳平方逼近 用简单函数p(x)逼近一个给定区间a,b]上的连续函数f(x),是 函数逼近要研究的问题。度量逼近误差的标准有多种,本节只 介绍最佳平方逼近。 最佳平方逼近的概念 设函数组1(x),Q2(x)…,n(x)∈c{a,b]且在a,b上线 性无关生成空间Hn= span{n32…,gn}<cab 则p(x)∈Hn有 p(x)=∑c0,(x) 定义cab上的内积(f,g)=[p(x)(x)g(x)d p(x)为a,b上的权函数
§3.5 函数的最佳平方逼近 用简单函数p(x)逼近一个给定区间[a,b]上的连续函数f(x),是 函数逼近要研究的问题。度量逼近误差的标准有多种，本节只 介绍最佳平方逼近。 最佳平方逼近的概念 为 上的权函数。 定义 上的内积（ 则 有 性无关生成空间 设函数组 且在 上线 ( ) [ , ] [ , ] , ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ). ( ) , . , , , [ , ]. ( ), ( ), , ( ) [ , ], [ , ] 1 n 1 2 1 2 x a b c a b f g x f x g x dx p x c x p x H span c a b x x x c a b a b b a n i i i n n n = = = =
定义:对于给定的函数f(x)∈C{a,b,若p:(x)∈Hn满足 f-p'=(f-p, f-p) min(f-p,f-p P∈ H 则称p(x)为子空间H中对于f(x)的最佳平方逼近 b I=C-p, f-P o(x)f(r)-P(r)y dx=min s=20(x)f(x)-p(x)(x)x=0.,j=1:n ∑c(∫"p(x)(x)(x))=p(x)(x)(x
则称 为子空间 中对于 的最佳平方逼近。 定义：对于给定的函数 若 满足 ( ) ( ) min ( , ) ( , ) ( ) [ , ], ( ) * * * 2 2 * * p x H f x f p f p f p f p f p f x c a b p x H n p H n n = − − − = − − j n c x x x dx x f x x dx x f x p x x dx j n c I I f p f p x f x p x dx b a j n i b a i i j b a j j b a 1: ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ( ) ( )) ( ) 0, 1: . , ) ( )( ( ) ( )) min 1 2 = = = − − = = = − − = − = = （
(9,9)=an=m(x)12(x)(x)dk b,=(,)= p(x)f(x)o (x)dx 则得到 12 anc b 21 2n b C 注:常用多项式空间Hn=spmn{,x,x2,…,x)逼近函数f(x) 且选取spam,x,x2,…,x的正交多项式组o(x,(x)…,q,(x) 作为基构成P(x)=∑c(x所谓正交,即ⅵ≠有(2)=0
= = = = = = n n n n n n n n b a j j j b a i j i j j i i j b b b c c c a a a a a a a a a b f x f x x dx a a x x x dx 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 则得到 记 作为基 构成 。所谓正交，即 有 。 且选取 的正交多项式组 ， ， ， 注：常用多项式空间 ，逼近函数 , ( ) ( ) , ( , ) 0 1, , , , ( ) ( ) ( ) 1, , , , ( ). 1 0 1 2 2 = = = = i j n i i i n n n n p x c x i j span x x x x x x H span x x x f x
正交多项式及其在最佳逼近中的应用 设(x),1(x)…,φn(x)是区间[a,b上带权p(x)的正交 多项式,其中φ2(x)是最高次数项系数ak不为零的k次多项 式。则有性质: 1)0(x)有k(≥1)个互异的零点,且均在区间(a,b)内 2)相邻三项有关系 k+1(x)=2k+1 (x-ak)02(x)-06+k=10Dk1(x) (xok, u) k,vk k(O,9) k-1 下面介绍几种常用的正交多项式
正交多项式及其在最佳逼近中的应用 . ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 ( , ) ( ) ( ), ( ), , ( ) [ , ] ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 − − − − − + + − + = = = − − k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n x x a a a x x a a x x k a b x a k x x x a b x ）相邻三项有关系 ） 有 （ ）个互异的零点，且均在区间 内。 式。则有性质： 多项式，其中 是最高次数项系数 不为零的 次多项 设 是区间 上带权 的正交 下面介绍几种常用的正交多项式
