复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章定积分计算 Calculations on definite integrals.pdf_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 2 这是因为：对于无穷远点，以 z   为展开中心、在区域 R  z   里展开的罗朗级数与以 z0  0 为中心、在区域 R  z   展开的罗朗级数有相同的形式: ( ) . k k k f z a z     换言之，以 z0  0 为中心、在区域 R z b     展开罗朗级数亦可，其中 b 任意（实际为 z   的邻域）。 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模   ，而幅角不定)。同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, R c 的正方向为顺时针方向。因此， 1 ( )d d d d 2 . clockwise clockwise clockwise counter clockwise R R R R k k k k k k c c c k k k c f z z a z z a z z a z z ia                       2．留数定理：如果 f (z) 在区域 D 中有 n 个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  ，而除了这些奇点外， f (z) 是解析的，那么其中 n c , c , , c 1 2  分别是围绕奇点 n z ,z , ,z 1 2  的小圆周(反方向, 与外界 l 同方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 1 1 ( )d ( )d 2 Res ( ) k n n k k k l c f z z f z z i f z          , l 是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它包围 n 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]：如果函数 f (z) 在闭曲线 l 所围的区域内，除具有有限个孤立奇点(isolated singularities) ( 1,2, , ) k z z k n   外是解析的，在 l 上也是解析的，则 f (z) 沿 l 的回路积分（逆时针方向）等于 f (z) 在 l 内所有奇点的留数之和的 2i 倍，即 1 ( )d 2 Res ( ). n k l k f z z i f z        1 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ) Res ( ) Res ( ) 2 Res ( ), n c c c n n k k f z z f z z f z z i f z f z f z i f z               

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i  是 f (z) 的单极点，因此      4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i                       [解二]   3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z           Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z   (实常数 m  0 )的留数。 [解] z i 是 f (z) 的一阶极点， z  是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i            Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m           (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z       (      1, )的留数。 [解] z  , 是 f (z) 的一阶极点， z  0 是二阶极点， f ( ) 1   解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z                          2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z            Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z  0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                                                                          2 2 1 1 1 Res (0) ; f                   (放心取 2 2 ( 1) z  项 z  0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f            

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0       x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i                                                  展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2       x a b x x I . [解]        2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b                             , 其中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b         1 2 z z 1. [韦大定理: 2 Ax Bx C    0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A     / , / ]. 在单位圆 ( z  1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z  0 （二阶奇点）， 1 z  z （一阶奇点）。 2 z z  （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有   2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z  z bi ib          计算     1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b  bi b            计算     2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b                   三个引理：引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z  a  ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z( D)   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K   则   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 1 的圆弧， 1 2 z a R z a      , arg( ) .  

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 10 证明：因为   2 1 d      i z a z CR ，所以     2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a                          由于当 1 2   arg(z  a)  ， z   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 K ，这意味着任给   0 ，存在[与 arg(z  a) 无关，D 内各向同性的] M()  0 ，使当 z a R M    时， (z  a) f (z)  K   ，所以     d 2 1 2 1 ( )        CR f z z iK （ , i z a Re    大模之比 R R/ 1  ，仅仅积分相位即可），即   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR （方向正向）。引理 2( 小圆弧引理 ) ：若函数 f (z) 在区域 D ： 0  z  a  r ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z a ( D)   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 k ，则  2 1  0 lim ( )d Cr r f z z ik       ，其中 Cr 是以 a 为圆心， r 为半径，夹角为  2 1 的圆弧， 1 2 z a r z a      , arg( ) .   证明: 因为   2 1 d      i z a z Cr ，   1 ( 1) 0 1 ( 1) 2 1 { ( , ) d d [ 1], , 1, 2, 1 i r z re n n i n n c n i n I r z z ir e r e N n                           1 I r i  ( , ) ;    0 [ (0, ), 2 / ( 1)] (0, ), n I r N n          r 0 小圆弧引理； -1( ,2 ) 0; n I r    -2[ (0, ), 2 / ( 1)] ( ,0), n I r N n          r  大圆弧引理。亦即，高阶极点的一段圆弧的积分发散，而整个圆弧的回路积分为零；或者说，虽然复平面是各向同性的，但是积分值与相对位相差相关} 所以     2 1 ( )d ( ) d d d = ( ) ( ) ( ) ( ) . r r r r C C C C k f z z ik f z z z a z z z a f z k z a f z k z a z a                         由于当 1 2   arg(z  a)  ， z  a 时， (z  a) f (z) 一致地趋于 k ，这意味着任给

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