研究生概率论与数理统计课 使用教材:《农业试验统计方法及原理》 课堂教学:36×2=72学时 统计软件SAS上机实习:2×4=8学时 ●成绩评定:期末闭卷考试 任课教师:余家林(理学院数理系) 联系电话:外线87285311,内线85311
研究生概率论与数理统计课 ⚫使用教材：《农业试验统计方法及原理》 ⚫课堂教学：36 ×2 =72学时 ⚫统计软件SAS上机实习：2 ×4 =8学时 ⚫成绩评定：期末闭卷考试 ⚫任课教师：余家林（理学院数理系） ⚫联系电话：外线87285311，内线85311
研究生概率论与数理统计课 讲述:统计分析常用方法的原理及新方法 为了解总体(指它的某一项指标) ●通过抽样调查或试验得到样本 根据样本的观测值对总体作定性分析 Q。对总体的数字特征进行估计与假设检 验,用数字、图表、方程式作定量分析 ●撰写研究论文
研究生概率论与数理统计课 ⚫ 通过抽样调查或试验得到样本 ⚫ 根据样本的观测值对总体作定性分析 ⚫ 对总体的数字特征进行估计与假设检 验，用数字、图表、方程式作定量分析 { ⚫ 撰写研究论文 ⚫ 讲述：统计分析常用方法的原理及新方法 ⚫ 为了解总体（指它的某一项指标）
研究生概率论与数理统计课 学习要求:理解概念,熟悉原理,掌握方法, 上机计算,解释结果 用到微积分与线性代数知识(不必系统复习) 系统听课,仔细解答习题,上机看结果 ●研究生处规定:凡选课者,必须参加考试
研究生概率论与数理统计课 ⚫ 用到微积分与线性代数知识（不必系统复习） ⚫ 学习要求：理解概念，熟悉原理，掌握方法， 上机计算，解释结果 ⚫ 系统听课，仔细解答习题，上机看结果 ⚫ 研究生处规定：凡选课者，必须参加考试
第一章概率论专题 §1.1二维随机变量的协方差及相关系数 1.协方差的定义及其性质 2.相关系数的定义及其性质 3.协方差矩阵的定义及其性质 °4.相关系数矩阵的定义及其性质 ●已学习过一维随机变量的数字特征: 数学期望及方差 二维随机变量的协方差及相关系数 是二维随机变量的数字特征
⚫第一章 概率论专题 ⚫ §1.1 二维随机变量的协方差及相关系数 ⚫ 1. 协方差的定义及其性质 ⚫ 2. 相关系数的定义及其性质 ⚫ 3. 协方差矩阵的定义及其性质 ⚫ 4. 相关系数矩阵的定义及其性质 ⚫ 已学习过一维随机变量的数字特征： 数学期望及方差 ⚫ 二维随机变量的协方差及相关系数 是二维随机变量的数字特征
二维随机变量的协方差及相关系数 可用来说明两个随机变量的线性相关关系 可由二维随机变量的分布确定 若(X,Y)为离散型随机变量且分布律为 Y=b 则E(X)=∑∑a1,E(Y)=∑∑bPn E(X2)=∑∑a2mn,E(2)=∑∑bPn E(XY)=∑∑bPn
⚫ 可由二维随机变量的分布确定 ⚫ 二维随机变量的协方差及相关系数 可用来说明两个随机变量的线性相关关系 ⚫若（X,Y）为离散型随机变量且分布律为 , , P X = ai Y = bj = pi j ( ) = , ( ) = , i j j i j i j 则 E X ai pi j E Y b p = i j E XY ai bj pi j ( ) ( ) , ( ) , 2 2 2 2 = = i j j i j i j E X ai pi j E Y b p
若(X,Y)为连续型随机变量 且分布密度为p(x,y), 则E(X)=「xp(x,y)dd,E()=「yp(x,y)h, roy xoy E(X2)=「「x2p(x,y)h,E(Y2)=「y2p(x,y)tdy, col roy E(XY)=xyp(x,y)xcy。 roy 定义E(X-EX)(Y-EY)为二维随机变 量(X,Y)舶协方差,或一维随机变量X与Y的 协方差并记作c0v(X,Y),o(X,Y)减或a
p(x, y) = = xoy xoy 则 E(X) xp(x, y)dxdy , E(Y ) yp(x, y)dxdy , = xoy E XY xyp x y dxdy ( ) ( , ) ⚫若（X,Y）为连续型随机变量 且分布密度为 ， X Y X Y X Y X Y X Y E X EX Y E Y 协方差并记作 或 量 的协方差 或一维随机变量 与 的 定义 为二维随机变 cov( , ), ( , ) ( , ) , [( − )( − )] = = xoy xoy E(X ) x p(x, y)dxdy , E(Y ) y p(x, y)dxdy , 2 2 2 2
定义p(X,Y) EI(X-EX(r-Er) o(Xo(r) 为 X与Y的(线性)相关系数 计算时E(X-EX)(Y-EY) =E(XY)-EX·EY (X)=E(X-EX)2=E(X2)-(EX)2, a2(Y)=E(Y-EY)2=E(Y2)-(EY)2 计算时用到数学期望与方差的性质
