复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义，A）11 积分变换法.pdf_大学文库

做反Fourier变换： u(x, t) = 1 2 [φ(x + a t) + φ(x - a t)] + 1 2 a -∞ x+ a t ψ(ξ) ξ - 1 2 a -∞ x- a t ψ(ξ) ξ 其中利用了积分定理：-∞ x f (t) t ⟷ 1  k f  (k) 或写成：ℱ-1 1  k f  (k) = -∞ x f (t) t 延迟定理：f (x + x0) ⟷  k x0 f  (k) 或写成：ℱ-1 k x0 f  (k) = f (x + x0) 位移定理：f  (k + k0) ⟷ - k0 x f (x) 或写成： ℱ- k0 x f (x) = f  (k + k0) 思考：ℱ 1  x f (x) =？ ℱ [  x f (x)] =？与 ℱ-1 1  k f  (k) 和 ℱ-1   k f  (k) 有何关系（做变换：ℱ-1 ↔ ℱ, x ↔ k,  ↔  = -, f (x) ↔ f  (k) ）先利用延迟定理，再利用积分定理 ℱ-1 ψ  (k)  k  k a t = ℱ-1 ψ  (k)  k xx+a t = -∞ x ψ(ξ) ξ xx+a t = -∞ x+a t ψ(ξ) ξ 先利用积分定理，再利用延迟定理 ℱ-1 ψ  (k)  k a t  k = -∞ x ℱ-1ψ  (k)  k a t  ξ = -∞ x ψ(ξ + a t) ξ = -∞ x+a t ψ(ξ) ξ ☺ 例 2. 无界细杆的传热  ut - a2 uxx = f (x, t) -∞ < x < ∞, t ≥ 0 u(x, 0) = φ(x), 此问题无法用行波法求解解：对泛定方程的 x 变量做 Fourier 变换：定解条件变为： u  t(k, t) + a2 k2 u  (k, t) = f  (k, t) u  (k, 0) = φ  (k) 非齐次常微分方程先求齐次方程的解：u  t(k, t) + a2 k2 u  (k, t) = 0 ⟶ u  t(k, t) = c(k) -a2 k2 t , 常数变易： u  (k, t) = c(k, t) -a2 k2 t 代入非齐次方程得： ∂ c(k, t) ∂ t -a2 k2 t = f  (k, t) 从而求出：c(k, t) = 0 t f  (k, τ) a2 k2 τ τ + c(k, 0), 由初条：c(k, 0) = u  t(k, 0) = φ  (k) = ℱ[φ(x)] 从而：u  (k, t) = φ  (k) + 0 t f  (k, τ) a2 k2 τ τ -a2 k2 t 做反Fourier变换，利用卷积定理： f1(x)* f2(x) ⟷ f1  (k) f2  (k) 以及 -a2 k2 t ⟷ 1 2 a π t -x2/4 a2 t φ(x) ⟷ φ  (k) 这里利用了： 1 2 π -∞ ∞ -a2 k2 t - k x k = 1 2 π -∞ ∞  -a2 t k-  x 2 a2 t 2  - x2 4 a2 t k = 1 2 a π t -x2/4 a2 t u(x, t) = φ(x)* 1 2 a π t -x2/4 a2 t + ℱ-1 0 t f  (k, τ) -a2 k2(t-τ) τ = 1 2 a π t -∞ +∞ φ(s) -(x-s)2/4 a2 t s + 0 t ℱ-1f  (k, τ) -a2 k2(t-τ)  又是两像函数乘积的反变换 τ = 1 2 a π t -∞ +∞ φ(s) -(x-s)2/4 a2 t s 来自初始条件的贡献 + 1 2 a π 0 t τ t - τ -∞ +∞ f (s, τ) -(x-s)2/4 a2(t-τ) s 来自热源 f(x,t) 的贡献 2 z11a.nb

因而：v  (x, ω) = B(ω) - ω x/a 由边条：v(0, t) = g(t) Fourier变换 v  (0, ω) = g  (ω) ⟶ B(ω) = g  (ω) ⟶ v  (x, ω) = g  (ω) - ω x/a 反Fourier变换： v(x, t) = g(t - x /a) = f (t - x /a) H(t - x /a) 对 t > 0, u(x, t) = v(x, t) = f (t - x / a) H(t - x /a)。与行波法的结果相同。 ☺ 例 6. 半无限长的匀质细杆侧面绝热， x = 0 端有热流强度 q0 sin ω0 t 的热流流入，求长时间后的温度分布。解：注意长时间后的分布不等于稳定分布（因为边条与时间有关，不可能达到稳定），长时间后的只表明解与初始条件无关，故无需初条。