第四章向量组的线性相关性 1.设v=(1,1,0)2,V2=(0,1,1),v 4,0)y, 求v1-v2及3v1+ 解v1-v2=(1,1,0)-(0,1,1 =(1-0,1-1,0-1)=(1,0,-1) 3v1+2v2-v3=3(1,1,0)+2(0,1, (3,4,0)7 (3×1+2×0-3,3×1+2×1-4,3×0+2×1-0 (0,1,2) 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)其中a1=(2,51,3) a2=(10,1,10),a3=(4,1,-1,1),求 解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 a=2(3a1+2a2-5a3)=3(23)+2(10,5,10)-5(4,,-1,1) (1,2,3,4) 3.举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1,a2…,an是线性相关的则a1可由a2,…an,线性表示 (2)若有不全为0的数λ,气2,…,n使 A1a1+…+nan+A1b1+…+nbn=0 成立,则a1…,an线性相关,b1,…bn亦线性相关 (3)若只有当1,2,…,无n全为0时等式 1a1+…+mm+b1+…+λnbm=0 才能成立则a1,…,an线性无关b1,…,bn亦线性无关 (4)若a1,…,an线性相关,b,…,bn亦线性相关则有不全为0的数, λ,,2,…,使a1+…+几nam=0,气b1+…+几bn 同时成立 解(1)设a1=e1=(1,0,0,…,0) a =( 满足a1,a2,…,an线性相关但a1不能由a2,…,an,线性表示 (2)有不全为零的数λ,2,…,n使 气a1+…+nam+A1b1+…+nbn=0 原式可化为
1 第四章 向量组的线性相关性 1．设 T T T v (1, 1, 0) , v (0, 1, 1) , v (3, 4, 0) 1 = 2 = 3 = , 求 1 2 v − v 及 3 1 2 2 3 v + v − v . 解 1 2 v − v T T = (1, 1, 0) − (0, 1, 1) T = (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1) T = (1, 0, − 1) 3 1 2 2 3 v + v − v T T T = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) T = (31 + 2 0 − 3, 31 + 21 − 4, 3 0 + 21 − 0) T = (0, 1, 2) 2．设 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 其中 T a (2,5,1,3) 1 = , T a (10,1,5,10) 2 = , T a (4,1, 1,1) 3 = − ,求 a 解 由 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 整理得 (3 2 5 ) 6 1 a = a1 + a2 − a3 [3(2,5,1,3) 2(10,1,5,10) 5(4,1, 1,1) ] 6 1 T T T = + − − T = (1,2,3,4) 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 a a am , , , 1 2 是线性相关的,则 1 a 可由 , , a2 am 线性表示. (2)若有不全为 0 的数 m , , , 1 2 使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 成立,则 a am , , 1 线性相关, b bm , , 1 亦线性相关. (3)若只有当 m , , , 1 2 全为 0 时,等式 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 才能成立,则 a am , , 1 线性无关, b bm , , 1 亦线性无关. (4)若 a am , , 1 线性相关, b bm , , 1 亦线性相关,则有不全为 0 的数, m , , , 1 2 使 1a1 ++ mam = 0,1b1 ++ mbm = 0 同时成立. 解 (1) 设 (1,0,0, ,0) a1 = e1 = a2 = a3 == am = 0 满足 a a am , , , 1 2 线性相关,但 1 a 不能由 , , , a2 am 线性表示. (2) 有不全为零的数 m , , , 1 2 使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 原式可化为
A1(a1+b1)+…+n(am+bn)=0 取a b 其中e1,,en为单位向量,则上式成立而 a1,…,an,b1,…,b均线性相关 (3)由孔1a1+…+nan+1b1+…+见nbn=0(仅当1=…=n=0) →a1+b1,a2+b2…,an+b线性无关 取a = 0 取b,…,b为线性无关组 满足以上条件但不能说是a1,a2…,an线性无关的 (4)a1=(1,0)a2=(2,0)b=(0,3)b2=(0,4) λ1a1+2a2=0→A1=-2λ2 b+2b2=0→A子}→=2=0与题设矛盾 4.设b=a1+a2b2=a2+a3,b=a3+ab4=a4+a1,证明向量组 b1,b2,b3,b线性相关 证明设有x1,x2,x3,x使得 x,b,+x,b,+xb+x,,=0 y x1(a1+a2)+x2(2+a3)+x3(3+a)+x4(4+a1)=0 (x1+x4)1+(x1+x2)a2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=0 (1)若a1,a2,a3,a线性相关则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1=x1+x4;k2=x1+x2;k3=x2+x3;k4=x3+x 由k1,k2,k3,k4不全为零知x1,x2,x3,x4不全为零,即b,b2,b,b线性相 关 +x4=0 001x (2)若a1,a2,a3,a线性无关则+x2=01100x2=0 +x3=00110x x2+x1=0(001 100 由 =0知此齐次方程存在非零解 0110 则b1,b2b3,b线性相关 综合得证
