第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 20 (1)1-4 (2)b a y x+y (3)a b c: (4)y x+y x y x 201 解(1)1-4-1=2×(-4)×3+0×(-1)x(-1)+1X1×8 0×1×3-2×(-1)×8-1×(-4)×(-1) =-24+8+16-4 4 b (2)b c a=acb+ bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a°-b-c (3)a b c=bc+ca+ab-ac2-ba2-cb a2 b =(a-b)(b-c)(c-a) y十 (4)x+yx x+ y J x(x+ y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y-(x+y)'-x 3cy(x+y)-y-3xy-3y4x 3-x3
1 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1） 1 8 3 1 4 1 2 0 1 − − − ； （2） c a b b c a a b c （3） 2 2 2 1 1 1 a b c a b c ； （4） x y x y y x y x x y x y + + + . 解 （1） = − − − 1 8 3 1 4 1 2 0 1 2(−4) 3 + 0(−1)(−1) + 118 − 01 3 − 2(−1) 8 − 1(−4)(−1) = − 24 + 8 + 16 − 4 = − 4 （2） = c a b b c a a b c acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc 3 3 3 = 3abc − a − b − c （3） = 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 bc + ca + ab − ac − ba − cb = (a − b)(b − c)(c − a) （4） x y x y y x y x x y x y + + + = x(x + y) y + yx(x + y) + (x + y) yx 3 3 3 − y − (x + y) − x 3 2 2 3 3 3 = 3xy(x + y) − y − 3x y − 3y x − x − y − x 2( ) 3 3 = − x + y
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1234; (2)4132 (3)3421 (4)2413 (5)13…(2n-1)24…(2n); (6)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:41,43,42,32 (3)逆序数为5:32,31,42,41,21 (4)逆序数为3:21,41,43 (5)逆序数为 n(n-1) 22 54 个个 74,76 3个 非。。·。。。。。·。。 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6 (2n-1)(2n-2) 个 (6)逆序数为m(n-1) 个 52,54 2个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2) (n-1) 42 个个 62,64 2个 (2n (2n)(2n-2) (n-1)个 3.写出四阶行列式中含有因子a1a23的项 解由定义知,四阶行列式的一般项为 (-1)a1na2na3nan2,其中t为P1P2P3P1的逆序数.由于n=1,P2=3 已固定,P1D2P3P4只能形如13口口,即1324或1342.对应的分别为 0+0+1+0=1或0+0+0+2=2 和a1a2a1④a12为所求 4.计算下列各行列式
2 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n − 1) 2 4 … (2n) ； （6）1 3 … (2n − 1) (2n) (2n − 2) … 2. 解（1）逆序数为 0 （2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 n(n − 1) ： 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 7 2，7 4，7 6 3 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2) (n − 1) 个 （6）逆序数为 n(n − 1) 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 ……………… … (2n − 1) 2，(2n − 1) 4，(2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2) (n − 1) 个 4 2 1 个 6 2，6 4 2 个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…， (2n) (2n − 2) (n − 1) 个 3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) p p p p t − a a a a ，其中 t 为 p1 p2 p3 p4 的逆序数．由于 p1 = 1, p2 = 3 已固定， p1 p2 p3 p4 只能形如 13 □□，即 1324 或 1342.对应的 t 分别为 0 + 0 + 1 + 0 = 1 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2 − a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 为所求. 4.计算下列各行列式：
1202 3-121 (2) 10520 1232 ae (3)bd dde;(4)/~1b10 0-1c1 解 2 4-12-10 1202c2-c31202 10520 7c31032-14 011 0010 22×(-1) 4+3 103-14 110 C+c 12 00-2=0 10314 171714 214 3-1 (2) 123 5062 506 12 2140 000 ab ac ae b c (3)bd -cd de =adf b
3 （1） 0 1 1 7 10 5 2 0 1 2 0 2 4 1 2 4 ； （2） − 5 0 6 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 ； （3） − − − bf cf ef bd cd de ab ac ae ； （4） − − − d c b a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 解 (1) 0 1 1 7 10 5 2 0 1 2 0 2 4 1 2 4 4 3 2 3 c 7c c c − − 0 0 1 0 10 3 2 14 1 2 0 2 4 1 2 10 − − − = 4 3 ( 1) 10 3 14 1 2 2 4 1 10 + − − − − = 10 3 14 1 2 2 4 1 10 − − 2 3 1 1 2 3 c c c c + + 17 17 14 0 0 2 9 9 10 − =0 (2) 5 0 6 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 − 4 2 c − c 5 0 6 2 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − 4 2 r − r 2 1 4 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − 4 1 r − r 0 0 0 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − =0 (3) bf cf ef bd cd de ab ac ae − − − = b c e b c e b c e adf − − −
