高等数学开 秦曾复余跃年、编著
内容提要 全书共分九章，内容包括：连续函数、微分演算、积分演 算、解析儿何、线性代数、多变量分析、数量场与向量场、无穷 级数、常微分方程该书在介绍传统教材基本内容的基础上， 在有关章节中穿插和充实进数学模型和数值计算的内容，反 映计算机时代的特征，体现现代数学的精神 该书可作为理工科大学高等数学课程的教材，也可供有 关科研人员和工程技术人员阅读参考
序言 读这本《高等数学讲义》的大学生将是21世纪的人才,因此可 以说,写于世纪之交的这本讲义是面向新世纪的 20世纪中叶,斯米尔诺夫院士的五卷本《高等数学教程》是 部具有历史意义的著作.50年代和60年代我们中国成千上万的 大学生读过这套救科书.由于它成书的时侯现代计算机尚未问世 更未普及,因而以它为模式鳊写的教材不可能反映计算机吋代的 特征 教材需要不斷更新.現代高等数学的教学内容应当具有这样 的持点:一、高等数学课程的目标是打下掌提和运用现代数学的基 础.如杲说解析凡何开创了数和形统一的新局面的话,那么现代数 学则更进一步地将分祈、几何、代数高度統一教材要反映現代数 学的这个特征。早期的高等数学课程只讲微积分不包括线性代数; 后来虽然讲统性代数,不过把它放在微积分后面单列一章,按照现 代数学的精神,线性代数应与多元函数的微分和积分,与解析几何 中二次曲线和曲面的分类紧密地结合起来、二、计算机对于数学及 自然科学和工程技术的作用越来越大,现代高等数学课程必须反 映这个时代特征.以N个未知量的线性代数方程组为例,传統的 讲法是克拉默规则,即每一个未知量的解表达成两个N阶行列式 的商,需要N量级的乘除工作量.对于大規模计算,这个工作量 是难以承受的.米用高斯消去法求解,只需N量级的乘除工作 .因此现在讲线性代数方糕组就应强调计算机上可行的高斯消 去法,淡化克拉默规则。三、各门科学和工程技术应用现代数学的 广度和深度突出地反映在数学模型上.没有数学模型,根本用不上 1
计算机;数学模型不精确,计算机也就发挥不了关键性作用,所以, 高等数学课程应充实数学模型和数值计算的内容,譬如在一元函 數微积分之后,讲一讲从开普勘行星运动定律到牛顿万有引力定 律的演算,这是科学史上最杰出的数学樸型之一;再者,从椭圓的 周长和摆的周期问题归结出两类椭圆积分,进而指出数值计算的 必要性.我们在躺写这本讲义的时候,努力休现这些特点 本书分成九章.幕一章为连续函数,第二章为薇分演算,第三 章为积分演算,第二章和第三章大体上就是一元函数微积分.在多 元分析之前,先讲第四章的解析几何和第五章的线性代数.只要有 需要又有可能,各拿内容相互穿插.例如在第一章讲数列之后就顺 势引出死穷蚁数,再如在第三章积分的最后一节将可以分离变量 的微分方程结合进来讨论,又如在第四章解析凡何的空问曲线一 节里运用向量值函数的导數写出切线方程,第六章的多变量分析 以及第七章的数量场与向量场是多元函數微积分的基本内容.雅 可比阵在表达导数、复合函数求导的鲢式规则和重积分的变量代 换诸方面起着重要作用,第八章的元穷蚁数中专辟一节讲快遠得 里叶变换,意在加强数学应用和数僬计算、理论联亲实际的观念 第九章为常微分方程,这可以说是数学還向自然科学和工程技术 的主要途径之一,这是因为大量的数学模型可归结为微分方程,大 量的微分方程需要数值计算 这份讲义作为两个学期高等数学课程的教材已在复旦大学理 科和技术学院几个寺业使用过三遍,定槁时又修改了一回.微请专 家和广大读者提出意见,以进一步改善这本高等教学讲义 曾复余跃年 1995年9月
目录 第一章连续函数…………… §1实数连续统 曲非日善自非。申。·甲曲命非非非·非·自非专节 §2数列极限………… s3无穷级数与数列………………………………28 §4函数极限…… §5初等函数的连续性……………………………57 s6闭区间上的连续函数………………………………71 第二章微分演算…………………………………………83 §1导数……………………………………………83 S2求导规则…………………………………92 83微分…………………·……………104 s4高阶导数…………………………………………111 §5徽分中值定理 s121 §6洛必达法则……129 §7泰勒展开及其应用……134 §8单调函数与凸函数……147 §9函数图形………162 §10牛顿-雷夫逊迭代…………………………………167 第三章积分演算…………………………………………173 §1黎曼积分… s173 §2原函数…………………………179 §3牛顿莱布尼茨公式………………………183 §4分部积分法…190