2 1 (a1 + b1 ) ++ m (am + bm ) = 0 取 m m bm a1 = e1 = −b1 ,a2 = e2 = −b2 , ,a = e = − 其中 m e , ,e 1 为单位向量,则上式成立,而 a am , , 1 , b bm , , 1 均线性相关 (3) 由 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 (仅当 1 == m = 0 ) a + b a + b am + bm , , , 1 1 2 2 线性无关 取 a1 = a2 == am = 0 取 b bm , , 1 为线性无关组 满足以上条件,但不能说是 a a am , , , 1 2 线性无关的. (4) T a (1,0) 1 = T a (2,0) 2 = T b (0,3) 1 = T b (0,4) 2 = + = = − + = = − 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 4 3 0 0 2 b b a a 1 = 2 = 0 与题设矛盾. 4．设 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,b = a + a ,证明向量组 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 证明 设有 1 2 3 4 x , x , x , x 使得 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 = 0 则 x1 (a1 + a2 )+ x2 (a2 + a3 )+ x3 (a3 + a4 )+ x4 (a4 + a1 ) = 0 (x1 + x4 )a1 + (x1 + x2 )a2 + (x2 + x3 )a3 + (x3 + x4 )a4 = 0 (1) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性相关,则存在不全为零的数 1 2 3 4 k ,k ,k ,k , k1 = x1 + x4 ; k2 = x1 + x2 ; k3 = x2 + x3 ; k4 = x3 + x4 ; 由 1 2 3 4 k ,k ,k ,k 不全为零,知 1 2 3 4 x , x , x , x 不全为零,即 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相 关. (2) 若 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性无关,则 + = + = + = + = 0 0 0 0 3 4 2 3 1 2 1 4 x x x x x x x x 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 4 3 2 1 = x x x x 由 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 = 知此齐次方程存在非零解 则 1 2 3 4 b ,b ,b ,b 线性相关. 综合得证
5.设b=a1,b2=a1+a2,…,b=a1+a2+…+a,且向量组 a1,a2,…,a,线性无关证明向量组b,b2,…,b,线性无关 证明设k1b1+k2b2+…+kb=0则 (k1+…+kn)a1+(k2+…+k,)a2+…+(kn+…+k,)n+…+k,an=0 因向量组a1,a2,…,a,线性无关故 k1+k2+…+k=0 k1)(0 k2+…+k=001 1‖k 0 k,=0 0 因为 =1≠0故方程组只有零解 0 则k1=k2=…=k=0所以b1,b2,…,b线性无关 6.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: 25311743 11221 759453132 0215-1 759454134 203-13 25322048 25311743 25311743 759453132/2-3 n|0123 解(1) 759454134 方0 25322048Jh-n(0135 25311743 0123 r-20013 0000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组
3 5．设 b1 = a1 b2 = a1 + a2 br = a1 + a2 ++ ar , , , ,且向量组 a a ar , , , 1 2 线性无关,证明向量组 b b br , , , 1 2 线性无关. 证明 设 k1b1 + k2b2 ++ krbr = 0 则 (k1 ++ kr )a1 + (k2 ++ kr )a2 ++ (k p ++ kr )a p + + krar = 0 因向量组 a a ar , , , 1 2 线性无关,故 = + + = + + + = 0 0 0 2 1 2 r r r k k k k k k = 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 kr k k 因为 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 = 故方程组只有零解 则 k1 = k2 == kr = 0 所以 b b br , , , 1 2 线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) 25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 ; (2) − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 . 