adfbcel 1 11=abcd 100 0 1+ab a 0 1b10r+ar;-1b10 0 1 c 0 1+ab a 0 1+ab d +do (-1)(-1) 1+cd 0 1 d 0 10 =(-(-1)21+abad abcd+ab+cd+ad+1 5.证明 tb 6 (1)2aa+b2b=(a-b)3 ax+ by ay+ bz az+ bx ( 2)ay+bz az+bx ax+by=(a+b)y z x az+bx ax+by ay+b2 a+1)2(a+2)2(a+3) b2(b+1)2(b+2)2(b+3) 0 c+1)2(c+2)2(c+3) d2(d+1)(d+2)2(d+3) =(a-b(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)·(c-d)(a+b+c+d)
4 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − adfbce = 4abcdef (4) d c b a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 − − − 1 ar2 r + d c b ab a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 − − − + = 2 1 ( 1)( 1) + − − d c ab a 0 1 1 1 1 0 − − + 3 2 c + dc 0 1 0 1 1 1 − − + + c cd ab a ad = 3 2 ( 1)( 1) + − − cd ab ad − + + 1 1 1 = abcd + ab + cd + ad + 1 5.证明: (1) 1 1 1 2 2 2 2 a a b b a ab b + = 3 (a − b) ; (2) az bx ax by ay bz ay bz az bx ax by ax by ay bz az bx + + + + + + + + + = z x y y z x x y z (a b ) 3 3 + ; (3) 0 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4) 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) ;
10 0 0 x 0 (5) x"十a1x+…十a,1x+a a2+al 证明 b b-a (1)左边= 2a b-a 26-2a 0 b-a2 b2 b-a 26-2 b+ (a-b)3=右边 (2)左边按第一列叩+bzaz+bx +bz az+ b 分开az+bxax+例+bzaz+bxax+b z ax+by ay+b x ax+by ay+b +bz z az+b 分别再分 a'y az+ bx x+0+0+bz x ax+by x + by y ayt 分别再分 x y z y z x z x+bz x y yz +b 1)2=右边 a2a2+(2a+1)(a+2)(a+3) (3)左边 b2b2+(2b+1)(b+2)2(b+3) +(2c+1)(c+2)(Cc+3) d2+(2d+1)(d+2)2(d+3)
5 (5) 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a x a x x xn n n +− − − − − n n n n = x + a x + + a − x + a − 1 1 1 . 证明 (1) 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 a b a b a a ab a b a c c c c − − − − −− 左边 = b a b a ab a b a 2 2 ( 1 ) 2 2 2 3 1 − − − − = − + 1 2 ( )( ) a b a b a b a + = − − = ( a − b ) 3 = 右边 (2) z ax by ay bz y az bx ax by x ay bz az bx a + + + + + + 分开 按第一列 左边 x ax by ay bz z az bx ax by y ay bz az bx b + + + + + + + + + + +++ 0 0 2 z ax by y y az bx x x ay bz z a 分别再分 x y ay bz z x ax by y z az bx b +++ x y z z x y y z x b z x y y z x x y z a 3 3 + 分别再分 = 3 + 3 (−1)2 = 右边 z x y y z x x y z b z x y y z x x y z a (3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) + + + + + + + + + + + + + + + + = d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边
a22a+14a+46a+9 C2-c1b22b+14b+46b+9 c3-c1c22c+14c+46c+9 c4-c1d22d+14d+46d+9 4a+46a+9 14a+46a+9 按第二列、b2b4b+46b+9 4b+46b+9 十 分成二项 4c+46c+9 14c+46c+9 d2d4d+46d+9d214d+46d+9 4c 14a6 第一项 6c2b2b49b214b6b 0 4c 第二项 C C,-9e,d2 d 4 9 d2 1 4d 6d 0 d-a (4)左边= C-a b d-a b2(b2-a2)c2(c2-a2)d(d2-ai (b-a)c-ad-a)b+a Ca d+a 6(6+a)c(c+a d(d+a) (b-a)(c-a)(d-a) b+a d-b b(b+a)c2(c+a)-b(b+a)d'(d+a)-b2(b+a) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) (c'+bc+b)+a(c+6)(d2+bd+b2)+a(d+b) (a-b(a-c(a-d(b-c)b-d)(c-d(a+b+c+d (5)用数学归纳法证明
6 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 2 2 2 4 1 3 1 2 1 + + + + + + + + + + + + − − − d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 2 2 2 2 2 + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项 按第二列 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 2 2 2 2 + + + + + + + + + d d d c c c b b b a a a 4 9 4 9 4 9 4 9 9 4 6 4 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 d d c c b b a a c c c c c c c c − − − − 第二项 第一项 0 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 2 2 2 2 + = d d d c c c b b b a a a (4) 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a − − − − − − − − − 左边 = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( )( ) 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a + + + − − − + + + = (b − a)(c − a)(d − a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 2 2 2 b b a c c a b b a d d a b b a b a c b d b + + − + + − + + − − = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 c + bc + b + a c + b d + bd + b + a d + b = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) (5) 用数学归纳法证明
