二，线性代数中的典型思路 1.题设与代数余子式或伴随矩阵A有关，一般利用行列式展开定理或公式AA=A4“=14E求解： 2.涉及两个矩阵是否可交换AB=BA?,一般用逆矩阵的定义进行分析： 3.涉及到初等变换问题.一般利用初等矩阵转化为矩阵关系式讨论： 4.求参数问题，一般可考虑是否存在行列式为零的等式 5 已知 个向量组的行列式或线性相关性，研究与之相关的向量组的行列式或线性相关性时，可考 虑向量组的线性表示，转化为矩阵求解： 6.向量组的个数等于向量的维数时，向量组的线性相关性一般可考虑向量组的组成的行列式是否为 零 7.若已知AB=0.则想到B的每一列均为Ax=三0的解.且rA)+(B)<n 8.若已知线性方程组的的线性无关解1，·，，可考虑由基础解析所含解向量的个数满足n-r(4)≥ 转化为系数矩阵秩的关系 9.n阶矩阵A可以对角化÷入(k重根)，有n-r(A,E-A)=k; 10.若己知二次型f(工1,2，)的具体形式，则一般将相关问题转化为二次型实对称矩阵的特征值，特 征向量进行分析. 三，典型例题 (一)填空题 1.()设a,3,为3为列向量，已知行列式4y-a,B-2,2=40,则行列式a,3,= (2)己知a1,02为2维列向量，矩阵A-(2a1+a2,a1-2,B-(a1,02),若行列式A-6,则B= (3)若a1:a2,ag,3,32都是4维列向量，且4阶行列式a1,a2,a3:月1=m,a1,a2,2,agl=n,则4阶行列 式a,a2,1,月+3z= 2.(1)设A,B均为n阶矩阵，A4=2,B引=-3，则2AB-1=- (2)设矩阵A= 21）,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则B=一 -12 12-1 (3)设a,均为3维列向量，3T是3的转置矩阵，如果aBT 36-3 则ar3=() 24-2 (4)设A,B为3阶矩阵，且A川=3，B剧=2A+B=2,则A1+B-1 12-1 (⑤)A=a= 36-3 则AE-A川=(). -2 6 , Ç5ìÍ•;.g¥ 1. KÜìÍ{f™½äë› A∗k', òÑ|^1™–m½n½˙™A∗A = AA∗ = |A|E¶); 2. 9¸á› ¥ƒåÜAB = BA?,òÑ^_› ½¬?1©¤; 3. 9–CÜØK, òÑ|^–› =zè› 'X™?ÿ; 4. ¶ÎÍØK, òÑ僥ƒ31™è"™; 5. Æòáï˛|1™½Ç5É'5, ÔƒÜÉÉ'ï˛|1™½Ç5É'5û, å ƒï˛|Ç5L´,=zè› ¶); 6. ï˛|áÍuï˛ëÍû, ï˛|Ç5É'5òÑåƒï˛||§1™¥ƒè "; 7. eÆAB = 0, KéBzò˛èAx = 0), Ör(A) + r(B) ≤ n. 8. eÆÇ5êß|Ç5Ã')ξ1, · · · , ξs, åƒdƒ:)¤§¹)ï˛á͘vn−r(A) ≥ s=zèXÍ› ù'X. 9. n› Aå±Èz⇔ ∀λi(ki­ä), kn − r(λiE − A) = ki ; 10. eÆg.f(x1, x2, x3)‰N/™, KòÑÚÉ'ØK=zèg.¢È°› Aä, A ï˛?1©¤. n, ;.~K (ò) WòK 1. (1) α, β, γè3èï˛, Æ1™|4γ − α, β − 2γ, 2α| = 40, K1™|α, β, γ| = . (2) Æα1, α2è2ëï˛, › A = (2α1 + α2, α1 − α2), B = (α1, α2),e1™|A| = 6, K|B| = . (3) eα1, α2, α3, β1, β2—¥4ëï˛,Ö41™|α1, α2, α3, β1| = m, |α1, α2, β2, α3| = n,K41 ™|α3, α2, α1, β1 + β2| = 2. (1) A, B˛èn› ,|A| = 2, |B| = −3,K|2A∗B−1 | = . (2) › A = 2 1 −1 2 ! , Eè2¸†› , › B˜vBA = B + 2E, K|B| = . (3) α, β˛è3ëï˛, β T¥β=ò› ,XJαβT =   1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2  , Kα T β = ( ). (4) A, Bè3› ,Ö|A| = 3, |B| = 2,|A + B| = 2, K|A−1 + B−1 | = . (5) A = αβT =   1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2  , K|λE − A| = ( ). 6