解 (1) 25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 4 1 3 1 2 1 3 3 ~ r r r r r r − − − 0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 2 3 25 31 17 43 3 2 4 3 ~ r r r r − − 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 2 3 25 31 17 43 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组
02 (2) 1301 25= 0215 13 0-2-1-51 00-22-2 阝分>F4 000 200 2 2520 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 7.求下列向量组的秩并求一个最大无关组: 2 (= 10 8 (2)a1=(1,2,1,3),a2=(4,-1,5,-6),a3=(1,-3,-4,-7). 解(1)-2a1=a3→a1,a3线性相关 12 由a 9100104~108219-32 2-42 8 0000 秩为2,组最大线性无关组为a,a2 4-1-5-6 0-9-9-18 1-3-4-7 0-5-5-10 0-9-9-18 0000 秩为2最大线性无关组为a1,a 8.设a1,a2,…,an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1,2,…,en能 由它们线性表示,证明a1,a2…,an线性无关 证明m维单位向量e,e2,…,en线性无关
4 (2) − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 4 1 3 2 1 ~ r r r r − − − − − − − − 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 4 3 2 ~ r r r r + − − − 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 ， 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1) − = 4 1 2 1 1 a , = 4 10 100 9 2 a , − − − = 8 2 4 2 3 a ; (2) (1,2,1,3) 1 = T a , (4, 1, 5, 6) 2 = − − − T a , (1, 3, 4, 7) 3 = − − − T a . 解 (1) 1 3 1 3 − 2a = a a ,a 线性相关. 由 − − − − = 2 4 2 8 9 100 10 4 1 2 1 4 3 2 1 T T T a a a − − 0 0 0 0 0 82 19 32 1 2 1 4 ~ 秩为 2,一组最大线性无关组为 1 2 a ,a . (2) − − − = − − − 1 3 4 7 4 1 5 6 1 2 1 3 3 2 1 T T T a a a − − − − − − 0 5 5 10 0 9 9 18 1 2 1 3 ~ − − − 0 0 0 0 0 9 9 18 1 2 1 3 ~ 秩为 2,最大线性无关组为 T T a1 a2 , . 8．设 a a an , , , 1 2 是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 n e ,e , ,e 1 2 能 由它们线性表示,证明 a a an , , , 1 2 线性无关. 证明 n 维单位向量 n e , e , , e 1 2 线性无关
不妨设 k1④1+k +k,a k,1a1+k,a,+…+k,a en=kn1a1+kn2④2+…+kman 12 k1 所以 k 两边取行列式,得 ku k 由21≠0→|≠0 knI k 即n维向量组a1,a2,…,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,…,an线性无关 9.设a1,a2,…,an是一组n维向量证明它们线性无关的充分必要条件 是:任一n维向量都可由它们线性表示 证明设6,E2,…En为一组n维单位向量,对于任意m维向量 a=(k1,k2,…,k)则有a=E1k1+E2k2+…+Enkn即任一n维向量都 可由单位向量线性表示 必要性 →a1,a2,…,an线性无关,且a1,a2,…,an能由单位向量线性表示,即 1=k1E1+k12E2+…+k1nE C,=k,E,+k,E,+…+k,,E, Cn=kn1+kn,E2+…+kn,E atk k k 故 kk en 两边取行列式,得
