基础数学讲义之二 《基础几何学之一》 定性与定量平面几何,立体几何基础论 项武义 香港科技大学数学系
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目录 0.1基本概念和基本结构 0.2平面上的次序与分隔 0.3对称性 0.4平行性 连结丶分隔与对称——定性平面几何 1.1等腰三角形的特徵性质 1.2定性平面几何中的常用基本事实 1.3例題和习題 15 二平行性与定量平面几何基础理论 2.1平行性和三角形内角和 22平行性、平行四边形和面积公式 2.3中国古代的定量几何 2.4不可公度性的发现与克服 2.5例題和习题 圆与三角学 47 3.1正弦、馀弦函数的基本性质 48 3.2三角定律 3.3习题 60 空间中的平行与垂直 4.1平直性与平行 111
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4.2对称性与垂直 4.2.1垂直平分线与平面上的反射对称 4.2.2立体几何中的作图题 4.2.3空间反射对称性与垂直投影
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引言—空间的基本概念与基本结构 几何学乃是人类理性文明’对于我们和大自然中的万物万象共存 于其中的空间的「认识论」。宇宙中的所有事物皆存在于其中、发生 于其内’当然也永远受著空间本质的制约与蕴育。几何学的课题也就 是去研究丶理解空间的本质’它是我们研讨大自然丶理解大自然的自 然起点和基石所在;它也是整个自然科学的启蒙者和奠基者,是理所 当然的第一科学。不论在自然科学的发展顺序上,或在全局的基本重 要性上,几何学都是当之无愧的先行者与奠基者,也是种种科学思想 和方法论的自然发祥地。它源远流长,历经数千年世代相承精益求精 的研究和逐步逐阶的进展,至今依然根深干粗’篷勃拙壮。在现今廿 世纪,它会继续是开拓新知的有力工具,而自然科学的拓展又必然 对于空间几何学的理解深度和广度提出新的要求和问题。总之自然科 学和几何学的进展是密切相关丶相辅相成的。伽利略( Galileo)曾说 「上帝必定是一个几何学家( God must be a geometer)°」其所指也许就 是上述自然科学和几何学之间的自然结合 自古到今’几何学的研究在方法论上大体可以划分成下述几个阶段 (1)实验几何:用归纳实验去发现空间之本质 (2)推理几何∶以实验几何之所得为基础’改用演译法’以逻辑推理 去探索新知’并对于已知的各种各样空间本质’精益求精地作系 统化和深刻的分析。在这方面,古希腊文明获得了辉煌的成就 它也是全人类理性文明中的重大篇章 (3)坐标解析几何:笛卡儿( Descartes)和费玛( Fermat)通过坐标系的 建立’把当代数学中的两大主角——几何学和代数学——简明有力
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地结合起来·开创了近代数学的先河。其自然而然的结果是微积 分的产生和大量地运用解析法研讨自然现象。 (4)向量几何:从现代的观点来看,空间最为根本而且控制全局的本 质乃是由它的所有保长变换所构成的变换群( transformation group) 通常又称之为3-维的欧氏群( Euclidean group of配)’而几何学 所研究者就是这个变换群的不变量理论( (invariant theory)。因为 所有几何量都根源于长度·所以必然在保长变换之下保持不变 反之’任何在保长变换群的作用之下保持不变的(亦即不变量 Invariants)也都具有几何意义,而且也一定根源于长度。向量几 何在本质上乃是坐标解析几何的返璞归真,它的最大优越性在于向 量运算的正交不变性( orthogonal invariance)。可以说’向量几何乃 是不依赖于坐标系的解析几何( coordinate-free analytical geometry) 它自然而然地化解了原先在坐标解析几何中,由坐标系的选取 所引入的各种各样(非几何的)非不变量的困扰! Hamilton和 Grassmann分别是3-维和高维的向量代数的创始者 0.1基本概念和基本结构 位置〔 location是空间的基本概念之中最为原始者。空间本身其实 就是宇宙之中所有可能的位置的总体。在几何学的讨论中,通常用点 ( point)来标记位置,所以点其实就是位置的抽象化( abstraction)。当 个动点( moving point)由一个位置移动到另一位置’其所经过的点组成 这个运动的通路(path)。连结于空间各地之间的通路则是空间基本概念 中第二个最原始者。再者,光线的普遍存在和我们的视觉很自然地启 我们’并促使我们认识到空间的基本结构乃是 连结给定两点之间的所有通路之中,有一条唯一的最短通 路——它就是连结两点的直线段。」 这也就是在我们日常生活的大气层内,或者在太空中,光由一点射向 另一点所经过的通路’亦即我们常见的光线( light rays))。再者,我们 常的经验是:若不受阻碍,光线是会一直向前无限延伸的。射线(ray) 这个基本几何概念就是上述这种可以无限向前延伸的光线的抽象化
