基础数学讲义之三 《基础几何学之二》 向量几何,解析几何与球面几何 项武义 香港科技大学数学系
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目录 五向量几何和向量代数 5.1位移向量的基本性质 5.2位移向量的运算律 87 5.2.1相似三角形定理和位移向量的倍积 .2.2勾股定理和位移向量的内积 5.2.3面积的勾股定理和位移向量的×-积 5.3结语 5.4例題、习题和思考题 105 六坐标解析几何简介 111 61正交坐标系和平面(或空间)的坐标化 112 6.2直线和圆,平面和球 116 6.3圆的反射对称;共轴圆系和共轭等轴圆系 七球面几何和球面三角学 131 7.1单位球面的基本性质 7.2球面三角学 八圆锥截线的故事 159 81圆柱截线和圆锥截线 159 82圆锥截线的光学性质 83圆锥截线和二次曲线 64 8.4坐标变换和不变量 165 8.5五点定一「二次曲线」和六点共在 次曲线」的条件17 8.6 Pascal定理和 Pappus定理 172 111
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87 Kepler行星三定律 8.8由 Kepler定律到牛顿万有引力定律 181 89圆锥截线例题,极与极线
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第五章 向量几何和向量代数 空间结构的系统代数化 在空间中由A到B的有向直线段AB其本身就是A、B两点所标记 的两个位置之间的差别( difference between the locations of a and B)的具 体化描述:而位移向量( displacement vector)则是将这种「位置差别」 加以定量化所定义的基本几何量。它的本质内含是AB的方向和长度 换句话说’当两个有向直线段AB和AB为同向平行而且等长时 两者所表达的位移向量定义为相等。另一方面,空间中的平移变换把 空间中每一个点作同向等距的移动·由此可见位移向量本质上就是平 移的另一种表达。总之’位移向量和平移是同一事物的两种观点 者7Ke其所表达的位置移动’而後者则7Ke它是空间一种p殊的 1长变换 行狂律19由的到牛顿万 椗定义引烟空间中的一个变换截线题,极 v截v)和Q截恒为同向平行而且等长 则称截为空间的一个平移( (translation) 椗定理5.1引力设A,B为空间中任给两点,则存在一个唯一的平移截 使得截A)=B(我们将以截A,B)记之)
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第五章,向量几何和向量代数 证明:先证存在性 若A=B,则恒等变换即为所求者。 若A≠B,令Ⅱ1,∏2分别是和直线段AB正交于A和M(M是 AB的中点)的平面,则9m209mn1这个反射对称的组合即为所求者。 设P是空间中任给一点,r是上述所作的平移,而r则是一个将 A映射到B的平移,我们所要证明者是r(P)=(P)°由所设Pr(P, P(都和A彦同向平行而且等长因为过P点和AB平行的直线是 唯一存在的,所以r'(P)=T(P)。由于P是任给的,所以了和是同 个变换 【定理5.2】:设π,π2是空间的两个平移,则201也是一个平移 而且T20T1=71072 证明:在此我们将采用简约符号A=n1(4),A"=72(4)=7207(4) 由所设,对于空间任给两点A,B恒有 和BB.A4和BB 各别同向平行而且等长’而我们所要证明者则是A4和BB也必然同 向平行而且等长。其证明如下 A' 图5-1] 如[图5-1]所示,连结AB,AB和A"B。由平面几何中熟知的平 行四边形特徵性质可见 □ABBA4和□AB'B"A 两者都是平行四边形,所以 A和AB,AB和平B 基础几何学之
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5阏B有移向量线运段律 都是同向身就而是等长,即桪祀位标差,是同向身就而是等长线,f 此□标记记差是一n身就cb形。所w就证h了标位记遮d是 同向身就而是等长线,S即n20T化是-n身移。 述证:他π2移們0T化 令标移n,v有标槨位标癱同向身就而是等长。同理 了标标d是一n身就cb形,即有标搓位标杯差同向身就而是等 长,所w 他T2移T移标差多7207 而标是义间基何 s即T他位0丁化是相同线质内。 万 禾长换句话号说;长换当述位次′无关线身移组为T他72移0T化平 T且位挞),另改一话号T{面T2变示且。述把,每後作距另改 一动此可见上母总a律事{行等变示有移向量。ep殊1话号 Tr星)or记移Tn记oπn记星移Tn星就三w见定a面事移物 把椀面谜移棒。 伷由到牛顿万话号有,作距引力等质内殊n圆锥线身移了截改一线例变 示,f平,极基与身移丌,力有τ截π移π0π截移,而殊ⅡV实牛顿万 话号有即平 线面a移a面线移a 述把椀(s即Tn记)线逆质内就是谦(s即m记标),而是有 T标记oTn记标移T移Tn标oTn标记) i面谦移桸移移谛面标) 所w记-柳移(即-r记移π畝标),s即 ma)面a移线移a面mra) 5.2位移向量的运算律 牛当一节所长换线有移向量线顿万运段,显然具有有述熟悉线运段 律 基础几与学且二