1、区间[-上带权p(x)≡的正交多项式勒让德( Legendre)多项式: 2nnl d n[(x2-1)2] 2、区间-1带权P(x)=的正交多项式切比雪夫( Chebyshev) Tn(x)=cos(n arccos(x)),n=0, 1, 2 3区间0,∞)上带权p(x)=e-的正交多项式拉盖尔( Laguerre) Un(x)=ex(x"e-),n=0,2, 4、区间(-∞,∞)上带权p(x)≡e-的正交多项式埃尔密特( Hermite) Hn(x)=(-1)e2g 女,(e-x),n=0,2
H ( ) ( 1) ( ), 0,1,2, 4 , ( ) . Hermite) : U ( ) ( ), 0,1,2, 3 [0, ( ) . Laguerre) : T ( ) cos( arccos( )), 0,1,2, . Chebyshev) : 1 1 2 [ 1,1] ( ) 1,2, [( 1) ] 2 ! 1 ( ) L ( ) 1 1 [ 1,1] ( ) 1 . ) 2 2 2 n n n 2 2 2 0 = − = − = = = = = − − = = = − − − − − − e n dx d x e x e x e n dx d x e x e x n x n x x n x dx d n L x x x Legendre x n n n x x n x n n x x n n n n 、区间（ ）上带权 的正交多项式 埃尔密特（ 、区间 ）上带权 的正交多项式 拉盖尔（ 、区间 上带权 的正交多项式 切比雪夫（ 、区间 上带权 的正交多项式 勒让德（ 多项式：
函数按正交多项式展开 设φ,,…,是区间a,b上带权ρ(x)的正交多项式,则确定 f(x)最佳平方逼近(x)=∑c(x)系数的正规方程为 ai=(i, =ai= p(x)p (x)P, (x)dx=0, itj b=(,9)=)m(x)f(x)(x)k 0 0 b 00 (f,1) (91,91)
函数按正交多项式展开 , 0,1,2, , . ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 0, . 1 0 1 0 2 2 1 1 i n f c b b b c c c a a a b f x f x x dx a a x x x dx i j i i i i n n n n b a j j j b a i j i j j i i j = = = = = = = = = 的最佳平方逼近 系数的正规方程为： 设 是区间 上带权 的正交多项式 则确定 ( ) ( ) ( ) , , , [ , ] ( ) , 0 0 1 f x p x c x a b x n i i i n = =
例一:求f(x)=e在0,上的三次最佳平方逼近多项式 解:显然利用勒让德正交多项式适合,因此 f(x)=ex,x∈[0,1<f(t)=e05e05,t∈[-1, 对f()展开。 10(t)=1,L1(t)=t,L2(t)=0.5(312-1),L3(1)=0.5(5t3-31) 00 2 33 b=(f,L0)=34366,b=(f,L1)=0.5634 h2=(f,L2)=0.0559,b3=(f,L3)=0.0019 p(t)=1.7183+0.8301+0.06985(312-1)+0.0033(5t3-31 p(x)=1.7183+0.8301(2x-1)+0.06985(3(2x-1)2-1) +0.0033(5(2x-1)3-3(2x-1)
例一：求f (x) = e x在[0，1]上的三次最佳平方逼近多项式。 对 展开。 解：显然利用勒让德正交多项式适合，因此 ( ) ˆ ( ) , [ 1,1] ˆ ( ) , [0,1] 0.5 0.5 2 1 2 1 f t f x e x f t e e t t x t x = = − = + 0.0033(5(2 1) 3(2 1)). ( ) 1.7183 0.8301(2 1) 0.06985(3(2 1) 1) ( ) 1.7183 0.8301 0.06985(3 1) 0.0033(5 3 ) , ) 0.0019 ˆ , ) 0.0559 ( ˆ ( , ) 0.5634 ˆ , ) 3.4366, ( ˆ ( 7 2 , 5 2 , 3 2 2, ( ) 1, ( ) , ( ) 0.5(3 1), ( ) 0.5(5 3 ) 3 2 2 3 2 2 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 3 3 2 0 1 2 + − − − = + − + − − = + + − + − = = = = = = = = = = = = = = = − = − x x p x x x p t t t t t b f L b f L b f L b f L a a a a L t L t t L t t L t t t ，
2.8 2.6 红线为exp(x) 2.4 兰线为p(x) 2.2 1.8 1.6 12 0.2 0.3 0.5060.70.80.9