§12随机变量的重要分布 1.一维离散型随机变量的重要分布 (1)零-壹分布:如果一维离散型随机变量 X只取数值0和1,分布律为 PX=0}=1-p,PX=1}=p,式中的0p<1 则称X服从参数为p的零壹分布,记作 X~B(1,p) 数字特征EX→p,D(X)=p(1-p) 注意:B(1,p)的分布律又可记作 P{X=x}=px(1p)1,式中的x=0或1
§1.2 随机变量的重要分布 1. 一维离散型随机变量的重要分布 （1）零-壹分布：如果一维离散型随机变量 X只取数值0和1，分布律为 P{X=0}=1-p, P{X=1}=p, 式中的0<p<1， 则称X服从参数为p的零-壹分布，记作 X～B (1 , p)。 数字特征E(X)=p，D(X)=p(1-p)。 注意： B (1 , p)的分布律又可记作 P{X=x}= p x（1-p）1-x , 式中的x=0或1
(2)二项分布:如果一维离散型随机变量 X的分布律为P(X=x}=4-x) px(1-p)n-x, 式中的0<p<1,x=0,12,…,n,则称X服从参 数为p的二项分布,记作X~B(m,p) 二项分布是 Berno研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布 很显然,当m=1时,参数为p的二项分布便 是参数为p的零壹分布。 数字特征E(X=mp,D(X)=np(1-p)
二项分布是Bernoulli 研究重复独立试验所 引出的一个很重要的分布。 很显然，当n=1时，参数为p的二项分布便 是参数为p的零-壹分布。 数字特征E(X)=np，D(X)=np(1-p)。 (1 ) , !( )! ! { } x n x p p x n x n X P X x − − − 的分布律为 = = 式中的 0<p<1，x=0,1,2, , n ，则称X服从参 数为 p 的二项分布，记作 X～B (n , p)。 （2）二项分布：如果一维离散型随机变量
与二项分布有关的结论: ① Bernoulli大数定律:当X是n次重复独立试 验中某事件出现的次数,p是该事件出现的 概率时,X服从二项分布B(n,p)。 对于任意给定的正数E,总有 lim Pia-pksej n→0 此定律说明了频率的稳定性,即n充分大 时,频率在概率p的附近摆动,是用频率 作为概率的理论根据
1 {| − | } = → l im P p n X n 此定律说明了频率的稳定性，即n充分大 时，频率在概率p的附近摆动，是用频率 作为概率的理论根据。 ① Bernoulli大数定律: 当X是n次重复独立试 验中某事件出现的次数，p是该事件出现的 概率时，X服从二项分布B（n，p）。 对于任意给定的正数ε，总有 与二项分布有关的结论:
②B(1,p)与B(n,p):当X1、X2、…、Xn 相互独立且都服从B(1,p)时 Y=X1+X2+…+Xm服从B(m,p) ③可加性:当Y与Z相互独立且依次服从B (m,p)及B(m,p)时, Y+Z服从B(m+n,p) 证明:用到B(1,p)与B(m,p)及B(n,p)的关系 当X1、X2、…、Xm、Xm+1、Xm+2、…、 Xm+n相互独立且都服从B(1,p)时 Y=X1+X+…+Xm服从B(m,p) Z=Xm1+Xm+2+…+Xm+n服从B(m,p), Y与Z相互独立,Y+Z服从B(m+n,p)
证明：用到B (1, p)与B (m, p)及B (n, p) 的关系。 当X1、X2、 、Xm 、Xm+1、Xm+2、 、 Xm+n相互独立且都服从B (1, p)时， Y= X1+X2+ +Xm服从B (m , p)， Z= Xm+1+Xm+2+ +Xm+n服从 B (n , p)， Y与Z相互独立，Y+Z服从B (m+n , p)。 ② B (1 , p)与B (n , p): 当X1、X2、 、Xn 相互独立且都服从B (1, p)时， Y=X1+X2+ +Xn服从B (n , p)。 ③ 可加性: 当 Y 与 Z 相互独立且依次服从 B (m , p)及B (n , p)时， Y+Z服从B (m+n , p)
2.一维连续型随机变量的重要分布 正态分布:如果连续型随机变量X的分布密度 P(x)=k-expf-i( >0 时,称X服从参数为p及a2的正态分布, 记作X~N(u,a2) 当μ=0,a2=1时称X服从标准正态分布,记作 X~N(0,1)。这时X的分布密度 p(x)= 2丌 -00<X<∞