当n=2时n_x n2x+a/=x+a1x+a2,命题成立 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 D a1x"+……+an-2X+a 则D按第列展开: D=xD +a, c =xDn1+an=右边 所以,对于n阶行列式命题成立 6设m阶行列式D=de(an),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依 副对角线翻转,依次得 D 证明D1=D2=(-1)2D,D3=D 证明∵D= det(a) 21 1 11 =(-1)”(-1)"-2…(-1 n(n-1) D=(-1)
7 , . 1 2 , 1 2 2 2 1 当 时 2 x a x a 命题成立 a x a x n D = + + + − = = 假设对于 (n − 1) 阶行列式命题成立，即 , 2 1 2 1 1 1 − − − − − = + + + n + n n n Dn x a x a x a 则 按第1列展开: Dn 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) 1 1 − − − = + − + − x x D xD a n n n n = xDn−1 + an = 右边 所以，对于 n 阶行列式命题成立. 6.设 n 阶行列式 det( ) D = aij ,把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依 副对角线翻转，依次得 n n nn a a a a D 11 1 1 1 = ， 11 1 1 2 n n nn a a a a D = ， 1 11 1 3 a a a a D n nn n = ， 证明 D D D D D n n = = − = − 3 2 ( 1) 1 2 ( 1) , . 证明 det( ) D = aij n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a D 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) − = = − = − − = − − n n nn n n n n a a a a a a a a 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1) n nn n n n a a a a 1 11 1 1 2 = (−1) (−1) (−1) − − D D n n n n 2 ( 1) 1 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) − + + + − + − = − = −
n(n-1)11 n(-1) 同理可证D2=(-1)2 =(-1)2D=(-1)2D n-1) n(n-1) D3=(-1)2D2=(-1)2(-1)2D=(-1)mD=D 7.计算下列各行列式(D为阶行列式) (1)D 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; x a (a-n) H-1 a-n (3)Dn= n-n 提示:利用范德蒙德行列式的结果. 0 a,b, 0 c d (5)Dn=det(an),其中anp=-fi;
8 同理可证 n nn n n n a a a a D 1 11 1 2 ( 1) 2 ( 1) − = − D D n n T n n 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) − − = − = − D D D D D n n n n n n n n = − = − − = − = − − − − 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 7.计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式 ）： (1) a a Dn 1 1 = ,其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是 0； (2) a a x a x a x a a Dn = ; (3) 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 a a a n a a a n a a a n D n n n n n n n − − − − − − = − − − + ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n n n n n c d c d a b a b D 0 0 0 0 1 1 1 1 2 = ; (5) D a a i j n = det( ij),其中 ij = − ;
1+a (6)D,= 11+a2 ,其中a1a2…an≠0 解 (1)n00a 00按最后一行展开 000 a 0 000 0 a00 (-1)+0 00 +(-1)2n·a (n-1)(n-1) 再按第一行展开) +a"=a-a (a2-1) (m-2)(n-2) (2)将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 a-xx一a 0 x-a 00x 再将各列都加到第一列上,得
9 (6) n n a a a D + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ,其中a1a2 an 0. 解 (1) a a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 按最后一行展开 ( 1) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) − − + − n n n a a a ( 1)( 1) 2 ( 1) − − + − n n n a a a ( 再按第一行展开 ) n n n n n a a a = − − + − − + ( 2)( 2) 1 ( 1) ( 1) −2 = − n n a a ( 1) 2 2 = − − a a n (2)将第一行乘 (−1) 分别加到其余各行，得 a x x a a x x a a x x a x a a a Dn − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 再将各列都加到第一列上，得
x+(n-1)a x-a 0 0 0 =[x+(n-1)al(x-a (3)从第n+1行开始,第n+1行经过n次相邻对换,换到第1行,第n 行经(n-1)次对换换到第2行…经n+m-1)+…+1=叫+次行 交换,得 1 n(n+1)( a-n n+1 n-1 -n)-1 n”(a-1) a-n 此行列式为范德蒙德行列式 n(n+1) I(a-i+1)-(a-j+1) n(+1) n+(n-1)H++1 ∏(-川=(-1)2·( I(- n+12>l n+12i>2l (i-j) n+12i>≥l 0
10 x a x a x a x n a a a a Dn − − − + − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) [ ( 1) ]( ) 1 x n a x a n = + − − − (3)从第 n + 1 行开始，第 n + 1 行经过 n 次相邻对换，换到第 1 行，第 n 行经 (n − 1) 次对换换到第 2 行…，经 2 ( 1) ( 1) 1 + + − + + = n n n n 次行 交换，得 n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a n D ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 ( 1) 1 − − − − − − = − − − − + + 此行列式为范德蒙德行列式 + + + = − − + − − + 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) [( 1) ( 1)] n i j n n n D a i a j + + − + + + + + = − − − = − • − • − 1 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) [ ( )] ( 1) ( 1) [( )] n i j n n n n n i j n n i j i j + = − 1 1 ( ) n i j i j (4) n n n n n c d c d a b a b D 0 0 0 1 1 1 1 2 =
