香港科技大学《基础数学》讲义之：基础代数学

基础数学讲义之 《基础代数学》 项武义 香港科技大学数学系

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目录 代序 绪论 0.1数系运算律 0.2代数问题和代数方法简介 0.2.1解代数方程式的基本原理和未知数符号之引入 0.2.2韩信点兵法,善用分配律的启蒙者 0.23向量代数与空间本质的线性化 0.2.4线性代数和轨尺作图 XXX 0.2.5研讨代数学的几个基本方法 0.3例题、习题与思考题 0.3.1数系运算律与数系扩张 0.3.2辗转相除法与算术基本定理 0.3.3多项式基本公式举例 多项式的基础理论 1.1多项式运算 1.2多项式函数 1149 1.3韩信点兵法和插值公式 1.4求和公式( Summation formula 1.5插值法与因式分解 二二项定理与泰勒公式 项定理( The bin 2.2泰勒公式与多项式的局部展开式 111

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2.3泰勒公式与局部分析 三多项式函数的微积分 3.1变率与微分 3.2总和与积分 日)2请拳量 代 43四阶行 基 五 基 的柒本性质与应用范例 73 5.14阶 的归纳定义 5.2斜对称性函数与行的界定定 53行 性质 5.4矩 基 5.4.1 港数 基港式 5.4.2 乘 54.3平 港 体 基 5.5行 的几个应用范例 94 几何图形的坐标方程 5.52行 与插值公式 5.53圆 线交点与求解四次方程 附录:城上的线性空间与域的\数扩张 107

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向量 与空质线性四4苏尺作图学5研讨学讨几个例、、义 精简慇考、扩愿张人、辗人相除 术术多项公举学1一之础1与精要 在函值9求个(-S纪u科a与t力在总oⅡ力F值居r主导成 因因u科5二是泰n勒27途u而Th5研个优c素质则是立n个7 局。部开u在F丶小学个素质5研FuTh图学5研二是启发脑力和培 训解析思维个主要学科。自古以9n它也一直是5导学生善r认识问 题、善I解决问题个最佳园地。相传在古希腊雅典柏拉图学院个门前 u曾书有线「不懂几何学开不得入」个字句。这其实就是当年个5研 家们对r图学5研个T局重要性个一种0认u图学是学习和研究科学 与a术不可或缺个T局工具。但是图学在科a和工程上个应用还只能 说是「小乘应用图学」u而Th图学在5研上个用场才是「大乘应用 图学」。在佛学F线「小乘独善其身u大乘普渡众生。」Th图学5 研二是普渡众生u成为善r认识问题、善r解决问题开个不二法门 显然u上述普渡众生个任务也给Th图学5研提出了高素质丶高效 力个要求u而这也就是我们从事图学5研个播种开与耕耘开u所要集思 广益丶钻研实践u才能克成其功开。今天我想和各位志同道合个新丶老 朋友们u从Th图学5研个局质和精要所在n9谈一谈如何把它5得精 简实用丶平实近人和引人入胜。我觉得唯有如因uTh图学5研才能 真正做到普渡众生u并且大幅度地提升Ⅱ民个思维素质和创造能力 现在u让我们从下列几点9讨论上述话题线

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Ⅰ.基础数学的源起与本质 概括地说’人类文明对于大自然的认知和理解的进化过程是由定性 层面向定量层面深化。例如先定性地认识到我们所在的大地乃是一个 大球·然後再进而估计和测量地球的大小。基础数学的起源就是上述 认知定量化的自然产物·而基础数学本身的进程则可以大体简述如下: (i)数系的构造与逐步扩充:例如自然数系、整数系和分数系;这乃 是算术的范畴。 i〕)由算术进步到代数的关键在于数系运算律的系统运用’亦即以通 性求通解。 i〕j几何学乃是人类对于其所在的空间本质的认知的逐步深化’其演 进过程大体如下 实验几何→定性平面几何→定量平面几何→立体几何→坐标解析 几何→向量几何0 iv)解析几何乃是代数与几何的自然结合。由此再产生研讨变量问 的基础理论——微分与积分—则是水到渠成、顺理成章的更上 层楼 现在让我们再来看一看上述基础数学的本质是什麼。归根究底·代数的 根本在于数的运算和运算律;几何的根本在于空间的基本结构和基本性 质,例如连结于两点之间的直线段乃是两点之间的唯一最短通路,这 就是空间的基本结构·而空间对于任给平面的反射对称性则是空间的 基本性质;微分和积分运算则是函数的「变率」和「求和」的解析表 述和有效计算·它们也就是分析变量问题的基础理论。总之它们的本 质都是精简朴实的·它们的根源都是自然而且富有直观内含的。其实 上述简朴丶平实丶近人的本质也就是为什麽基础数学教育,自古以 来一直是锻链脑力丶培养思维能力的「益智游乐园」σ因此’在基础 数学的教育中必须随时随地充分体现它精简实用丶平实近人的本质 才能发挥其启发脑力丶培训思维的功效’真正成为普渡众生的慈航

