第2期 熊炳忠等：基于贝叶斯MCMC算法的美式期权定价 -59- v'=n+w,c2·=[oc+(Y-X3)'(Y- 卡洛积分.这种积分是基于大量的随机抽样，利用这 X3)]/w 些随机样本进行各种概率分析，作出估计、预测等. 根据Gibbs算法从式(13)和(14)中依次采样得到3 设g(x)是一个可积函数，记 和。2的随机样本，估计各个参数后验值. -E()]d (20) 4美式期权MCMC线性回归算法 根据大数定律可以将 (21) 根据上文介绍的LSM的算法原理和MCMC 9=1/M∑g(X,) i-I 算法中Gibbs抽样原理，将MCMC算法中的Gibbs 作为0的一个估计. 抽样嵌套在LSM方法中，对回归方程系数的进行 如果a1,a2是参数6的两个估计量，且ar(01) 估计，其计算的原理不在是普通最小二乘估计，而是 <var(02),则使用0，比使用02方差的减少百分比 基于对各个参数的无信息先验分布，对模拟标的资 为： 产价格数据的后验分布的随机取样来对回归方程系 一般增加样本量可以减少方差，但是会极大提 数进行统计推断.它能够比较好地克服经典最小二 高计算成本.如果要使得标准差至多为e,var 乘方法的对数据量小和数据有奇异点时对回归模型 (g(X)=a2则样本量至少为a2/e2,即标准差缩小 的估计的诸多不足之处.MCMC回归算法步骤如 为1%，样本量就要提高10000倍.常用的方差减少 下： 技术有，对偶变量法、控制变量法、分层抽样法以及 第一步：随机模拟标的资产多条价格路径，从最 重要抽样方法等. 后一个时间点开始倒推计算出各条路径期权到期时 5.2对偶变量方法的基本原理 间点上的现金流； 在进行最小二乘法美式期权定价、MCMC回归 第二步：根据第一步的现金流，选出实值路径； 的美式期权定价以及标准欧式期权定价时，为提高 第三步：把选出的实值路径的现金流折现到前 模拟的精度、尽可能地减少模拟样本量，我们采用最 一个执行时间点上； 为常用的对偶变量技术来实现对标的资产的路径模 第四步：按回归方程系数无信息先验分布规则， 拟.考虑两个随机变量X,Y,因为 设置好回归方程中各参数的初始值 var[(X+Y)/2]=0.25[var(X) 第五步：用第三步算得的实值路径折现现金流 +var (Y)+2cov (X,Y), (22) 关于前一时刻标的资产价格的函数采用MCMC随 当X,Y负相关时，(X+Y)/2的方差就要比他们相 机采样的算法，求出每一步的回归方程； 互独立时要小，这就是考虑使用负相关的随机表里 第六步：用步骤五求得的方程求出继续持有该 来减少方差的原理.一般地，如果X1,X2,…,X。是 期权合约的价值： 由变换产生的，即对任意X:(i=1,…,n),有，X: 第七步：比较当前时刻继续持有期权的价值与 =Fx(U,),其中U服从标准均匀分布，则1一U, 期权本身的内在价值的大小确定最优停时策略，即 也服从标准均匀分布，且U:与1一U:互为负相关. 是否继续持有该期权， 记 第八步：按当前时刻调整基于第七步的计算结 Y;=g(X)=g(Fx(U),....Fx(Ui)) 果得到当前时刻的现金流； (23) 第九步：重复步骤三至八，直至算到初始时刻： Y,=g(X)=g(Fx(1-U),…, 第十步：求出第九步中各条路径结果的平均值. Fx(1-U)) (24) 则Y,与Y,具有相同的分布，当它们负相关时就可 5蒙特卡洛模拟方差减少的对偶变量技术 以同时使用这两个样本来减少抽样的方差.下面给 出它们互为负相关的条件. 5.1蒙特卡洛积分的基本原理 定义1对任意的j=1,…,n,如果有x,≤ 期权的模拟定价技术最根本的就是要进行蒙特 y,则称(x1,…,xn)≤（y,…,yn);如果对一个n 万方数据第2期 熊炳忠等：基于贝叶斯MCMC算法的美式期权定价 一59一 u+一72+u，f2。