⚫ 定义 为 X与Y的（线性）相关系数。 ( ) ( ) [( )( )] ( , ) X Y E X EX Y EY X Y − − = E XY EX EY E X EX Y EY = − − − ( ) 计算时 [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 X = E X − EX = E X − EX 2 2 2 2 (Y) = E(Y − EY) = E(Y )−(EY) 计算时用到数学期望与方差的性质
数学期望的性质: 1)若k为常数,则E(kX)=kE(X); 2)E(X±Y)=E(X)±E(Y); 推论:E(X1±X2±…土Xn) E(X1)±E(X2)+…土E(Xn); ●推论:E(k1X1±k2X2+…±knHn) =kE(X1)±k2E(X2)±…土knE(Xn); °3)若X与Y相互独立, 则E(XY)=(EX)(EY)
⚫数学期望的性质： ⚫ 1） 若 k为常数,则 E (kX ) = kE ( X ) ; ⚫ 2 ） E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) ; ⚫推论： ⚫ ; ( ) E X1 X 2 X n ( ) ( ) ( ) = E X1 E X2 E Xn ⚫推论： ⚫ ; ( ) 1 1 2 2 n Xn E k X k X k ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 nE Xn = k E X k E X k ⚫ 3 ） 若X与 Y相互独立, 则 E (XY ) = (EX )(EY )
方差的性质: 1)若为常数,则D(kX)=k2D(X); 2)若X与Y相互独立,贝 D(X±Y)=D(X)+D(Y) 推论:若X1,X2,…,Xn相互独立, D(X1±X2±…±Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn) D(k1X1±k2X2±…土knXn) =ki d(xi+k2 d(X2)+.+kn d(Xn)
⚫方差的性质： ⚫ 1） , ( ) ( ) ; 2 若k为常数 则D kX = k D X ⚫ 2） 若X与Y相互独立,则 D(X Y) = D(X) + D(Y) ( ) 则 D X1 X2 Xn ( ) ( ) ( ) = D X1 + D X2 ++ D Xn ( ) 1 1 2 2 n Xn D k X k X k ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 n D Xn = k D X + k D X + + k , , , , ⚫推论： 若X1 X2 Xn 相互独立 ;
正明:D(X±Y)=E(X±Y)-E(X±Y)2 =E[X±Y)-(EX±EY)2=E[X-EX)土(Y-EY) EICX-EX)+(Y-En+2(X-EXOY-En) E(X-EX)2+E(Y-E)2+2ELX-EXCY-EDI 式中的E(X-EX)2=D(X),E(Y-EY)2=D(Y, 若X与Y相互独立,则 ElX-EX)(Y-EY)]=EXY-XEY-YEX+(EX)(EY E(XY-(EX(EY)-(EX(EY)+(EXEn=0, 因此D(X±Y)=D(X)+D(Y)
证明： 2 2 = E (X Y ) − (E X E Y) = E (X − E X) (Y − E Y) 2 D(X Y ) = E (X Y ) − E(X Y ) ( ) ( ) 2( )( ) 2 2 = E X − EX + Y − EY X − EX Y − EY ( ) ( ) 2 ( )( ), 2 2 = E X − EX + E Y − EY E X − EX Y − EY ( ) ( ), ( ) ( ), 2 2 式中的E X − EX = D X E Y − EY = D Y 若X与Y相互独立,则 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0, ( )( ) ( )( ) = − − + = − − = − − + E X Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E X Y E Y E X Y XEY YEX E X E Y 因此 D(X Y) = D(X) + D(Y)