基础数学讲义之四 《基础分析学之一》 单元微积分学 项武义 香港科技大学数学系
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目录 引子 导论 0.1自然数系 0.2整数数系 x 0.3有理数系 .xvi 0.4实数系 xvii 0.5复数系. .xix 一实数系和函数的连续性 1.1实数系的连续性 1.2连续函数的基本概念 1.3多项式函数 11411 1.3.1多项式的唯一性定理与插值公式 1.3.2单元多项式的除法与辗转相除求公因式 15 1.3.3 Sturm定理 17 1.3.4代数基本定理 .19 二微积分 29 2.1变率与微分 .29 2.2总和与积分 .38 2.3微积分基本定理与均值定理 .43 三指数及对数函数 59 3.1指数、对数函数的定义与基本性质 59 i
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3.2指数函数与对数函数的微分 64 3.3自然对数表的计算法 67 3.4复变数指数函数和三角函数 69 3.5复利与指数函数 71 四初等函数及其应用举例 4.1多项式函数 4.1.1n-阶密切多项曲线 4.1.2高阶局部逼近与不定式之极限 4.1.3插值问题的推广 4.2三角函数与反三角函数… 4.2.1圆的对称性与正弦、馀弦函数的基本性质 4.2.2三角定律与极坐标…… 4.2.3等速圆周运动与正弦、馀弦的微分 5590888889 4.2.4等周问题(Isoperimetric Problem) 4.2.5 Kepler行星运行三定律及其数理分析. 4.2.6三角函数的积分计算 96 4.2.7反三角函数及丌的近似值计算 97 4.3常系数常微分方程 101 4.3.1算子符号 .101 4.3.2p(D)=(d-)k的情形,∈C .102 4.3.3p(D)是一般的情形 .104 4.3.4p(D)y=g(x)的解法 .106 五欧氏几何、球面几何和非欧几何的统一理论 109 5.1非欧几何的发现过程及其历史意义 .110 5.2发现非欧几何学的思路与突破点 .112 5.3欧氏、球面与非欧三角定律的统一理论 .115 5.4旋转面的解析几何. .122 5.5旋转Gauss面的曲率和 Gauss-Bonnet-公式 .135 5.6结语 .143 5.7思考题与习题 .145 结语 151 iv
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引子 人类生存的地球·比之于无限的宇宙实乃无比的渺小;而自古至今 人类的理性文明只不过数千年’比之于地球上几十亿年的生命历史又是 无比的短暂。但是人类得天独厚’具有几十亿年逐步进化而得—奇妙 超群的脑力;再者·人类还能善用天赋的脑力·创造语言与文字’使得 全人类的聪明才智不但能够群策群力丶集思广益’而且还能世代相承 精益求精·创造了博大精深的理性文明。作为一个现代人,我们不但 具有天赋的脑力·而且还承继了数千年来全人类的聪明才智,世代相 承探讨研究的成果’总称之谓理性文明( Civilization of rational mind) 它使得每一位肯学丶肯想的人生·大大地拓展了其能够理解的时空 综观自古至今的理性文明’历代的先智先贤用来探索宇宙的基本思 想和方法其实是既自然又朴实的,大体上可以简述如下 先用归纳法·师法自然,实事求是。