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Ⅱl精中求简丶以简御繁丶至精至简 基础数学的范畴·自然也随著科学文明的篷勃进展而逐步扩张。例 如在古希腊到了高级学府柏拉图学院才要求的几何学’,在现代已经成 为中学数学中,人人必学的基本学科。而且年轻的学生们还要同时学 习各种各样的其他学科。学生负担过重的确是现代教育中一个亟待宽 解的重大问題,而要减轻学生的负担则必须要简化教学题材!但是如 何把基础数学的教材简化呢?却又是众说纷芸丶莫衷一是。在这方面 基本上可以归纳为下述两种不同的方针和想法:其一是简略的简化法 其二则是「精中求简」。前者的思路是探讨如何对于基础数学的现 有题材作适当的加或减来达成简化课程;而後者的思路则是除了简略 所有枝节性的题材之外;还要对于基础数学的核心部分,在总体结构 上探讨精中求简的岀路。我觉得唯有做好精中求简的硏究才能真正提 高教学质量与2,,也唯有这样’才能3得基础数学泰学、好公、能 公、式局,部而达成减轻学生的负担 5三多于时项,且以数性的面几何和数量的面几何为例,简积4讨 3精中求简的一些1体变率 4鸱数性的面几何:数性的面几何所要研讨的线题是「全方程」和「的 组性」。在本质上’前者行是的面对于任给直线的反射对称性的1体 反映’而後者则是三角程的内角和恒方于一个的角所表达的「的直性 」。我们可以由S.A.S.叠合公理和上述「内角和」这样两个基本性质 为起点’引导学生去研讨方腰三角程和的组四边程的各种各样性质 然後让他们集思广益’共同研讨那些性质已经构成这两种基本图程的 特徴性质。亦即让他们自线4、自动4去发现下述两个数性的面几何 3证的基本工1 48方腰三角程的特徵性质:(如[图-寻所示) 8UA=CB(数义) li8∠A=∠B 每i8∠C的分角线CM垂直底边AB v8中线CM垂直底边

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(y)垂线CM平分顶角 B [图-1 (B)平行四边形的特徵性质:(如[图-2]所示) (1)AB∥DC而且AD∥BC (i)AB=DC而且AD=BC i)∠A=∠C,而且∠B=∠D (iV)AC和BD互相平分 (V)AB/DC而且AB=DC(或D/BC而且AD=B 图 接著引导学生逐步运用上述两个基本工具,一以贯之地论证丶解答所 有其他平面几何中的定理丶例題和习题。其实·等腰三角形的特徴性 质之间的转换是充分体现了对称性的具体用法,而平行四边形的特徵 性质之间的转换则是充分体现了平行性的作用和表现。这样的教学途 径’不但可以达成定性平面几何的精中求简·而且也使得学生逐渐学 会抓本质·和逐步体认在认知上的「以简御繁」 (2)定量平面几何:定量平面几何的基本定理和精要所在乃是三角形面 积公式、勾股定理和相似三角形定理。所以定量平面几何教学首务之

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要在于简明扼要地推导上述三者,然後引导学生把它们用来解答或论 证各种各样定量平面几何的问题。在这里,中国古算中善用面积公式 的创见’提供了既简朴又直截了当的途径’其具体做法是以长方形面 积等于长乘宽为起点,用熟知的割补推导出三角形面积等于二分之 底乘高。然後用[图-3]和[图-4,以面积计算推导勾股定理和直角三角 形的相似比 股定理 ab 出入相补 h h +h b+b b h 6+b h+h