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而空间中给定相异两点{A,B}所确定的直线则是由A射向B的射线 和由B射向A的射线的和集( union)。总结上述的讨论,空间的基本结 构可以描述如下 【基本几何结构】:对于空间给定相异两点{A,B}存在有唯一连结于 A,B之间的最短通路·称之为连结A,B的直线段( (interval),将以符号 AB表示之。再者由A到B的最短通路可以向前无限延仲,称之为由 A射向B的射线’将以符号AB表示之。而该线段向两端无限延伸的 通路,亦即AB∪BA,则称之为由{A,B}所唯一确定的直线( straight ine),将以符号AB表示之 B [图0-1 注]:点是最为原始的几何事物( geometric object),所有其他的几何事 物都是由点组合而成的。直线段和直线则是第二种最为原始的几何事 物·所有其他的几何结构和性质都是由它们所表达的基本结构来刻划 和表述的。 直线和直线段之间’显然有下述基本关系 直线上的次序与分隔 (1)AB是AB的一个子集。若C∈AB而且C≠A或B,则称C位 于A,B之间。再者,若C,D∈AB则CD∈AB i)直线上任给一点P把直线!分割成两段,称为P的两侧。属 于同侧的两点A1,A2其直线段A1A2不包含P:而属于异侧的两 点A,B其直线段AB则包含P 设{A,B,C}是C\{P}中的相异三点,而且P∈AB,则AC和BC 中有一且仅有一包含P。再者’由相异两点定一直线段(或一直线 这两种密切相关的空间基本结构’就可以自然地定义下述两种和两者 各别相容的子集 【定义】:空间中的子集S若满足性 若A,B∈S,A≠B则ABcS
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则称S为一个凸子集( convex subset)。 【定义】:空间中的子集S若满足性质 若A,B∈S,A≠B则ABcS 则称S为一个平直子集( straight or rectilinear subset)。 显然,所有平直子集也都是凸子集。但是,反之则不然。例如直线 段AB是一个凸子集,但是它并非平直子集,而直线AB本身则当然 是一个平直子集和凸子集 再者,由上述定义,易见凸子集的交集( intersection)还是凸子集 平直子集的交集还是平直子集。由此可见,对于空间给定的点集S 在所有包含S的凸子集之中有一个唯一的最小者,它其实就是所有包 含S的凸子集的交集是也·通常叫做S的凸包( convex hull of s)·我 们将以C(S)表示之。同样地’所有包含S的平直子集的交集乃是那 个包含S的平直子集中的最小者,通常叫做由S所张的平直子集(the rectilinear subset spanned by S),我们将以表示之 注意∶我们将把空集合φ和单点集合{P}想成凸子集和平直子集的特 例。(因为它们根本不会含有相异两点,所以其检验条件无从用起!) 【例子】 (1)当S={4}只含有单个点者则 C({A})={4},={4} (2)当S={A,B}是由相异两点组成者,则 ({A,B})=AB,=A (3)当S={A,B,C}而且A,B,C不共线,则 C({A,B,C}=△ABC 是由不共线三点所张的平面
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(4)当S={A,B,C,D}是由不共面四点所组成者,则 C({A,B,C,D}是以A,B,C,D为其顶点的四面体 它的四个面就是△ABC,△BCD,△CDA和△DAB, 而其所张的平直子集已经是全空间了 {A,B,C,D}>=全空间。 所以空间中的平直子集只有五种,即空集合φ’单点子集{P},直线 平面和全空间 由此可见’平面乃是仅次于全空间的平直子集,它是一种介乎于直 线和全空间之间·而又具有连点直线段和直线这种空间基本结构的子 空间。所以’平面乃是一种既比空间简单而又保有空间基本结构的几 何结构。平面几何学的课题就是研究平面上所保有的空间基本结构和 所反映的各种性质。它是进而研讨空间(立体)几何学的自然而且非 常理想的中途站 02平面上的次序与分隔 类似于点和直线之间的关系,在平面Ⅱ中的任给一条直线C也把平 面Ⅱ切成两片’称之为的两侧。居于同侧的两点A1,A2,其直线段 A1A2和C不相交:而居于异侧的两点A,B,其直线段AB和C相交 设{A,B,C}是Ⅱ\中的相异三点,而且AB∩≠,则AC∩和 BC∩C之中有一且仅有一为非空的。 上面所讨论的是平面在连结(亦即{A,B}→AB和AB)和次序分 隔上的基本结构和基本性质σ现在让我们再来探讨平面在这种基础之 上所具有的进一层的本质和基本性质,例如常见常用的长度丶角度丶 大小、形状等等。 由平面的分隔·即一个平面∏被其上的一条直线分割成两个半面 亦即Ⅱ\=HuH,我们将称之为对于C的两个开半面opn half-plane with respect to),而HU和H∪C则称之为对于C的闭 半面( close half-plane with respect to),易证它们都是凸子集。 证明留作习题]
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设{A,B,C}是不共线三点,Ⅱ是其所张的平面。令 H是对于直线BC的闭半面而且含有A者 H是对于直线CA的闭半面而且含有B者 H是对于直线AB的闭半面而且含有C者 则凸子集∩∩H(如[图0-2所示)就是一个以A,B,C为其 顶点的三角形·通常以△ABC表示之 [习题:试证它正是{A,B,C}的凸包。] [图02 在几何学的研讨中’三角形是仅次于直线段和直线的基本几何图形 而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中充分体现 三角形之所以成为古希腊几何学所研讨的主角’其原因也就是:三角 形既简单而又能充分反映空间的本质。 大体上来说,空间的本质最为基本者就是前面已经讨论的连结丶分 隔再加上对称性’平行性和连续性。 0.3对称性 在平面几何的范畴来说,平面对于其上每一条直线皆成反射对称 用现代的术语来说·平面Ⅱ上对于直线C的反射对称是一个从Ⅱ到∏ 的映射(亦称为变换)9:Ⅱ→Ⅱ,它把C的点固定不动,把不在C的 点如P点映射到P点使得PP和C正交于PP的中点,如[图0-3] 所示
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