§5积分换元法………195 §6有理函数的积分………… 202 §7曲线的弧长………217 §8数值积分………………………………………225 §9反常积分…………… 235 §10面积的计算………………………………247 §11旋转体的计算………………254 §12可分离变量的微分方程… 263 第四章解析几何………273 §1万有引力定律…………………………………273 §2空间R3…………………………………………283 §3点积与叉积…………………………293 §4直线………303 §5空间曲线……………………………………310 §6平面…………321 §7二次曲面 “332 §8空间形体的描述 。看专即 346 第五章线性代数……………………………………352 §1线性空间 §2线性变换与矩阵… s362 §3线性代数方程组………373 §4行列式与逆阵…………381 §5本征值与本征向量… 396 §6二次型…………………………………………408 §7数值代数…… 000o404000000d84 427 §8线性规划………………………………441 第六章多变量分析…………………451 §1多元连续函数 ●非p 451
§2偏导数与全微分…………………458 §3方向导数与梯度……………474 §4泰勒展开……… 481 §5雅可比阵… 6函数方程组的牛顿雷夫逊方法………494 §7隐函数 496 §8曲面的切平面……508 §9坐标变换下的微分表达式……513 §10极值与约束极值………519 §11重积分 P看看D鲁,番D看D。。。申。非非非非曲 535 s12重积分换元法 §13反常重积分……………………………559 第七章数量场与向量场 s565 §1定常场 如卡非自自自鲁自自自自D血是即D自看 565 §2梯度与势函数…………………………………566 §3曲线积分…………………………569 §4格林公式……………………………579 §5曲面积分………………………………………591 §6高斯公式及散度………………………609 s7斯托克司公式及旋度…………………621 §8保守场…………………………………………630 §9戴尔算符……………………………637 §10恰当微分方程… …641 第八章无穷級数…………………………649 §1数项级数………………649 §2函数项级数 657 §3幂级数………………………………665 §4泰勒级数…………………………………671
§5傅里叶级数………………………678 §6傅里叶变换………………………………687 第九章常微分方程……………………………………697 §1方向场………………697 §2解的存在性与唯一性 704 §3一阶线性微分方程……………………709 §4可降阶的二阶微分方程 713 §5常系数二阶线性微分方程 720 §6线性系统…………742 §7幂级数解法…………………752 §8数值计算方法 756
第一章连续函数 这本高等数学教材的主要讨论对象是连续函数它反映了自 然界和工程技术中最广泛的一类连续变化现象 §1实数连续统 连续是怎么一回事?从人的认识来讲,连续与间断是对立的统 数学是从数量关系和空间形式上展开这个论题的 集合 现代数学中最基础的一个概念是集合.大家或多或少地已经 接触过集合这个概念集合理论的奠基人康托尔0认为:集合是我 们的直党或者我们的思维确定的各别对象成为总体的联合这 个一个有区别的对象称为该集合的元素 通常,用大写的英文字母标记集合,小写的英文字母指称元 素.一个集合S与它的某个元素x之间的根本关系是“x属于S”, 记成x∈S.如果y不是集合S的元素,则写成y∈S 数集有几个约定俗成的符号: 1.自然数集 N={1,2,3,…n,“} 2整数集 ①托尔( George Cantor,1845-1918),蕴国数学家
z={0,1,-1,2,-2 3.有理数集 Q={x{x=皇,其中p∈z且q∈N 4.实数集 R 在大家熟悉的十进制下,已知任何一个有理数必为有限位小 数(例如g=-1.125)或为无限位循环小数(例如= 0.142857)循此,我们可以把无限不循环小数理解为无理数,然 后,所谓的实数集R就是有理数和无理数的全体 我们将要指出,实数集与上面的自然数集、整数集不同,特别 与有理数集不同,它具有连续的特性.由此得名;实数连续统R 此外,还有一个特别的集合: 5.空集 它不包含任何元素瞢如, x|z2+1=0且x∈R}= 两个集合S和T称为相等如果它们拥有相同的元素,记成 S=T 例如 S={abc}和T={b,c,a} 于是S=T,此时元素出现的先后次序无关紧要 又如 S={x1x2-1=0}和T={x|x= costar,其中n∈N}. 这时成立S=T,即使它们在表达方式上不一样也无所谓, 两个集合A和B,称A是B的一个子集,如果A中的元素必 属于B