例如观测天象,纪录昼 夜之长短·四季的变化等等。然後再用解析思维把实验探索 所得的各种各样认知加以综合丶演绎’逐步由定性到定量 由表象到内在结构·精益求精地研讨大自然中万象万物的基 本结构和基本原理。 总之,实验归纳和综合演绎乃是两种相辅相成交互进展的科学方法, 而数理分析( Mathematical analvsis)则是後者的基本方法和有力工具 分析学的基础理论也就是如此产生的。我们将在往後章节中简明扼要 地讨论数理分析在人类理性文明中产生的过程和其所扮演的角色 在我们开始逐章逐节作系统硏讨之前·且以一个既清晰简朴又具有 历史意义的范例’来对于数理分析的本质和要点作一初步解说。那就
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是远在纪元前三世纪 Eratosthenes(约276-194B.C)所达成者:人类对 于地球大小的首次定量估算。 话说当年, Eratosthenes乃是古希腊文明後期中心所在地 Alexandr 的图书馆馆长’他是一位精通当时的天文地理的博学之士。首先,当年 业已由月蚀·航海的观察得知我们所居住的大地乃是一个大球;而且太 阳和地球之间的距离要比地球和月亮之间的距离还要大许多倍。总之 同时照射到地球上各地的太阳光基本上就是平行光线。再者,他还 知得人们在 Alexandria正南方尼罗河出山口的 Syene(现今的 Aswan 的一口深井·观察到夏至正午的太阳光可以直射井底’不留任何井壁 的阴影。换言之,在 Syene夏至正午的太阳光乃是垂直于该井的水平面 者也。但是在 Alexandria的夏至正午的阳光’则和井壁大约有而周角 (亦即7.2度)的夹角。当年 Eratosthenes大概就用如下图所示的图解 把上述几个天文地理的知识加以综合分析。 他以一个圆表示过 Alexandria和 Syene的经圆( (longitudal circle) 以两条平行线表达分别照射在 Alexandria和 Syene的夏至正午的阳光。 从上述简明扼要的抽象表述’就可以用熟知的几何知识推论以下几点 其一是过 Syene的光线垂直于球面’所以其延长线乃是过球心O者 也。其二是由平行线和 Alexandria-球心联线的内错角相等得知∠AOS 也等于而周角。由此可得整个经圆的周长大约是 Alexandria和 Syene 之间的距离的50倍 Eratosthenes这位老先生并没有去实地测量上述两地之间的距离。他 只是去市集向往来于 Alexandria和 Svene之间的骆驼商队,询问他们 共要走几天才能由 Syene走到 Alexandria’而且每天大约能走多少希腊 里( Stadia他就将询问所得的天数(50天)和每天的里程(100 Stadia)
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得出下列经圆圆周长度的估计,亦即 50×50×100=250,000( Stadia 这就是人类对于其所生存的地球大小的第一次定量估计。 假如要把它和现代测算的地球大小作个比较’当然就要把希腊里 ( Stadia)和公里( kilometer)的长度作一换算。在这里有一个小小的疑案 Stadia者’乃是当年运动场( Stadium)的跑道的长度是也。但是目下馀 留的古希腊运动场的跑道却有两种长短不一的长度。总之·以较长者 来换算则其估计比实测要大些’而以较短者来换算则其估计比实测要 小些,而相去都在10%之内。 如今回顾 Eratosthenes在两千多年前,能够把当时所知道的天文 地理和几何知识’用简朴的图解加以综合分析’一举而得数量上相当 准确的地球大小的估计·它实在是人类以数理分析去理解大自然 个杰出的典范。世世代代理性文明的继承者’不但应该以怀古之情瞻 仰它’而且更要从中学习其用法’获得数理分析的启蒙启发