对应于振动问题，相当于求长时间后的受迫振动问题，这时仅剩下策动频率的振动（参见第十章强迫振动例题）对于传热问题，要求解定解问题定解条件： ut - a2 uxx = 0 0 ≤ x < ∞, ux(0, t) = - q0 k sin ω0 t, lim x∞u(x, t) ≠ ∞ 在定解条件中，所有物理量，即： u(x, t), a, q0, k，均为实数。令：u(x, t) = Im[U(x, t)], U(x, t) 满足： Ut - a2 Uxx = 0 Ux(0, t) = - q0 k  ω0 t 显然，将 U 的定解条件取虚部即可证明：U(x, t) 的虚部满足 u(x, t) 的定解条件因此，只需从 U 的定解条件，解出 U(x, t), 再求其虚部即得 u(x, t)。对时间变量 t 做 Fourier变换：ℱ[U(x, t)] = -∞ ∞ U(x, t) - ω t t = U  (x, ω) 得 ( ω) U  (x, ω) - a2 U  xx(x, ω) = 0 U  x(0, ω) = - q0 k 2 π δ(ω - ω0) ⟹ U  (x, ω) = A(ω)  (1+) 2 ω a x + B(ω)  -(1+) 2 ω a x 其中利用了：ℱ ω0 t  = -∞ ∞  ω0 t - ω t t = -∞ ∞ - (ω-ω0) t t = 2 π δ(ω - ω0) x  ∞ 时，U(x, t) 应有限，故 U  (x, ω) 的第一项的系数 A(ω) = 0 ⟹ U  (x, ω) = B(ω)  -(1+) 2 ω a x 由边条： U  x(0, ω) = - q0 k 2 π δ(ω - ω0) ⟶ B(ω) = q0 k 2 a π (1 + ) 2 ω δ(ω - ω0) ⟶ U  (x, ω) = q0 k 2 a π (1 + ) 2 ω0  -(1+) 2 ω0 a x δ(ω - ω0) 反Fourier变换：U(x, t) = 1 2 π -∞ ∞ U  (x, ω)  ω t ω = q0 k a (1 + ) 2 ω0  -(1 + ) 2 ω0 a x  ω0 t z11a.nb 5

定解问题：三维： utt - a2 ∇2 u = 0 ur  , 0 = φ(r )，utr  , 0 = ψ(r ) 三维情况对应于 Poisson公式一维： utt - a2 uxx = 0 u(x, 0) = φ(x)，ut(x, 0) = ψ(x) 一维情况有 D’Alembert 公式解：对 r  做三维Fourier变换，在Fourier空间，定解问题化为 u  ttk, t + a2 k2 u  k, t = 0 u  k, 0 = φ  (k)，u  tk, 0 = ψ  (k) ⟹ u  k, t = A(k) cos a k t + B(k)sin a k t u  k, 0 = φ  (k)，u  t k, 0 = ψ  (k) ，其中 k = k。由初条定出 A(k) , B(k)： u  k, t = φ  (k) cos a k t I1 + ψ  (k) k a sin a k t I2 做反Fourier变换，因为 I1 与 I2 均为两个 k 的函数的乘积，反变换必然是一些卷积。下逐项计算。 ℱ-1 sin α k k = 1 (2 π)3     α k - - α k 2  k  k r cos θ k2 k cos θ ϕ 3k  （其中：α = a t） = 2 π (2 π)3 0 ∞  α k - - α k 2  k  k r - - k r   k r k2 k = - 1 (2 π) 2 1 2 r 0 ∞  α k - - α k  k r - - k r  k = - 1 (2 π)2 1 2 r 0 ∞  (α+r) k + - (α+r) k - k(α- r) --(α-r) k r k = - 1 4 π r [δ(r + α) -δ (r - α)] = 1 4 π r δ(r - α) ⟹ ℱ-1 sin α k k = 1 4 π r δ (r - α) = f (r ) 其中利用了：-∞ ∞  k(r±α) k = 2 π δ(r ± α) 及：r = r   ≥ 0, α = a t ≥ 0 故：δ(r + α) = 0 ℱ-1[I2] = ℱ-1 ψ  (k) a sin a k t k = 1 a    ψ(r ′ ) f r  -r ′  3 r ′ = 1 4 π a    ψ(r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ ℱ-1[cos α k ] = 1 (2 π)3     α k + - α k 2  k