5 不妨设: n n n nn n n n n n e k a k a k a e k a k a k a e k a k a k a = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 所以 = T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得 T n T T n n nn n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 2 1 2 1 T n T T T n T T a a a e e e 即 n 维向量组 a a an , , , 1 2 所构成矩阵的秩为 n 故 a a an , , , 1 2 线性无关. 9．设 a a an , , , 1 2 是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一 n 维向量都可由它们线性表示. 证明 设 n , , , 1 2 为一组 n 维单位向量，对于任意 n 维向量 T a k k kn ( , , , ) = 1 2 则有 a k k nkn = + ++ 1 1 2 2 即任一 n 维向量都 可由单位向量线性表示. 必要性 a a an , , , 1 2 线性无关，且 a a an , , , 1 2 能由单位向量线性表示，即 n n n nn n n n n n k k k k k k k k k = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 故 = n T T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 两边取行列式，得
ku k1 k,, k 由2|≠0 knI k k 12 k In kk k 令A kk 由 E2 即E1,62,…,En都能由a1,a2,…,an线性表示,因为任一n维向量能由单 位向量线性表示,故任一n维向量都可以由a1,a2,…,an线性表示 充分性 =已知任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,则单位向量组: 61,E2,…,En可由a1,a2…,an线性表示,由8题知a1,a2,…,an线性无关 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r向量组B:b,b2,…,b,的秩r2 向量组C:a1,a12…,a,b1,b2,…,b的秩r,证明 max{r1,r2}Sr3≤r1+r2 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C’,含有的向量个数 (秩)分别为r,,z2则ABC分别与A,B,C等价,易知A,B均可由C 线性表示,则秩C)≥秩(A秩(C)≥秩(B),即max{r1,n2}≤r3 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示, 即C可由D线性表示从而C可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+r2阶矩阵,所以秩(D)≤r+n2即r3≤F+n2 11i证明R(4+B)≤R(4)+R(B)
6 T n T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a 令 = n n nn n n n n k k k k k k k k k A 1 2 21 22 2 11 12 1 则 由 = = − T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a 2 1 2 1 2 1 1 2 1 即 n , , , 1 2 都能由 a a an , , , 1 2 线性表示，因为任一 n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由 a a an , , , 1 2 线性表示. 充分性 已知任一 n 维向量都可由 a a an , , , 1 2 线性表示，则单位向量组： n , , , 1 2 可由 a a an , , , 1 2 线性表示，由8题知 a a an , , , 1 2 线性无关. 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2 的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2 的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2 1 2 的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r } r r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C ) 秩( A ),秩( C ) 秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r } r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C ) 秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2 r + r 即 3 1 2 r r + r . 11.证明 R(A + B) R(A) + R(B)
证明;设A=(a1,m2,…,an)B=(b1,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为ar1,a2,…,aB,B1,…,B 显然存在矩阵A,B',使得 B B B2 bn +b1 A+B=+"=团?+1B a+b B 因此R(4+B)≤R(4)+R(B) 12.设向量组B:b,…,b能由向量组A:a1,…a,线性表示为 (b1,…,b)=(an1;…,a,)k, 其中K为s×r矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)= 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1…,a,)则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K}≤R(K) 由B组:b,b2,…b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为rxs阶矩阵则R(K)smin{r,s 由于向量组B:b1,b2,,b能由向量组A:a1,a2,…,a,线性表示,则 r≤S min(r, s) 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ∈若R(k)=r 令x1b1十x2b2+…+xb=0,其中x1为实数i=1,2,…,r 则有(b1,b2,…,b
