Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU (3)×y(x)-(1)×y3(x)得 y3-y2y1)+p(x)vy3-y21)=f(x)y1(x), Bp (y-yyi+p(x)0y-yayi=f(x)y(x) 令Q(x)=△(y,y1)= y则,则上式变为, do(x) p(x)O(x)=f(x)y,(x) 作代换Q(x)=△(x)(x),其中△(x)= 得 d△x)(x)-△(x) du(x) p(x)△(xa(x)=f(x)y(x),即 du(x) △(x) =f(x)y(x),[利用了 =-p(x)△(x)] 所以(x)=丁 ∫(、么O=「f(x)y △(x) 由于 y1v3-y3y_ @(x)_A(x)rf()y(x) dx y2 △(x) 再积分,即得乃(x)=y/4(x),f(kdx 用分步积分改写,即得 H(x)/4(x) △( △ y2(x) f(x)y(x) dx -y,(x f(xy,(x) △( △(x) [其,我们利用了()=y(22d=(ep(x1 常点邻域方程的级数解法 1.解的存在和唯一性定理:如果系数函数p(x)和q(x)在圆域x-x<R 内是解析的,则在此圆域内,方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)(x)=0存在唯Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )    y x y x 得，   ( )  ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y   y y   p x y y   y y   f x y x ， 即   ( )  ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x         . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y      ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x    . 作代换 Q(x)  (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x     ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x        ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x   x  ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x     ]. 所以     x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么     x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于                  x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ， 再积分，即得            x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得                                                     x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1        ]. 二、 常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x  x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 存在唯一