r cos θ k2 k cos θ ϕ 3k  （其中：α = a t） = 2 π (2 π)3 0 ∞  α k + - α k 2  k r - - k r  k r k2 k = - 1 (2 π)2 1 2 r 0 ∞  α k + - α k  k r - - k r  k k = - 1 (2 π)2 1 2 0 ∞  (α+r) k + - (α+r) k - k(α- r) --(α-r) k r  k r k = ? （思考：如何Fourier变换的利用微分定理）另辟捷径：cos a t k = ∂ ∂ t sin k a t k a ⟷ 1 4 π a ∂ ∂ t δ(r - a t) r = g(r ), 这里偏导是指求导时 a, k 视为常量傅氏变换是对 r  进行的。注意因为有 δ(r - a t) 因子，r 不再独立于 t，不能移到求导算符 ∂ ∂ t 之外。 z11a.nb 9

ℱ-1[I1] = ℱ-1 φ  (k) cos a k t = 1 4 π a    φ(r ′ ) gr  -r ′  3 r ′ = 1 4 π a    φ(r ′ ) ∂ ∂ t δr  -r ′  - a t r  -r ′  3 r ′ 注意这里 r ′ 是积分变量，与 t 无关 = 1 4 π a ∂ ∂ t    φ (r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ ur , t = ℱ-1[I1] + ℱ-1[I2] 以 V∞ 3 r ′ 表示对整个空间的积分 = 1 4 π a ∂ ∂ t V∞ φ (r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ + V∞ ψ(r ′ ) r  -r ′  δr  -r ′  - a t 3 r ′ 物理意义：看 r  = 0 处的振动，假设初始扰动仅局限于空间某一区域 V0 之内，如图所示 V0 区距原点 r  = 0 最近的距离为 d，最远的距离为 D。以原点为球心， d 和 D 为半径作两球面 Sd 和 SD。初始扰动 φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 局限于 V0 之内， φ(r ′ ) 和 ψ(r ′ ) 仅在 d ≤ r′ ≤ D 才不为 0。 d V0 r ′ D 由 ur , t 的表达式： u(0, t) = 1 4 π a ∂ ∂ t V∞ φ (r ′ ) r′ δ(r′ - a t) 3 r ′ + V∞ ψ(r ′ ) r′ δ(r′ - a t) 3 r ′ —— 积分对整个空间进行。现观察某一时刻 t 在 r  = 0 处的振动： t D/a 时, 一方面，被积函数中的 δ 函数要求仅在 r′ = a t 积分才不为 0，另一方面，r′ = a t 时，r′ = a t > D， r′ D/a 时，u(0, t) 为 0。仅在 d/a < t < D/a 时，u(0, t) 才不为 0。也就是说，位于 V0 区域的扰动，以速度 a 传播，太早了，扰动尚未传到达 r  = 0 处，太迟了，扰动 “已乘黄鹤去 ”。令：3 r ′ = S′ r′ , ur  , t 可改写为 ur , t = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ (r ′ ) a t S′ + Sat ψ(r ′ ) a t S′ —— Poissson 公式 Sat 表明积分仅在以 r  为球心，a t 为半径的球面上进行。这就是三维空间的自由振动问题的解。换言之，要看 r  处在 t 时刻是否有振动，仅需以 r  为球心，a t 为半径做球面，若球面经过 φ(r ′ ) 或 ψ(r ′ ) 不为 0 的区域，则 ur , t ≠ 0，否则 ur  , t = 0。物理意义： 1. t 时刻 r  处的振动是由以 r  为球心，a t 为半径的球面上在 t = 0 时刻的扰动传来的 —— 波以速度 a 传播。 2. 假设初始时刻： ψ(r ′ ) = 0, φ(r ′ ) 仅在以 R 为半径厚度为 2 d 的薄球壳上的某一立体角 δΩ 上为常数 u0，其余为 0 则：仅在 R - d ≤ a t ≤ R + d 时，在 r  = 0 处的振动才不为 0，这时 ur , t  r  =0 = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ (r ′ ) a t S′ = 1 4 π a ∂ ∂ t Sat φ(a t, Ω) a t (a t)2 Ω = 1 4 π a ∂ ∂ t (a t u0 δΩ) = δΩ 4 π u0 10 z11a.nb