一[uoci+(y一邵)(y一 邪)]，7u’ 根据Gibbs算法从式(13)和(14)中依次采样得到口 和仃2的随机样本，估计各个参数后验值． 4美式期权MCMC线性回归算法 根据上文介绍的LsM的算法原理和MCMc 算法中Gibbs抽样原理，将MCMC算法中的Gibbs 抽样嵌套在LSM方法中，对回归方程系数的进行 估计，其计算的原理不在是普通最小二乘估计，而是 基于对各个参数的无信息先验分布，对模拟标的资 产价格数据的后验分布的随机取样来对回归方程系 数进行统计推断．它能够比较好地克服经典最小二 乘方法的对数据量小和数据有奇异点时对回归模型 的估计的诸多不足之处．MCMC回归算法步骤如 下： 第一步：随机模拟标的资产多条价格路径，从最 后一个时间点开始倒推计算出各条路径期权到期时 间点上的现金流； 第二步：根据第一步的现金流，选出实值路径； 第三步：把选出的实值路径的现金流折现到前 一个执行时间点上； 第四步：按回归方程系数无信息先验分布规则， 设置好回归方程中各参数的初始值． 第五步：用第三步算得的实值路径折现现金流 关于前一时刻标的资产价格的函数采用MCMC随 机采样的算法，求出每一步的回归方程； 第六步：用步骤五求得的方程求出继续持有该 期权合约的价值； 第七步：比较当前时刻继续持有期权的价值与 期权本身的内在价值的大小确定最优停时策略，即 是否继续持有该期权． 第八步：按当前时刻调整基于第七步的计算结 果得到当前时刻的现金流； 第九步：重复步骤三至八，直至算到初始时刻； 第十步：求出第九步中各条路径结果的平均值． 5 蒙特卡洛模拟方差减少的对偶变量技术 5．1 蒙特卡洛积分的基本原理 期权的模拟定价技术最根本的就是要进行蒙特 卡洛积分．这种积分是基于大量的随机抽样，利用这 些随机样本进行各种概率分析，作出估计、预测等． 设g(z)是一个可积函数，记 r+∞ 口一E[g(x)]一l g(z)厂(z)dz． (20) J一∞ 根据大数定律可以将 M 舀一1／M∑g(x：) (21) j 作为臼的一个估计． 如果a。，舀。是参数目的两个估计量，且啦r(a，) <var(扫。)，则使用a。比使用舀：方差的减少百分比 为： 一般增加样本量可以减少方差，但是会极大提 高计算成本．如果要使得标准差至多为P，var (g(X))一盯2则样本量至少为口2／P2，即标准差缩小 为1％，样本量就要提高10000倍．常用的方差减少 技术有，对偶变量法、控制变量法、分层抽样法以及 重要抽样方法等． 5．2对偶变量方法的基本原理 在进行最小二乘法美式期权定价、MCMC回归 的美式期权定价以及标准欧式期权定价时，为提高 模拟的精度、尽可能地减少模拟样本量，我们采用最 为常用的对偶变量技术来实现对标的资产的路径模 拟．考虑两个随机变量X，y，因为 var[(x+y)／2]一o．25[var(x) +var(y)+2cov(X，y)]， (22) 当X，y负相关时，(X+y)／2的方差就要比他们相 互独立时要小．这就是考虑使用负相关的随机表里 来减少方差的原理．一般地，如果X。，X：，…，X。是 由变换产生的，即对任意X。(i一1，…，行)，有，X。 一氐1(U。)，其中Ui服从标准均匀分布，则1一U， 也服从标准均匀分布，且U。与1一U互为负相关． 记 E—g(X‘，’)一g(氏1(阴)，…，瓦1(U：)) (23) E—g(x‘’’)一g(瓦1(1一∽)，…， 氐1(1一U：)) (24) 则E与y，具有相同的分布，当它们负相关时就可 以同时使用这两个样本来减少抽样的方差．下面给 出它们互为负相关的条件． 定义1 对任意的歹一1，…，行，如果有t≤ y，，则称(z1，．一，z。)≤(了。，…，y。)；如果对一个行 万方数据