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相似三角形定理的面积证法 证一]:出入相补所得之比例式 b+b h+ h 其实就是直角三角形的相似形定理。而一般的三角形均可用其垂线分 割成两个直角三角形。由此可见,容易结合上述比例式和勾股定理直 接推导一般的相似三角形定理。 证二]:用两种分割法计算[图-5]中的梯形面积 h h-h' B 图5 口BCCB=ah-aah,口BCCB=(h-h)(a+a) h′ a'h/ b △ a b 证三]:如[图-5]所示 △BB'C"=△CB'C(同底同高 →△ABC"=△AB'C △ABC△ AB'c b c b c 以上只是基础数学中精中求简的二个实例。其实’基础数学教育在各方 面精中求简乃是一个大有可为,值得全面探讨的课题。而这方面的探

Ï✌Ð✰Ñ✏Ò❃Ó✄Ô✥Õ✄Ö✓×✫Ø✮Ù✰Ú Û ÜÙ✠Ý❛Þ➼Ûàß❚á✥Ï✏â✩ã✺ä✏å❘æ❃ç✕è éëê✫é✃ì éì✆í îïê❃î➏ì îì ð✕ñ❛ò❘ó✓ô Ò✩Ñ✠Ò❀Ó✕Ö✥Ï✛Ð✏Ó✰Ô✌Õöõø÷✩Ý✺ù❅Ö✮Ñ✠Ò❀Ó✠ú✠û✓ü ð✓ý✏þ✛ÿ ￾✂✁☎✄✝✆ ô Ò✩Ñ✠Ò❀Ó✶õ✟✞✡✠✏û☞☛✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✘✗✂✙❘æ❛ç☛è✡✚✜✛✣✢✰Ô✌Õ ô ✤✦✥★✧ Ý❀ù✕Ö❀Ï✩Ð✰Ñ✓Ò❛Ó✠Ô✺Õ❳õ ÜÙ✪✩✥Þ➼Û ü ✄✬✫ ÿ ￾ Ú✮✭✘✯ Ü✱✰✳✲✵✴ Þ✷✶❴Ö✮✸✮Ó✕×✫Ø Û ✹ ✺ ✻ í ✻ì ✹ì ✺ì î➏ì î✽✼✫î➏ì ✾ î ì ✾ Ü✿✰❀✲✵✴ Þ ❁✏✹❂✺❃✺ì✹ì í ❄ ❅ ✾î✽✼ ❄ ❅ ✾ì îì❇❆ ❁✏✹❂✺❃✺ì✹ì í ❄❅❉❈ î✽✼✫îì❋❊ ❈ ✾ ê ✾ì●❊ ❍ î îì í ✾ ✾ì ❍ ■ ■ ì í ❏ ❑ ✾î ❏ ❑ ✾ì îì í ▲ ✾ ✾ì✱▼ ▲ î îì✱▼✥í ▲ ✾ ✾ì◆▼ ❑ ❍ ▲ ✾ ✾ì✱▼ ❑ í ▲ é éì◆▼ ❑ í ▲P❖❖ì◆▼ ❑ í ■ ■ ì ❍ ✾ ✾ì í é éì í ❖ ❖ì ÜÙ✄Ñ❃Þ➼Û❘◗ Ü✱✰✳✲✵✴ Þ ã☞❙✍✌ ■ ✹❂✹ì✺ì í ■ ✺❃✹ì✺ì ❚✷❯❲❱❳❯❩❨✒❬ ❍ ■ ✻✹❂✺ì í ■ ✻✹ì✺ ❍ ■ ✻✹❂✺ì ■ ✻✹❂✺ í ■ ✻✹ì✺ ■ ✻✹❂✺ ❍ é✃ì é í ❖ì ❖ ❭ ✗✪❪ ó❴❫✖❵✪❛✂❜ ✶❞❝☎✶✮❡✪❢❀Ö❣✩ ✆ ñ ç❳õ ð✄ñ ✌ ❫✖❵✪❛✂❜❣❤❥✐✣❦♠❧✂♥ ×✝❝❳✶✖❡☞❢❣♦ ó Ý ✆☞♣✔q û♠rs✌✉t✛ä★✈❘×❣✇✘①✰Ö✡②✪③ õø÷❩④ ♥ ×✛Ö✮✇ ⑤