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导论—一数系和数系的扩张 数理分析是我们由表及里’定量地深入研讨大自然的重要方法,而 分析学( Analysis)也就是为了有效运用数理分析去理解大自然而发展起 来的一门数学。当所要研讨的事物还是相当简单初等者,其相应的各 种各样定量问題往往是初等的代数问题和几何问題,例如复利的计算 平面测量等等。但是当所要研讨的问题逐渐深入’逐步拓展,就自 然而然地超出了初等代数和初等几何力所能及的范畴,例如天体的运 行丶曲线曲面的研究丶弦的振动等等。其实·分析学远是在初等代数 和初等几何为纪元,前三者Er起来,更ato而发展起来的sh是 en各种各样动(事物约数理分析的重要2具,而其76的纪元理 1在n4数的微分丶积分和连所达的成者及其纪7定理。:也就是为 人麼通对前分析学纪元-于地微积分的球由。 代数和几何的纪元’归小研的远是建次在数量和 种纪7E 话说a。估。远是我们和年,万物乃存n其古者,是大自然所希腊的 s而数量1是文类理达後成为了更期中者地定量研讨事物所话心的 「计量A体量,1在说是文的创心。在定量几何学定量地研讨估。7 的讨一说古’前者和後者1自然而然地Er在一起,相书相馆 最球长的数量就是我们用来数个数(他u通n为的自然数量 -na通 ral num bers),然後逐步已由而月蚀数量(sy通m-n递无rs) 有理数量(sm-a通 mal numbers)、实数量(sys递m- <real numbers) 和复数量(ys递m-他m知们 numbers)。通对分住在个、z、而、且、太 表阳a和数量,1a和逐步已由问距)(e们 nsi-ms)就1在用比和亮还 许Z许而许且许太 简多地表倍说
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我们首先将对上述逐步扩张而构造的一连串数系作一次归本究源的 结构分析。唯有对数系结构的来龙去脉了然于心,才能在运用它们作 各种各样定量分析丶探索自然时得心应手 0.1自然数系 自然数系是人类为了数个数( counting)这样一种原始而且基本的 「定量化」而创造的体系。例如有一位牧羊人要知道其羊群的个数 或当古人发现月亮的圆缺变化是一种周而复始的事情·自然就想统计 下其周期的天数等等。虽然各古文明所用的符号和体系不同,但是 其本质都是一串逐一相连的符号体系,例如 二三 4 其中第一个符号表示「单元」,是一只羊,一个人或一棵树的抽象化 而後继符号则表示比前述所表达者再增添多一个单元,亦即 2=1+1,3=2+1,4=3+1,5=4+1 101=100+1,102=101+1,…,如此类推 由此可见’自然数系最为原始丶基本的结构就是「+1」运算。在自然 数系这一串顺序排列的符号体系中,後继者就是前者「+1」之所得 所以任何一个自然数都可以由1起始’逐步「+1」而得之(其实这就 是我们构造自然数系的方法)。 把上述事实改用「数学化」的集合用语来描述,即为 【数学归纳法原理】( Principle of Mathematical Induction):一个自然数 系的子集SCN若满足下述两个条件 (0.1) (i)1∈S,(i)n∈S→n+1∈S S其实就等于N 自然数系之所以有用丶好用是因为它具有满足交换律、结合律和分 配律的加法和乘法运算,这都是大家所熟知常用者。假如有人问你或