7 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2 T B b b bn ( , , , ) = 1 2 且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 , , T s T T 1 , 2 , , 显然,存在矩阵 A , B ,使得 = T s T T T n T T A a a a 2 1 2 1 , = T s T T T n T T B b b b 2 1 2 1 + + + + = T n T n T T T T a b a b a b A B 2 2 1 1 + = T s T T T s T T A B 2 1 2 1 因此 R(A + B) R(A) + R(B) 12．设向量组 B : b br , , 1 能由向量组 A: a as , , 1 线性表示为 (b1 , ,br ) = (a1 , ,as )K ， 其中 K 为 s r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明 若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1 br A = a1 as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK) min{ R(A), R(K)} R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2 线性无关知 R(B) = r ，故 R(K) r . 又知 K 为 r s 阶矩阵则 R(K) min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2 能由向量组 A : a a as , , , 1 2 线性表示,则 r s min{r,s} = r 综上所述知 r R(K) r 即 R(K) = r ． 若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2, ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 = r r x x b b b
又(b1,…,b)=(a1;…,a,),则(a1,…,a,)K 由于a1,a2,…,a,线性无关所以K 0 k1x1+k21x2+…+kn1x1=0 k12x1+k2x2+…+k,2x1=0 即 (1) krx1+k2xx2+…+knx1=0 KIsx,+k, 由于R(K)=r则(1)式等价于下列方程组: k1x1+k21x2 K,x =0 kx, +k +…+k,x=0 k1rx1+k2x2+…+knxr=0 ku k k 由于 ≠0 所以方程组只有零解x1=x2=…=x=0.所以b,b2,…,b线性无关, 证毕 13.设 v1={x=(x1,x2,…,xn)x,…,xn∈R满足x+x2+…+xn=0} v2={x=(x1,x2,…,xn)x1,…,xn∈R满足x1+x2+…+xn=1} 问V1,V2是不是向量空间?为什么? 证明集合V成为向量空间只需满足条件: 若a∈v,B∈V,则a+∈V 若a∈V,A∈R,则Aa∈V V是向量空间,因为:
8 又 (b1 , ,br ) = (a1 , ,as )K ,则 ( , , ) 0 1 1 = r s x x a a K 由于 a a as , , , 1 2 线性无关,所以 0 2 1 = xr x x K 即 + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 s s rs r r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x （1） 由于 R(K) = r 则(1)式等价于下列方程组: + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x 由于 0 1 2 12 22 2 11 21 1 r r rr r r k k k k k k k k k 所以方程组只有零解 x1 = x2 == xr = 0.所以 b b br , , , 1 2 线性无关, 证毕. 13．设 { ( , , , ) , , 0} 1 = = 1 2 1 n 1 + 2 + + n = T V x x x xn x x R满 足x x x { ( , , , ) , , 1} 2 = = 1 2 1 n 1 + 2 + + n = T V x x x xn x x R满 足x x x 问 1 2 V ,V 是不是向量空间？为什么？ 证明 集合 V 成为向量空间只需满足条件： 若 V, V ，则 + V 若 V, R ，则 V V1 是向量空间，因为：
