例13.3.4求抛物面 x2+y2=az和锥面 2a-√x2+y2 z=2a-√x2+y2(a>0)所围成立 体的体积。 解易求得两曲面的交线在 y平面的投影的方程为 图13.36 x +y=a 设D={(x,y)|x2+y2≤a2},利用极坐标变换可得所求立体的体积为 x+ 2a-√x2+y dxdy= 2a rare D 0≤r<a 0≤6<2π d 0 2a-r rdr=2T 2a-r ral T例 13.3.4 求抛物面 =+ azyx 22 和锥面 2 )0( 22 ayxaz >+−= 所围成立 体的体积。 解 易求得两曲面的交线在 xy 平面的投影的方程为 xya 22 2 + = 。 设 222 D = +≤ {( , ) | } xy x y a ，利用极坐标变换可得所求立体的体积为 2 2 2 2 2 d d x y a xy x y a ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + ⎢ ⎥ −+ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫∫D = 2 0 0 2π 2 d d r a r ar rr a θ θ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫∫ = 2 2π 0 0 d2 d a r ar rr a θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ ∫ = 2 0 2π 2 d a r ar rr a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ∫ = 5 3 π 6 a 。 z za x y =− + 2 2 2 x y az 2 2 + = xya 222 + = o y x 图13.3.6