《线性代数》课程教学资源（习题全解）第二章 矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 1.已知线性变换: 2y1+22+y 3y1+y2+5 x3=3y1+2y2+3y3, 求从变量x,x2,x3到变量y,y2,y3的线性变换 解 J 由已知:x2=|315y2 x3)(323人y J 7-49y J 7 4x2+9x 7 y3=3x1+2x2-4x3 2.已知两个线性变换 2y1+y y1=-3x1+z2, x2=-2y1+3y2+2y3, y2=2z1+3, 求从,2,到x,x2,x的线性-z2+3 4y1+y2+5y 解由已知 VI 201Y-3 232 232‖201 13 21 12-49‖z 10-116

1 第二章 矩阵及其运算 1．已知线性变换：      = + + = + + = + + 3 2 3 , 3 5 , 2 2 , 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 x y y y x y y y x y y y 求从变量 1 2 3 x , x , x 到变量 1 2 3 y , y , y 的线性变换． 解 由已知：                     =           2 2 1 3 2 1 3 2 3 3 1 5 2 2 1 y y y x x x 故                     =           − 3 2 1 1 2 2 1 3 2 3 3 1 5 2 2 1 x x x y y y                     − − − − = 3 2 1 3 2 4 6 3 7 7 4 9 y y y      = + − = + − = − − + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 3 2 4 6 3 7 7 4 9 y x x x y x x x y x x x 2．已知两个线性变换      = + + = − + + = + 4 5 , 2 3 2 , 2 , 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 3 x y y y x y y y x y y      = − + = + = − + 3 , 2 , 3 , 3 2 3 2 1 3 1 1 2 y z z y z z y z z 求从 1 2 3 z ,z ,z 到 1 2 3 x , x , x 的线性变换． 解 由已知                     = −           2 2 1 3 2 1 4 1 5 2 3 2 2 0 1 y y y x x x                     − −           = − 3 2 1 0 1 3 2 0 1 3 1 0 4 1 5 2 3 2 2 0 1 z z z                     − − − − = 3 2 1 10 1 16 12 4 9 6 1 3 z z z

x1=-6x1+z2+3z3 所以有{x2=12x1-42+9 x3=-10z1-2+16乙3 3.设A=11-1,B=-1-24 051 求3AB-2A及AIB. 解 3AB-2A=31 1-1-24-211-1 1-11人05 21322 0-56-211-1|=-2-1720 290 429-2 AB=11-1-1-24=0-56 290 4.计算下列乘积 11-23|2 (2)(1,2,3)2 570 214 104 0-12 1-13 1-31 40-2 1 xI (5)(x,x2,x3a12a2a2x2; 13a23a33人x3 1210103 0101‖012 (6) 002100-23 0003人000-3

2 所以有      = − − + = − + = − + + 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 10 16 12 4 9 6 3 x z z z x z z z x z z z 3．设           − = − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A , , 0 5 1 1 2 4 1 2 3           B = − − 求 3AB 2A A B. 及 T − 解 3AB − 2A           − −           − = − 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2           = − 2 9 0 0 5 6 0 5 8 3           − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2           − − − − = 4 29 2 2 17 20 2 13 22           − −           − = − 0 5 1 1 2 4 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A B T           = − 2 9 0 0 5 6 0 5 8 4．计算下列乘积： (1)                     − 1 2 7 5 7 0 1 2 3 4 3 1 ; (2) ( )           1 2 3 1,2,3 ; (3) ( 1,2) 3 1 2 −           ; (4)               − − −         − 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0 ; (5)                     3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 ( , , ) x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)               − − −               0 0 0 3 0 0 2 3 0 1 2 1 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0

解 4×7+3×2+1x1 232|=1×7+(-2)×2+3×1=6 5×7+7×2+0×1 (232|=(1×3+2x2+3×1)=(10) 2×(-1)2×2 24 1×(-1)1×2 12 3×(-1)3×2 36 21400-12 6-78 1-134月1-31 20-5-6 40-2 (5) 2 23 a3a23a3八x =(a1x1+a12x2+a1x3a2x+a2x2+a2x3a13x1+a2x2+a3x) x2=a1x2+a2x2+a3x3+2a12xx2+2a1x1x+22x2x 12101 01010 00210 0100 2-1012-4 00-43 0003人0 0 000-9 设A B 问 (1)AB=BA吗? (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗? (3)(4+B)(A-B)=A2-B吗? 解