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者你自问:「为什麽那些运算律总是成立的呢?」此问显然不能用: 实例的计算从来没碰到不成立的情形’所以应该是成立的」’或者是 人云亦云地:「大家都说它们总是成立,所以我也相信它们是对的 等等作为解释·因为自然数的个数是无限,而实例计算所能验算者只 是很小、很小的 试是我的们这 谂毅柔 算的运算律的以数成立是理析 题定此掣量然深从 第研的讨大自亦然本的重说方定 研的本的法是「而」运算的复Ⅱ定例a「而」表是1「而(」做两 符)“2就所代有的意效重的运用,「而3」表是1「而」做展i的 用,「而来而(。」表是当「而」所事做 论 「而」者也定还此相见 克效 简而来而(°初而一而( 种实表是禾研的样问题效式定所者代述的玉研运Ⅱ律所和述者 残荨 衔而几而一初简而机而 表是对简例作几i「而」然如复利所作 「而(」,种运用也表是 对简作讥而一i「而」,还此相见和研运n律的引数成立是平观面 显的定它改用数但化的用逐渐格式说步拓,则是代样问是我动哪行 缆孩定 三E自和运1律重:衡面雨几而一初而面一定 面:对更at箴几’样问我面h式对更所e自然数一(成立定 我 救一初(约,衔而几而(初简机而(表是和的样问题效式定 还样问2具衔而几而一初简而 崙而几而来而(初[衔而几而一而 研样问题效式在 初「而汎而一而 问2具在 初简而[而一而( 样问题效式在 初简而[几而来而( 样问题效式在微 复利积我们所用样问研来我面研连所律定 三B自禾阡连所律重:简而b初b而简定 我面:例用样问研我面简而(初(而简
à✲áãâ✖äæå✣ç❳è✭é✌ê✺ë☛ì✌í✞î✭ï✛ð✲ñ✙ò✎ó✄ô✌õ÷öùø➏ú✛ä✙û✙ü✞ý✄þ✲ÿ å ç ✁✄✂ ô✆☎✞î✆✝✟✞✡✠☞☛✟✌✙ý❈ò✌ó✲ô✎✍✑✏✓✒✕✔✗✖☞✘✡✙✺ñ✼ò✌ó✌ô✺ø✚✒✜✛⑨à✎ñ ✢✤✣✦✥✧✣✩★ å✣ç✫✪✭✬✯✮✦✰✲✱✴✳❙ð✲ñ✙ò✎ó✓✒✵✔✲✖✎✶✸✷✺✹✸✻✤✱✴✳❂ñ✽✼☛ô✣ø ✾✸✾✡✿ è✺❀✡❁❂✒❄❃➏è➺â ü✧❅✺ô✺❆✧❅✺ñ✭❇✧❈❉✒❋❊ ✁✴✂ ☎☛î✡✔✛þ✆●✣î✙à■❍ ñ✎❏▲❑◆▼❖❏P❑✙ô✧◗✡❘✭❙❚✒✜✔✲✖✯❯❱▼❋❲✞í✞î✄ô✌í✞î✙ï✣ô✑❳✦❨✄ò✎ó✄ñ❬❩✑❭ ❯▲✖✆❪✧❫✛ô❵❴❖❛✧✷✧❜✠ñ✽✶✡✳❬✔❬❭✽❝✸❪✛ô✸❞✺❆✑❡✸❢❱❣✇ú■❤❥✐✥ü❧❦✸✝✸❯✲♠ ♥ ❲✸♠✌ô❧♦✭♣rq ✥✺s❧t✦✉✇✈ ✰✧①❵❣ ❯✗♠✭ô t✧✉✑② ñ ç④③⑥⑤➲ø✥í✭î✲ô✡⑦✴⑧⑨❣ ✂✺⑩ ç④③✜❶➷ø✄❜✄ñ❸❷ ç❹③⑥⑤➲ø❻❺✤❼ ❽ q❿❾❬➀➂➁➃❶➅➄➆✔✸➇✧➈✺ô✸➉✧➊ ✈ ô✺➋✦➌➍✒❙ç➎③✵➏ ø➐❜☛ñ✆❷ ç➑③⑥⑤➲ø✄❺✟➒ ❽ ô ➋✸➌➓✒❙ç➎③❋➔➣→↔③❧⑤➙↕ ø➐❜☛ñ✸➛ ç➜③❖→❄ø✴➝➟➞✄❺■◗ ❽ ç➎③⑥⑤➲ø à✸✷❉❣➆➠⑨ú✸➡✭➢ ➤ ③✑➔➣→➥③❧⑤➙↕➧➦✦➔ ➤ ➔➩➨➭➫➯❶➲↕ ③✯→④↕④③❧⑤ ➳ ✁ ❜☛ñ✆❯✤♠✌ô■➵✆➸✸➺✸➊✧➻◆❣➼➝✙à✦➽✺➾✎ô✆❯➟♠✽➋✩⑧✌ï ✔✡➚✭➾✙à å ➔ ➤ ③✯➪➶↕④③✯→❄➦ ➤ ➔➩➨➭➫ ➏➹↕ ③✑➔➣➪✦③✯→④↕ ❜✠ñ✽✼ ➤➐➘ ✿ ➪ ❽ ç➑③⑥⑤➲ø✼ü✩➴✦➷✭➬✦➝ ✿ → ❽ ç➑③⑥⑤➲ø➮✒ ➳ ➋✦➌✽✷✧❜✠ñ ✼ ➤ ✿ ➔➣➪❬③❸→④↕ ❽ ç➑③⑥⑤➲ø➱✒✃➠✼ú✭➡❬➢✴❯✲♠✡➋✑⑧✞ï✣ô✑❳✦❨✎ò✎ó✄ñ✸❐✽❒✟❮ û✆ô❰❣✫❷✤✱✽Ï✙ÿ✩❅✦Ð✆Ñ✺ô✙ÿ✯Ò✤Ó❸Ô✗➻❸✰✭Õ■Ö➱✒Ø×✙ñ✽➽✽➾✗➵❸➸✩❪✽❫Ù➔➣ÚÜÛÞÝßÝáà â➹ãåäçæÜèÜéÜêìë➃ä Ýæ ↕✕❣ í ➺✩î❉➨➭➫ï⑤➑ð➍q④❯➟♠✡➋❧⑧✲ï ✈ åñ➔ ➤ ③✯➪➶↕④③✯→❄➦ ➤ ③✑➔➣➪✭③✯→④↕✕❣ ❫➟❮ å✫✼✸ò✩ó✭ô ➤öõ ➪÷✒å➵✴➸✩❫➟❮✎ø■➻❧✼✦ò✽✔✧ù â✷ü✡❅ú→✺û✥ò✞ó➍❣ ➔ ä ↕✃→❄➦✺⑤➶üú✒Ø➔ ➤ ③✯➪➶↕➜③❧⑤ñ➦ ➤ ③✑➔➣➪✦③❧⑤➙↕ñ❜✺ñ✆❯✤♠✌ô✟➵✴➸✸➺✦➊✺➻❰❣ ➔ äçä ↕✯➠✦➵✴➸✩ý✡þÿ➔ ➤ ③✯➪➶↕④③✯→❄➦ ➤ ③✑➔➣➪✦③✯→④↕❖✒ ×✩ù ➔ ➤ ③✯➪➶↕④③✑➔➣→➥③❧⑤➙↕✫➦ ✁ ➔ ➤ ③✯➪➶↕➜③✯→✄✂ ③❧⑤ ☎❯➟♠❬➵✆➸✧➺✦➊✧➻✝✆ ➦ ✁➤ ③✑➔➣➪✦③✯→④↕✞✂ ③❧⑤ ☎ ➵✆➸❧ý✺þ✟✆ ➦ ➤ ③ ✁ ➔➣➪✦③✯→④↕④③❧⑤ ✂ ☎❯➟♠❬➵✆➸✧➺✦➊✧➻✝✆ ➦ ➤ ③ ✁➪✦③✑➔➣→↔③❧⑤➙↕ ✂ ☎❯➟♠❬➵✆➸✧➺✦➊✧➻✝✆✡✠ ➷✦➬☞☛✭✶✑✳❬➝✄ÿ✟➵✴➸✭♠✧✞✴❫➟❮✯❯➟♠✍✌✏✎✎ï✓❣ í ➺✩î❉➨➭➫➯❶ ð➍q④❯➟♠✍✌✏✎✎ï ✈ å ➤ ③✒✑ ➦☞✑❿③ ➤ ❣ ❫➟❮ å ➘ ÿ✟➵✴➸✭♠✆❫✤❮➍➔ ä ↕ ➤ ③❧⑤❖➦✺⑤ ③ ➤ å ✓ä
(1)a=1时,1+1=1+1是显然的 (2)由归纳假设a+1=1+a,则有 (a+1)+1=(1+a)+1 归纳假设] 1+(a+1) 结合律 然後再由归纳假设a+b=b+a证明 i)a+(b+1)=(b+1)+a 其证明如下 a+(b+1)=(a+b)+1 结合律] (b+a)+1 [归纳假设] b+(a+1) [结合律] b+(1+a)=(b+1)+a 现在让我们来分析一下乘法的本质。乘法其实是自相加的缩写 「m·a」就是m个a自相加的总和(所以1·a=a) 因此(m+1)·a所表达者就是比m·a再多 a。由此可见,乘法 的归纳定义式就是 1·a=a,(m+1)·a=m.a+a 再者,乘法的左分配律 (0 m·a+n.a=(m+n)·a 就是说把m个a自相加的「总和」和n个a自相加的「总和」再加起 来’其实就等于(m+m)个a自相加的总和。此事亦为直观上极为明显 者’下面我们给它作一次归纳的证明。 注意]:在尚未证明乘法交换律之前分配律是有左、右之分别的。其 实·乘法交换律的证明是要在左丶右分配律都证得之後才能证得者 【定理0.3】(乘法的左分配律):m:a+m:a=(m+m)·a 证明∶对于任给m,a’归纳证明上式对于所有自然者η你自立
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