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第五章,向量几何和向量代数 交换律 a+b=b+a 结合律 a+b)+c=a+b+c) 注]∶因为一般的变换组合都是满足结合律的,而位移向量的加法是定 义为平移的组合,当然也会满足结合律。再者,由 (AB+BC)+CD=AC+CD=AD AB +(BC +CD)=AB+BB=AB 亦可以直接验证位移向量的加法结合律。 零和可逆性氵以0表示恒等变换这个特殊的平移·(-a)表示和a互逆 的平移,则有 0+a=a+0=a和a+(-a)=(-a)+a=0恒成立 注]:平移和[定理5,2的证明都和空间中的「平行性」( parallelism)以 及平行四边形定理密切相关的。而交换律a+b=b+a更可以想成是 平行四边形定理的向量表述形式。由此可见’往後我们每次运用向量 加法交换律,其实也就是对于所研讨的几何问题用了一次平行四边形 定理 5.2.1相似三角形定理和位移向量的倍积 一个数a的整数倍n·a其实就是n个a相加的总和。同样我们也 自然地把η个(位移向量)a相加的总和定义为倍积n·a,亦即 +a,(n+1)·a=n·a+a 由上述位移向量的整数倍的定义·容易直接验证下列运算律·即 m·a+n·a=(m+n).a (i)m.(n·a)=(mn 基础几何学之
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5.2.位移向量的运算律 i)n:(a+b)=na+n·b 对于任给整数m,n和任给位移向量a.b恒成立 习题:试用归纳法验证(i),(i)和(i)°] 设a=AB≠0,我们可以把AB作n等分,令{B,1≤i≤(n-1)} 为其等分点,则有 ABi= B1 B2 B;B;+1= Bn-1B,n·AB 由此可见,我们应该把·a定义为AB1,因为它是那个满足n:x=a 的唯一解。再者皿·a的定义应该就是 a= n m1·a 这样’就可以把位移向量的倍积由整数倍扩张到有理数倍。而且上述 扩张法是唯一能够使得下列运算律依然成立者’即 P i 7(q m 1z:(a+b)=n:a+元b 最後一步,让我们来分析一下位移向量的实数倍应该如何定义。设入 是一个非比实数(亦称为无理数) AB。令B"是直线AB上那 个唯一的点使得有向长度之比 AB: A 入.a应该定义为AB,因为它是唯一能够使得下述比较原则成立者 设入介于两个有理数四和2之间而且AB=mAB AB=2A,则B*亦必介于B,B"之同。」 基础几何学之二
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第五章.向量几何和向量代数 而运用上述比较原则和 Eudoxus夹逼原理即可验证上述所定义的实数 倍的倍积也满足同样的运算律,即 (f")A.a+p·a=(A+p) (i")A.(·a)=()a (iii)A(a+b)=Aa+A b 对于任给实数A,μ和位移向量a,b恒成立。 [注]:放大丶縮缩小这种相似变换是空间中常见常用者,而平面几何中的 相似三角形定理则是关于相似变换的基本定理。在此’值得注意的是 倍积分配律k·(a+b)=k·a+k·b的本质就是上述基本定理的代数化 形式(参看[图5-2]) 令a=AB 则a+b=AC。如团图5-2]所示 a+ aB B △ABC~△ABC,A=A而且k是其相似比,则AB=k-a,BC=kb, AO=k·AC=k(a+b) 52.2勾股定理和位移向量的内积 个位移向量AB=T(A,B)含有方向和长度这样两种本质,我们将 用符号|al表示其长度,以∠a,b)表示两者的方向之差,亦即两者之间 的夹角。在平面几何学的研讨中,三角形是既精且简的基本图形’用向 量来表达三角形’则它的三个有向边就可以分别表达成a,b和a+b 由平面几何中所熟知的S.S.S.叠合条件可见夹角∠a,b)业已被其三边 基础几何学之
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