3 解 (1)                     − 1 2 7 5 7 0 1 2 3 4 3 1            +  +   + −  +   +  +  = 5 7 7 2 0 1 1 7 ( 2) 2 3 1 4 7 3 2 1 1           = 49 6 35 (2) ( )           1 2 3 1 2 3 = (1 3 + 2 2 + 3 1) = (10) (3) ( 1 2) 3 1 2 −                      −   −   −  = 3 ( 1) 3 2 1 ( 1) 1 2 2 ( 1) 2 2           − − − = 3 6 1 2 2 4 (4)               − − −         − 4 0 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 1 1 3 4 2 1 4 0         − − − = 20 5 6 6 7 8 (5) ( )                     3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 x x x a a a a a a a a a x x x ( ) = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 a12 x1 + a22 x2 + a23 x3 a13 x1 + a23 x2 + a33 x3            3 2 1 x x x 12 1 2 13 1 3 23 2 3 2 33 3 2 22 2 2 = a11 x1 + a x + a x + 2a x x + 2a x x + 2a x x (6)               − − −               0 0 0 3 0 0 2 3 0 1 2 1 1 0 3 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 1 1 2 1 0               − − − = 0 0 0 9 0 0 4 3 0 1 2 4 1 2 5 2 5．设         = 1 3 1 2 A ,         = 1 2 1 0 B ，问： (1) AB = BA 吗? (2) 2 2 2 (A+ B) = A + 2AB + B 吗? (3) 2 2 (A+ B)(A− B) = A − B 吗? 解

(1)A= B 12 12 则AB: Ba= AB≠B4 46 38 (2)(A+B)2 22Y22)(814 25八25 1429 但A2+2AB+B 38 68 1016 1)(812)(3 1527 故(A+B)2≠A2+2AB+B2 2202)(06 (3)(A+B)(A-B)= 25八01 09 10 28 而 42-B2= 故 (A+B)(A-B)≠A2-B2 6.举反列说明下列命题是错误的: (1)若A2=0,则A=0; 2)若A2=A,则A=0或A=E; (3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y. 解(1)取A= A2=0,但A≠0 (2)取A A2=A,但A≠0且A≠E 00 (3)取A= X 00 11 AX=AY且A≠0但X≠Y 7.设A=/0) ,求A2,A,,A 见1 1010 解A 元1人x1)(2x 1010 21八 32

4 (1)         = 1 3 1 2 A ,         = 1 2 1 0 B 则         = 4 6 3 4 AB         = 3 8 1 2 BA  AB  BA (2)                 + = 2 5 2 2 2 5 2 2 ( ) 2 A B         = 14 29 8 14 但 + + = 2 2 A 2AB B         +        +        3 4 1 0 8 12 6 8 4 11 3 8         = 15 27 10 16 故 2 2 2 (A+ B)  A + 2AB + B (3) (A+ B)(A− B) = =                0 1 0 2 2 5 2 2         0 9 0 6 而 − = 2 2 A B =        −        3 4 1 0 4 11 3 8         1 7 2 8 故 2 2 (A+ B)(A− B)  A − B 6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若 0 2 A = ,则 A = 0 ; （２）若 A = A 2 ,则 A = 0 或 A = E ; （３）若 AX = AY ,且 A  0 ,则 X = Y . 解 (1) 取         = 0 0 0 1 A 0 2 A = ,但 A  0 (2) 取         = 0 0 1 1 A A = A 2 ,但 A  0 且 A  E (3) 取         = 0 0 1 0 A         − = 1 1 1 1 X         = 0 1 1 1 Y AX = AY 且 A  0 但 X Y 7．设         = 1 1 0  A ,求 k A ,A , ,A 2 3  . 解         =                = 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2    A         =                = = 3 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 3 2    A A A

利用数学归纳法证明:A4 k1 当k=1时,显然成立假设k时成立,则k+1时 10Y/10 4=4A 1人a1)((k+1)元1 由数学归纳法原理知:Ak k21 8.设A=0元1求A4 (00元 解首先观察 λ10x10元22元1 42=0a101|=0x22元 00x人00x)00x2 23323 A3=A2.A=0233x 0023 k1 k(k-1) 2 由此推测4=028 (k≥2) 00 用数学归纳法证明: 当k=2时,显然成立 假设k时成立,则k+1时, 2 k2 k(k-1)2k-2 2 10 A+1=A4.A=02 k-1 0a1 0 00a

5 利用数学归纳法证明:         = 1 1 0 k A k 当 k = 1 时,显然成立,假设 k 时成立,则 k + 1 时         + =                = = ( 1) 1 1 0 1 1 0 1 1 0 k  k  A A A k k 由数学归纳法原理知:         = 1 1 0 k A k 8．设           =    0 0 0 1 1 0 A ,求 k A . 解 首先观察                     =       0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 A           = 2 2 2 0 0 0 2 2 1                =  = 3 3 2 3 2 3 2 0 0 0 3 3 3       A A A 由此推测               − = − − − k k k k k k k k k k k A       0 0 0 2 ( 1) 1 1 2 (k  2) 用数学归纳法证明: 当 k = 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k + 1 时，                         − =  = − − − +          0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 ( 1) 1 1 2 1 k k k k k k k k k k k k A A A

(k+1)241(+1)k k+1 (k+1)-1 1k(k-1) 2 由数学归纳法原理知:A4=02 00 9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BAB也是对称矩阵 证明已知:AT=A Q (B AB)=B(BA)=BAB=BAB 从而B1AB也是对称矩阵 10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是 AB= BA 证明由已知:A=AB=B 充分性:AB=BA→AB=B'A→AB=(AB) 即AB是对称矩阵 必要性:(AB)=AB→BA=AB→BA=AB 11.求下列矩阵的逆矩阵: 2)/cose sine cos0 (3)34-2|; 5-41 5200 120 2100 213 0083 121 0052 (6) (a1a2…an≠0) 解

6               + + + = + + − + − − 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) 2 ( 1) ( 1) k k k k k k k k k k       由数学归纳法原理知:               − = − − − k k k k k k k k k k k A       0 0 0 2 ( 1) 1 1 2 9．设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 B AB T 也是对称矩阵. 证明 已知： A A T = 则 B AB B B A B A B B AB T T T T T T T T ( ) = ( ) = = 从而 B AB T 也是对称矩阵. 10．设 A,B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 AB= BA. 证明 由已知： A A T = B B T = 充分性： AB= BA AB B A T T =  AB (AB) T = 即 AB 是对称矩阵. 必要性： AB AB T ( ) =  B A AB T T =  BA= AB. 11．求下列矩阵的逆矩阵： (1)         2 5 1 2 ； (2)         −     sin cos cos sin ； (3)           − − − 5 4 1 3 4 2 1 2 1 ; (4)               1 2 1 4 2 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 ; (5)               0 0 5 2 0 0 8 3 2 1 0 0 5 2 0 0 ; (6)             an a a 0  0 2 1 ( 0) a1 a2an  解

(1)A= 25 41=5,A21=2×(-1),A12=2×(-1),42=1 AA 11 5-2 Au A 故A 2 (2)4=1≠0故A存在 Au= cos A2=sin 8 A12=-sin 8 A2= cos 从而 cos SIn n0 cose (3)4=2,故A存在 A21=2431=0 而 A 13 A2=6 22 210 故 167-1 1000 1200 (4)A 2130 1214 24A21=A31 A,,=24 42=12 33 84 44 6 10 120 A2=(-1)3230=-1213=(-1)4210=-12 120 00 A14=(-1)213=3 A23=(-1)2 0 12 12 100 00 A24=(-1)°213=-5A3=(-1)7120 2

7 (1)         = 2 5 1 2 A A = 1 A11 = 5, A21 = 2  (−1), A12 = 2  (−1), A22 = 1         − − =        =  2 1 5 2 12 22 11 21 A A A A A −  = A A A 1 1 故         − − = − 2 1 5 2 1 A (2) A = 1  0 故 −1 A 存在 A11 = cos A21 = sin A12 = −sin A22 = cos 从而         − = −     sin cos cos sin 1 A (3) A = 2 , 故 −1 A 存在 A11 = −4 A21 = 2 A31 = 0 而 A12 = −13 A22 = 6 A32 = −1 A13 = −32 A23 = 14 A33 = −2 故 −  = A A A 1 1           − − − − − = 16 7 1 2 1 3 2 13 2 1 0 (4)               = 1 2 1 4 2 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0 A A = 24 A21 = A31 = A41 = A32 = A42 = A43 = 0 A11 = 24 A22 = 12 A33 = 8 A44 = 6 12 1 1 4 2 3 0 1 0 0 ( 1) 3 A12 = − = − 12 1 2 4 2 1 0 1 2 0 ( 1) 4 A13 = − = − 3 1 2 1 2 1 3 1 2 0 ( 1) 5 A14 = − = 4 1 2 4 2 1 0 1 0 0 ( 1) 5 A23 = − = − 5 1 2 1 2 1 3 1 0 0 ( 1) 6 A24 = − = − 2 1 2 1 1 2 0 1 0 0 ( 1) 7 A34 = − = −

A 22 故A 000 263 8 24124 (5)4=1≠0故A存在 而 0A4=0 412=-2A2=5432=0A12=0 A12=0A, 0424= 00 A3=243=-3 A AA4=8 200 从而1|-25 00 002-3 00 58 (6)A 由对角矩阵的性质知A-1 12.解下列矩阵方程: 1-1 X (2)Ⅺ210 2 432