a=(a1,a2,,an)a1+a2+…+an=0 B=(B1,B2,…,Bn)B1+B2+…+B a+B=(a1+月,a2+B2…an+Bn) 且(a1+B1)+(a2+B2)+…+(an+Bn) =(B1+B2+…+Bn)+(ax1+a2+…+an)=0故a+B∈V1 A∈R,Ac=( a) λa+λa2+…+侃an=(a1+a2+…+an)=4.0=0故aa∈V V2不是向量空间,因为 (a1+B1)+(a2+B2)+…+(an+B) =(B1+B2+…+Bn)+(a1+a2+…+an)=1+1=2故a+B∈V2 巩∈R,a=(11,1a2,…,an) 凡a1+λa2+…+λαn=Aa1+a2+…+cn)=x.l=x 故当≠1时,AagV2 14.试证由a1=(0,1,),a2=(1,0,1),a3=(1,1,0)所生成的向量空间 就是 R3 证明设A=(a1,a2,a3) 01 A={a,a2,a3101=(-1)101=-2≠0 于是R(4)=3故线性无关由于a1,a2,a3均为三维且秩为3, 所以a1,a2,a3为此三维空间的一组基故由a1,a2,a3所生成的向量空间 就是R3 15.由a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,1),所生成的向量空间记作V由 b1=(2,-1,3,3),a2=(0,1,-1,-1),所生成的向量空间记作V2,试证 H1=V2 证明设v1={x=ka1+k2a2k1,k1∈R} V2={x=B1+42B21,元1∈R} 任取v中一向量可写成k1a1+k2a2, 要证ka1+k2a2∈V2,从而得VcV2 由k1a1+k22=月1+22得
9 = ( 1 , 2 , , ) 1 + 2 + + n = 0 T n = ( 1 , 2 , , ) 1 + 2 + + n = 0 T n T n n ( , , , ) + = 1 + 1 2 + 2 + 且 ( ) ( ) ( ) 1 + 1 + 2 + 2 ++ n + n = (1 + 2 ++ n )+ (1 + 2 ++ n ) = 0 故 + V1 , ( , , , ) R = 1 2 n 1 + 2 ++ n = (1 +2 ++n ) = 0 = 0 故 V1 V2 不是向量空间，因为： ( ) ( ) ( ) 1 + 1 + 2 + 2 ++ n + n = (1 + 2 ++ n ) + (1 +2 ++n ) = 1 + 1 = 2 故 + V2 , ( , , , ) R = 1 2 n 1 + 2 ++ n = (1 +2 ++n ) = 1 = 故当 1 时， V2 14．试证:由 T T T a (0,1,1) ,a (1,0,1) ,a (1,1,0) 1 = 2 = 3 = 所生成的向量空间 就 是 3 R . 证明 设 ( , , ) A = a1 a2 a3 1 1 0 1 0 1 0 1 1 , , A = a1 a2 a3 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ( 1) 1 = − = − − 于是 R(A) = 3 故线性无关.由于 1 2 3 a ,a ,a 均为三维,且秩为 3, 所以 1 2 3 a ,a ,a 为此三维空间的一组基,故由 1 2 3 a ,a ,a 所生成的向量空间 就是 3 R . 15．由 (1,1,0,0) , (1,0,1,1) , 1 2 T T a = a = 所生成的向量空间记作 V1 ,由 (2, 1,3,3) , (0,1, 1, 1) , 1 2 T T b = − a = − − 所生成的向量空间记作 V2 ,试证 V1 =V2 . 证明 设 V1 = x = k1a1 + k2a2 k1 ,k1 R V2 = x = 1 1 + 2 2 1 ,1 R 任取 V1 中一向量,可写成 k1a1 + k2a2 , 要证 k1a1 + k2a2 V2 ,从而得 V1 V2 由 k1a1 + k2a2 = 11 + 2 2 得
k1+k2=21 k1=2-1「2A1=k1+k2 k2=31-2 λ1+2=k1 k2=31-2 上式中把k1,k2看成已知数把λ1,42看成未知数 20 D 2≠0→1,2有唯一解 同理可证:V2V(:D2 ≠0) 故V1=H2 16.验证a1=(1,-1,0),a2=(2,1,3),a3=(3,2)为R的一个基并把 v1=(50,7),v2=(-9,-8,-13)用这个基线性表示 解由于,a2,a3=-111=-6≠0 即矩阵(a1,a2,a3)的秩为3 故a1,a2,a3线性无关,则为R的一个基 设v1=k1a1+k2a2+k3a3,则 k+2k2+3k3=5k1 k1+k2+k3=0→{k2=3 3k2+2k3=7 k 故v1=2a1+3a2 设v2=1a1+λ2a2+气a3,则 1+22+313=-9k λ+2+3=-8→{k2=-3 32+223=-13 k 故线性表示为 v,=3a,-3 n1 17.求下列齐次线性方程组的基础解系:
10 − + = = + = − = − = − + = 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 3 2 k k k k k k k k 上式中,把 1 2 k , k 看成已知数,把 1 2 , 看成未知数 2 0 1 1 2 0 1 = − D = 1 2 , 有唯一解 V1 V2 同理可证: V2 V1 ( 0 1 0 1 1 D2 = ) 故 V1 =V2 16．验证 T T T a (1, 1,0) ,a (2,1,3) ,a (3,1,2) 1 = − 2 = 3 = 为 3 R 的一个基,并把 T T v (5,0,7) , v ( 9, 8, 13) 1 = 2 = − − − 用这个基线性表示. 解 由于 6 0 0 3 2 1 1 1 1 2 3 , , a1 a2 a3 = − = − 即矩阵 ( , , ) a1 a2 a3 的秩为 3 故 1 2 3 a ,a ,a 线性无关，则为 3 R 的一个基. 设 1 k1a1 k2a2 k3a3 v = + + ，则 + = − + + = + + = 3 2 7 0 2 3 5 2 3 1 2 3 1 2 3 k k k k k k k k = − = = 1 3 2 3 2 1 k k k 故 1 2a1 3a2 a3 v = + − 设 2 1a1 2a2 3a3 v = + + ，则 + = − − + + = − + + = − 3 2 13 8 2 3 9 2 3 1 2 3 1 2 3 = − = − = 2 3 3 3 2 1 k k k 故线性表示为 2 3a1 3a2 2a3 v = − − 17．求下列齐次线性方程组的基础解系: