基础数学讲义之五 《基础分析学之二》 多元微积分学 项武义 香港科技大学数学系
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目录 引子 多元函数的连续性与微分 1 1.1多元函数的连续性 1.2多元函数的微分 多元多关系的微分 1隐函数定理 2.2坐标变换 2.3极大,极小的微分条件式 三高维勾股定理与 Grassmann代数 3.1向量代数与平行体的有向体积 3.11平面的定向与平行四边形的有向面积 31.2三维空间的定向和平行六面体的有向体积 2向量内积与勾股定理的高维推广 33格氏代数 四外微分与多元积分 41多元函数的多重积分 51 4.1.1多重积分的定义 41.2多重积分与坐标变换 4.2线积分、面积分及其高维推广 42.1线积分 4.2.2曲面积分 111
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4.2.3例子 4.2.4习题 76 43外徹分和微积分基本定理的高维推广 4.3.1外微分和广义 Stoke's定理 4.3.2例子 後语
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引子 本册将以上一册研讨单元微积分所得之基础理论为基本,进而研讨 多元微积分。一如在上一册的结语中所提及的,在各种各样数理分析 中所遇到的问题,通常都是多元、多目引的子v而多是只函一个数的 元者。续之,多元微积分性是普与可者,而单元徽积分分11是在 理论上提1.简朴的雏2和基础。把一进而天9到多元 引的范 隐,一定是理分数0的坐理标变,二定4是迫3极大的 分析 条0的进程。 件
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第一章 多元函数的连续性与微分 1.1多元函数的连续性 设u=f(x1,,xn)是一个给定的m个自变元(x1,,xn)的函数,n 数组(x1,…,xn)的变域是R”中的一个区域D’而应变元u之值则由n 数组(x1,,,xn)之给定而唯一确定者也。它在某一给定点(a1,,an) 的「局部连续性」的定义乃是在单元者的己了本册’将以 腚义一碇义讨D单的u=∫(x1,,x an)点的连续 的分所是得讨之给基础论,进足而小的多础论如 在结a冲多提及各及n,(x 在(x1,…,xn)结∫(a1,…,an)郾基 数析也遇到改題数通常极限’把单述局部连续性、述如ˉ研 得讨之给D中到微元只极限的点通连,将以 数n,的.…,xm的∈D,的=(m的提及各及n 进 f(x1.的…,工m的=f(a,…,a 由此遇简∫(x1,,xn)在只定义域D单到处连续的分所雏是得讨之 给D中只极限和把在D中的点通连,,进 提
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第一章.多 的连续性与微分 亦即对于任给m个数列{x;k},1≤im,若有 )∈D,limr;,k存在,1≤i≤ 而且(limx,k,,, lim x,k)∈D 则恒有 lim f(alk,., Ink)=f(lim aik,..., lim Ink) [注]:(i)从上述多元函数的连续性的定义的基本面( basic feature)来看 多元函数的情形和单元函数的情形如出一辙,只是每个变元x;皆有 其趋于α;的数列{x;}’所以在上述连续性的条件式中涉及η个收斂 的数列而不再是仅仅一个收斂数列。 (i〕)其实多元的连续性和单元的连续性两者相比·前者的确要比後者 来得复杂多样,其主要原因有二:其一是R中的区域D要远比R1中 的区间多样得多;其二是上述极限条件式要比单元者强得很多(在单 元的情形一个收斂数列基本上只有从左丶右两个方向去逼近其极限值 但是在多元的情形则可以从无穷多个方向逼近其极限点),所以多 元函数的不连续性要远比单元函数的不连续性复杂多样。由此可以想 到’在多元的数理分析中’连续性就变得更加重要了。很多常用好用 的公式和定理,往往都有赖于所涉及的函数的连续性 i)l多元函数的连续性在本质上是一个非常强的条件,但是它也是 种非常自然的条件。所以在很多多元的数理分析问題中,所涉及的 函数往往都自然而然地在大部分定义域上连续。总之,在对于某一问 题作数理分析中·对于其所涉及的函数的连续性成立的范围务必小 检查;而在连续性不成立的地方(奇点)’当然就得格外用心,另行 设法区别处理之。 (ⅳ)单元微积分中,在一个闭线段上到处连续的函数具有好些优良 的基本性质(参看第四册第一章),而且它们又在单元微积分的基础 理论中扮演重要的角色。很自然地我们在此要问:在多元的各种各样 变域中,究竟那些才是「闭线段」的适当推广呢?换句话问,在那 种变域上到处连续的多元函数依然保有在闭线段上到处连续的单元函 数所具有的那些优良性质呢? 基础分析学之
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1.1.多元函数的连续性 【分析】 要解答上述问題·自然又得对于上一册第一章对于那些优良性质的 论证’再做一次温故知新,分析一下在论证中,所用到的闭线段的本 质究竟是些什麽?不难看到下述三点是显然必要的:其一是有界性 其二是连通性而其三则是极限封闭性’亦即闭线段中的任给收斂数列 的极限点依然位于其中 由此可见’要真正掌握多元函数的连续性’就必须对R中的区域 的几何本质先下一番功夫·明确其有界性丶连通性丶极限封闭性等等 的实质内含 有界性∶将R中一个子集S的有界性直接推广’即得中的一个子 集S的有界性之定义,即:存在一个足够大的K使得所有S中之点 的坐标皆满足|zi|≤五,1≤i≤n. 例如下述7-维 敢续分的多多增多 本身续是中的一个有界子集,而任何有界子集设是足够大的 个子集是也 彰药与 连通性:=6≤n的续是定义于岁士的n个连续函数,则 数式 所描述n续是四中连结) 个连续给线 的多的的'多的芎 【定义】:定R中的子集S’其中任给n点),B皆能有自变元含在 S之内的连续给线连结之,则称之为连通子集。 极限封闭性:R中的子集S’定满足其中任给收斂点列的极限点依然 是S中之点,则称S为R中的一个闭子集 例如上述 个闭子集·而将其中任何一点略去,则就不 再是闭子集 书与 相对于闭子集’下述开子集P比是在分析由中极为唯本的 确念’即 唯者分析由之二
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第一章.多元函数的连续性与微分 【定义】:对于给定点A(a1,…,an)和δ>0 );|x1-a1|<6,1≤i≤m} 叫做A点的δ-邻域(6- neighborhood) 【定义】:R中的子集S,若对于其中任给一点A皆有其(足够小的) 6-邻域U6(A)cS,则称S为一开子集 意:空集合应该看做开子集(或闭子集)的特例。 令 (2K):={( );|l|<K,1≤i≤m} 则不难验证口(2K)乃是R”中的开子集 题 (1)任给一组闭子集的交集也是一个闭子集,而任给一组有限个开子 集的交集也是一个开子集,试证之 (2)任给一组开子集的和集也是一个开子集,而任给一组有限个闭子 集的和集也是一个闭子集’试证之。 (3)试证一个开子集的补集乃是一个闭子集 (4)试证一个闭子集的补集乃是一个开子集 5)令f(x,y)为定义于R2的二元函数 (x,y)≠(0, f(a (x,y)=(0,0) 试验证∫(x,y)在(0,0)点连续 (6)令f(x,y)为定义于R2的二元函数 f(r,y)=x2+y (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0) 试验证∫(x,引)在(0,0)点不连续。[试把∫(x,y)局限于变域x=y 并求当x→0时其极限。 基础分析学之二
➶ ➹❭➘✪➴✎➷✬➬✽➮✁➱⑤✃✤❐➁❒✤❮⑤❰✕Ï☛Ð✄Ñ Ò⑩Ó✤Ô✯Õ➍Ö❆×✆Ø✢Ù✤Ó✄Ú✺ÛÝÜßÞáà➥â✉ã✉ã✉ã❴â❽Þ➠äæåèçêéìë✽íáî ïñð Ü➙Û✌å♥ò♣ó✢ôáÜ❹õ❴àsâ✉ã✉ã✉ã✈â❤õ❘äæåsö✌÷ õ❘ø➏ù✗Þ➠ø❙÷❯ú✽é❢âèû➸ü▼ý✓ü▼þ②ÿ ✂✁ Û❑Ú ❐ é☎✄✝✆✟✞❖Üßé✡✠☞☛✍✌☎✎✑✏✓✒✕✔✗✖✓✘✙✒✍✖✚✖✚✛ å✢✜ ÒñÓ✞Ô✄Õ Ö✤✣ä✦✥ ❐★✧✪✩✬✫✮✭✰✯ ×✎Ø✲✱ ✥✴✳ Ù➘ Ú✯Û✶✵✸✷✹✱✻✺✽✼✿✾❁❀ ❐❃❂ é☎✄✝✆✟✞ ïñð Ü➙Û✌å❅❄ ✫✮✭❇❆✲❈❉✫❋❊❈➘✹●❁✧❍✩ ✜ ■✪❏ Ö❇❑ ✩▼▲✮◆✪❖❋P ✁ ●❁✧❍✩ ✺❅◗❙❘ ✧❍✩❚❂⑦❐★❯✟❱ ✜ ❲ ❳❩❨ ä❭❬ ❪ Ü❴❫❛❵❧å♥ò♣ó✞ôáÜ❹õ❴à➥â✉ã✉ã✉ã❴â❤õ❘äæåsö➢÷ õ❘ø❤÷❯ú❜❵➵â❆û➢ü▼ý✓ü✚þ②ÿ ❆✟❝✿❞✹❡✮❢ ❳❩❨ ä❭❬ ❪ Ü❴❫❛❵❧å❤❣❙✐❥✣ä ✥ ❐✲●❁✧❙✩ ✜ Ò❧❦✸♠ Õ➍Ö Ü û å ✳ Ù ➘❋♥ ❘ ✧❙✩✞❐✮♦❁✩✲♣ ✐ ➘✮q ❘ ✧❙✩r✭ts ✳ Ù ➘❋♥ ✷❙✉ q✟●❁✧ ✩✎❐✮♦❋✩★♣ ✐ ➘✮q✹●❁✧❙✩✈✭❤✇✪❢❋① ✜ Ü❴❫➠å ✳ Ù ➘❋♥✹●❍✧❙✩✞❐ ç ✩✲♣ ✐ ➘✮q✟●❍✧❙✩r✭ts ✳ Ù ➘❋♥ ✷❙✉ q ❘ ✧ ✩✎❐ ç ✩★♣ ✐ ➘✮q ❘ ✧❙✩✈✭❤✇✪❢❋① ✜ Ü③②æå ✇✟❢✬➘✪q✟●❁✧❍✩✞❐✿④⑤✩ ❣❍✐ ➘✮q ❘ ✧❍✩ ✜ Ü ➶ å ✇✟❢✬➘✪q ❘ ✧❍✩✞❐✿④⑤✩ ❣❍✐ ➘✮q✹●❁✧❍✩ ✜ Ü❴⑥➠å ❲⑧⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å ❊ Ó✆Ô✎Ø❶✣❸❷ ❐✲❹✤➮✄➱✚✃ Ö ⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å ó ❺ ❻❼ õ✝⑨ ❽õ❷❿❾ ⑨ ❷ â Ü❹õ â⑩⑨ å➁➀ó✤Üßíáâ❽íæå íáâ Ü❹õ â⑩⑨ å ó✤Üßíáâ❽íæå ✇✹❡❋❢ ⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å➃➂ Üßíáâ❽íæå Ú ❒✆❮ ✜ Ü③➄æå ❲⑧⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å ❊ Ó✆Ô✎Ø❶✣❷ ❐✲❹✤➮✄➱✚✃ Ö ⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å ó⑤➅ õ✝⑨ õ❷❿❾ ⑨ ❷ â Ü❹õ â⑩⑨ å➁➀ó✤Üßíáâ❽íæå íáâ Ü❹õ â⑩⑨ å ó✤Üßíáâ❽íæå ✇✟❡✮❢ ⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å❅➂ Üßíáâ❽íæå Ú ❝ ❒✆❮ ✜❇➆✇✟➇ ⑦ Ü❹õ â⑩⑨ å❤➈❙✉✞Ø✶➉➊✞✑õ ó✲⑨ ✭➌➋❍➍➏➎ õ➑➐✺í✴➒✿✱✿➓➔✉r✜✰→ ➣✟↔ Ñ✲↕➏➙★①✪❹