复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 Series solutions of linear difference equations and some special functions.pdf_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数特点： 1）过程繁杂乏味, 结果简单精彩。 2）问题复杂，思路原始。 3）想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。 4）学思路方法，用时查手册、程序。一、基本概念及通解结构 1. 二阶线性常微分方程的标准形式 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  f (x) 变系数方程，非齐次，其非齐次项 f (x) 亦称为自由项。 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 齐次方程 y (x)  p0 y (x)  q0 y(x)  0 二阶线性常系数齐次微分方程。对于一般 n 阶线性齐次常微分方程，可以用算符 L 作用到函数 y(x) 上的形式表示： 1 0 1 0 d d d d , , , , ( ) 0 d d d d n n n n L y x x x x x          ， L 是各阶微商的线性函数，最高阶为 n ，称为 n 阶线性微分算符。所谓线性，指算符 L 中，仅仅包含 y(x) 的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。 2. 方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇）为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数的解析性决定。常点：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在 0 x x  点是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的常点。奇点：如果 p(x) 和 q(x) 中的一个（或两个）在 0 x x  点是不解析，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的奇点。正则奇点：如果 0 x x  点为方程的奇点，但在该点函数   ( ) 0 x  x p x 和   ( ) 2 0 x  x q x 都是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的正则奇点（二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。 3. 齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x           的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x  By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0     的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基（Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式)   ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为零。这条定理是显而易见的，如果 1 y 和 2 y 是线性相关的，则令 Ay1 (x)  By2 (x)  0 . 将其微商便得到方程组          0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2      y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / .   反之，当   0 时，只有平凡解： A  B  0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：     y y y y 1 2 2 1 , , .    ii）对数连续性：   0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x        iii）线性相关性：       y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ).  如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的两个线性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x  Ay x  By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 )   和 y (x0 )   ,就可以确定常数 A 和 B

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )    y x y x 得，   ( )  ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y   y y   p x y y   y y   f x y x ，即   ( )  ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x         . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y      ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x    . 作代换 Q(x)  (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x     ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x        ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x   x  ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x     ]. 所以     x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么     x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于                  x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ，再积分，即得            x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得                                                     x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1        ]. 二、常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x  x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 存在唯一

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 5 的、满足定解条件 0 0 y(x )  c 和 0 1 y (x )  c 的解析解 y(x) . 既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点 0 x 为展开中心的 Taylor series:  0  0 ( ) , n n n y x c x x      其中 0 1 c c, 已知。逐项微分得   1 0 1 '( ) n n n y x nc x x       和   2 0 2 ''( ) ( 1) . n n n y x n n c x x        将这些带入二阶线性常微分方程，就可以确定系数{ n c }—这种表示理论的“坐标值”。该幂级数在收敛圆内即为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的解—级数解,其收敛半径是 R. 2．勒让德方程（Legendre’s equation） 1  2 ( 1) 0 2  x y   xy   l l  y  ，（ l 为常数，l 阶 Legendre’s equation）. 物理上球对称 Laplace 方程在  方向 ( cos ) x   ，角动量量子数 l 取零或正整数；当然数学上 l 还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12 and 13. 第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。 Legendre’s equation 的系数函数是 2 1 2 ( ) x x p x    和 2 1 ( 1) ( ) x l l q x    ，它们在 x  0 点都是解析的，即 x  0 是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’s equation 的解也是解析的。因此该解可展成以 x0  0 为中心的 Taylor series. 第二步：把解写成 0 ( ) n n n y x c x     ，再求出 y (x) 和 y (x) 的级数，代入方程。 y  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  cn x n , y   c1  2c2 x  3c3 x 2  ncn x n1 , y   2 1c2  3 2c3 x  n n 1cn x n2 . 第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系 n c 和 n2 c 的递推公式（RR，其中 0 1 c c, 已知）

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7                            2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k                                第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x  c y x  c y x ，其中，            2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k                          2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k                 它们在 x 1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x  1 即当 x  1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如，           0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , k 2 ! k l k l l l l k l k y k                  1   2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k                                                              因此，由 Gauss 判别法可知，它是发散的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k            当   1 时，   n1 un 收敛；而当   1 时，   n1 un 发散]。物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x     cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x  1 时方程的解也必须是有限的。为使方程的解在整个区间1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n 2     ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间1 x 1 都是有限的。例如，当 l  0 时， y0 (x) 1 ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x)  x 1 . 当 l  2 时， 2 0 2 3 y (x) 1 x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x)  x  x . 一般地，当 l  2n 时，                      2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k                     ( ) 1 y x 发散。令 c1  0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x  c y x 有限。当 l  2n 1 时， ( ) 0 y x 发散，                        2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k                            令 c0  0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x  c y x 有限（正是我们要的解）。如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x 1 时， y(x) 1 ，则上面的多项式解称为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l  2n 时，选     2 !! 2 1 !! 0 1 n n c n    ，当 l  2n 1 时，选     2 !! 2 1 !! 1 1 n n c n    .（需要繁琐的运算，请自己验算）例如，当 l  0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1   .当 l  1 时， 1 y x x x ( ) P ( )   . 当 l  2 时，   2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x    .当 l  3 时 y x 5x 3x 2 1 ( ) 3   . 一般地，当 l  2n 时，       2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k          . 当 l  2n 1 时

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9         2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k                . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果：当     l l 1 ' 0,1,2, 时， l l l l ( 1) '( ' 1),    l ' 和 l 给出的结果是相同的。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l  0. 2. 总之， l  0,1,2, ， P ( ) l y x  且 P (1) 1 l  和多项式的最高次幂的系数为     2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l       d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征值 l  0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对称性对应守恒量， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l        2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm       ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z        ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm      (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m           球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0   ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0)    ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k   级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0    ，已知初始( t  0 )/边界( x  0 )条件： 0 1 y(0)  a , y (0)  a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t           ，（8.1）逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t             （8.2）         2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t                           （8.3）

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 10 将（8.3）和（8.1）代入方程，我们得到             2 2 2 2 0 3 1 2 2 2 0 2 1 3 2 2 1 2 1 0. n n n n n n n a a a a t n n a a t n n a a t                                   （8.4）如果使方程有非零解，全部系数应为零，因此 2 1 0 0 2  a2  a  ，即 0 2 0 2 2 2 1 2! a a a        3 2 1 0 2  a3  a  ，即 1 2 1 2 3 3 2 3! a a a        4 3 2 0 2  a4  a  ，即 0 4 2 2 4 4 3 4! a a a       5 4 3 0 2  a5  a  ，即 1 4 3 2 5 5 4 5! a a a       … …  2  1 0 2 n   n  an2  an  ，即    n an n n a 2 1 2 2                          0 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 ! 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 a k a k k k k a k k k k a k k a k k k k k k k                                          1 2 1 2 2 3 4 2 1 2 2 1 2 1 ! 1 2 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 a k a k k k k a k k k k a k k a k k k k k k k                                             2 2 2 2 2 3 2 2 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 1 0 0 2 3 2 2 2 1 0 0 1 1 2! 3! 2 ! 2 1 ! 1 1 1 2! 2 ! 3! 2 1 ! 1 1 2! 2 ! k k k k k k k k k k k k k k k k k k y a a t a t a t a t a t k k a t t a t t t k k a a t t t k                                                                                 2 1 3 2 1 0 1 3! 2 1 ! k k k k t t k                   

复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 Series solutions of linear difference equations and some special functions

复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 Series solutions of linear difference equations and some special functions