( ) exp{ ( ) }, 0 2 2 1 2 1 = − − x p x 时，称X服从参数为 的正态分布， 记作 X～N ( ) 。 2 及 2 , 2. 一维连续型随机变量的重要分布 正态分布：如果连续型随机变量X的分布密度 0, 1 2 = = ( ) , , 2 2 2 = 1 − − p x e x x 当 时称X服从标准正态分布，记作 X～N (0,1) 。这时X的分布密度
X的分布函数 0.1 x e 2 dx 2丌 为应用方便起见,在统计用表中有Fa1(x) 的数值表。 分布密度p(x) 分布函数F(x) X d 当X~N(0,1)时,它的分布密度是偶函数, 曲线y=p(x)关于y轴对称
X的分布函数 ( ) 2 , 2 2 1 0,1 − − = x x F x e dx 为应用方便起见，在统计用表中有F 0,1 (x) 的数值表。 o x 分布密度p(x) 分布函数F(x) x 当X～N (0,1)时，它的分布密度是偶函数， 曲线 y=p(x) 关于y 轴对称
在比较简略的统计用表中只有x0至 x=299所对应的Fa1(x)的数值。 分布密度p(x) 分布函数F(x) r O 当x>2.99时,Fa(x)=1; 当-x<0时,Fa1(x)=1-F(x) 当X~N(A,a2)时,Y=x-∠~M(0)
o x 分布密度p(x) 分布函数F(x) x 在比较简略的统计用表中只有x=0至 x=2.99所对应的F0,1 (x)的数值。 当x>2.99时，F 0,1 (x)≈1； 当- x< 0时，F 0,1 (- x)=1- F 0,1 (x)。 2 , Y ~ N(0,1) X − 当X～N ( ) 时， =
当X~N(,2)时,数字特征 E(X)=U, D(X)=02 当X~N(0,n)时,数字特征 E(X)=0,D(X)=1 计算如下: E(X)=xp(x)dx=mxe 2 dx=0 E(x2)∫2x2()=mx2∈2h 2 2 (=x)de2=0+1e2dk=1, 2丌 D(X)=E(X2)-(EY)2=1-02=1
2 , 当X～N ( 0,1 ) 时，数字特征 ( ) , ( ) ; E X = D X = 2 1 E(X) = 0,D(X) = 计算如下： ( ) ( ) 2 0; 2 2 1 + − + − − E X = x p x dx = xe dx = x + − + − − E X = x p x dx = x e dx x 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) + − + − − − = (− ) = 0 + 2 =1, 2 2 1 2 2 2 1 x de e dx x x 1 0 1 ( ) ( ) ( ) D X = E X 2 − EX 2 = − 2 = 当X～N ( ) 时，数字特征
与正态分布有关的结论: 1)背景:当某一随机变量取值的概率受到很多作用都 比较微小的、独立的随机因素的影响时,它的分布或者 是正态分布或者与正态分布相接近 2)中心极限定理:当随机变量X1、X2、独立同分布, 数学期望为有限数E(X),方差为非零有限数D(X), E(∑X2)=nE(X,D(∑X1)=mD(X,且n→>∞时, ∑XN(nE(X),mD(X),标准化随机变量 ∑X1-nE(X) nD(X) N(0,1)
1）背景：当某一随机变量取值的概率受到很多作用都 比较微小的、独立的随机因素的影响时，它的分布或者 是正态分布或者与正态分布相接近。 2）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布， 数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =nE(X)，D( ) =nD(X)，且 时， ～N (nE(X)，nD(X))，标准化随机变量 ～N (0，1)。 i Xi i Xi n → ( ) ( ) nD X X nE X i i − i Xi 与正态分布有关的结论:
与正态分布有关的结论: 3)中心极限定理:当随机变量X1、X2…独立同分布, 数学期望为有限数E(X),方差为非零有限数D(X) E(∑X;)=E(X),D(∑X)=-D(X),且n→>∞时, ∑X~N(E(X),D(X),标准化随机变量 ∑X1-E(X N(0,1 D(X)
3）中心极限定理: 当随机变量X1、X2、 独立同分布， 数学期望为有限数E(X)，方差为非零有限数D(X)， E( ) =E(X)，D( ) = D(X)，且 时， ～N (E(X)， D(X))，标准化随机变量 ～N (0，1)。 i Xi n 1 n → ( ) 1 ( ) 1 D X n X E X n i i − 与正态分布有关的结论: i Xi n 1 i Xi n 1 n 1 n 1