8 −  = A A A 1 1 故                   − − − − − = − 4 1 12 1 24 5 8 1 0 3 1 6 1 2 1 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 1 A (5) A = 1  0 故 −1 A 存在 而 A11 = 1 A21 = −2 A31 = 0 A41 = 0 A12 = −2 A22 = 5 A32 = 0 A42 = 0 A13 = 0 A23 = 0 A33 = 2 A43 = −3 A14 = 0 A24 = 0 A34 = −5 A44 = 8 从而               − − − − = − 0 0 5 8 0 0 2 3 2 5 0 0 1 2 0 0 1 A (6)             = an a a A  0 0 2 1 由对角矩阵的性质知                   = − an a a A 0 1 1 0 1 2 1 1  12．解下列矩阵方程： (1)         − =         2 1 4 6 1 3 2 5 X ; (2)         − =           − − 4 3 2 1 1 3 1 1 1 2 1 0 2 1 1 X ; (3)         − =        −         − 0 1 3 1 1 1 2 0 1 2 1 4 X ;

010(100(1-43 (4)100X001|=20-1 001)(010)(1-20 解 13)(21 12八21 203 8 (2)X 210 23-2 3(432 330 22 8-31 120 3)X 12-330 12 1八-11 30 12(3 0 010(1-43100 0020 00 1-20人010 2-10 010 00 121 100 001 0 20 13.利用逆矩阵解下列线性方程组: x1+2x,+3. (1)12x+2x2+5x3=2, (2){2x1 x35 1, 3x1+5x2+x3=3; 3x,+2x x3=0 解(1)方程组可表示为225x2|=2 35

9 (4)           − − − =                     1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 X . 解 (1)         −         = − 2 1 4 6 1 3 2 5 1 X         −         − − = 2 1 4 6 1 2 3 5         − = 0 8 2 23 (2) 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 4 3 2 1 1 3 −           − −         − X =           − − −         − = 3 3 0 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 1 3 3 1         − − − = 3 2 5 3 8 2 2 1 (3) 1 1 1 1 2 0 0 1 3 1 1 2 1 4 − −         −         −         − X =                 −         − = 1 2 1 0 0 1 3 1 1 1 2 4 12 1                 = 1 2 1 0 3 0 6 6 12 1         = 0 4 1 1 1 (4) 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 − −                     − − −           X =                     − − −           = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 2 0 1 1 4 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0           − − − = 1 0 2 1 3 4 2 1 0 13．利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)      + + = + + = + + = 3 5 3; 2 2 5 2, 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x (2)      + − = − − = − − = 3 2 5 0. 2 3 1, 2, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解 (1) 方程组可表示为           =                     3 2 1 3 5 1 2 2 5 1 2 3 3 2 1 x x x

故 从而有 r,=0 ,=0 1-1-1x 2 (2)方程组可表示为 5人x3)(0 1-1-172)(5 故 2-1-31|=0 32-5)(0)(3 5 故有 0 3 14.设A=O(k为正整数,证明 (E-4)=E+A+A2+…+A- 证明方面,E=(E-A)(E-A) 另一方面,由A=O有 E=(E-A)+(-A2)+A2-…-A1+(41-4) =(E+A+A2+…+A"-)(E-A) 故(E-A)(E-A)=(E+A+A2+…+A)(E-A) 两端同时右乘(E-A) 就有(E-A)=E+A+A2+…+A 15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆并求A 及 (4+2E) 证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E 两端同时取行列式:42-A=2 即44-E=2故≠0 所以A可逆而A+2E

10 故           =                     =           − 0 0 1 3 2 1 3 5 1 2 2 5 1 2 3 1 3 2 1 x x x 从而有      = = = 0 0 1 3 2 1 x x x (2) 方程组可表示为           =                     − − − − − 0 1 2 3 2 5 2 1 3 1 1 1 3 2 1 x x x 故           =                     − − − − − =           − 3 0 5 0 1 2 3 2 5 2 1 3 1 1 1 1 3 2 1 x x x 故有      = = = 3 0 5 3 2 1 x x x 14．设 A O k = ( k 为正整数),证明 1 2 1 ( ) − − − = + + + + k E A E A A  A . 证明 一方面， ( ) ( ) 1 E = E − A E − A − 另一方面，由 A O k = 有 ( ) ( ) ( ) 2 2 k 1 k 1 k E = E − A + A − A + A − − A + A − A  − − ( )( ) 2 1 E A A A E A k = + + + + −  − 故 ( ) ( ) 1 E − A E − A − ( )( ) 2 1 E A A A E A k = + + + + −  − 两端同时右乘 1 ( ) − E − A 就有 1 2 1 ( ) − − − = + + + + k E A E A A  A 15．设方阵 A 满足 A − A − 2E = O 2 ,证明 A 及 A+ 2E 都可逆,并求 −1 A 及 1 ( 2 ) − A+ E . 证明 由 A − A − 2E = O 2 得 A A 2E 2 − = 两端同时取行列式: 2 2 A − A = 即 A A − E = 2 ,故 A  0 所以 A 可逆,而 2 A+ 2E = A