复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions.pdf_大学文库

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示；球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等）。函数空间概念(复习) 3D：基矢： ej  j 1,2,3 ；正交： i j ij e e   ；表示： 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e    , 这是 3D Euclid space，直观、简单、符合常识。 (3+1)D：是加 t ，还是加 4 ite ，如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有了相对时空位置，还有了 scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。 n D：基矢是  j ( ) x   j n   1,2,3, , ，带权   x 的正交归一性如下：       * d i j ij     x x x x    D：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且 straight scaling  curve scaling.j：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！对于任意函数 f x( ), 只要其定义域与  j ( ) x  的相同，总有     1 , n n n f x c x     其中             * * 1 m n m n m n x x x f x c x x x x c          d d    is a representation! 当 f x( ) 已知时， n c 是上式；当 f x( ) 是 ( ) n  x 的线性组合时， n c 是其系数。 1．n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. 1) 表述： n 个独立的单位矢量 1 2, , , , n e e e  排成基向量，选 ej 为正交归一基矢，即 i j ij e e   ，则 1 n j j j x x e    和 j j x x e   （在 j e 上的坐标值—表示）。 2) 内积：   * 1 , . n j j j x y x y x y     3) 模方：   2 2 * 1 1 , . n n j j j j j x x x x x x        4) 基矢的完备性： n D 空间有 1D 矢量系 ej  j n   1,2, ,  ，若不能在此空间

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 2 找出一个简单向量 f ，使 f 与 ej 正交，则称为完备系， 1 n j j j x x e    . 2．函数空间（Hilbert space）：在域 x a b  ,  上分段连续、平方可积的函数   x [ * ( ) ( ) ( )d b a    x x x x  有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. 1) 正交函数系：如① x l 0,  内的 sin n x l              和 cos , n x l              ② x l l  ,  内的 1,cos ,sin n n x x l l                     均为完备基。一般带权正交函数系的定义：设    1 2  x x x , , , ,     n   ,在 x a b  ,  上有            * 2 , b m n m n n mn a       x x x x x x N    d ，则称 n  x 是在 x a b  ,  上的带权 [   x  0 ] 正交函数系。把              2 * 2 , b n n n n n n a       x x x x x x x N     d 称为模之平方，若 2 1 Nn  （对于所有的 n ）称为  j  x 为正交归一函数系 n   n x N        (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion)：若 n  x 是 x a b  ,  上的正交完备系，则 x a b  ,  上任意分段连续（平方可积）的函数 f x  均可表示为     1 , n n n f x c x     其中         * * ( ) . ( ) b n a n b n n a f x x x x c x x x x         d d 一、正交曲线坐标系 1．从直角坐标系到正交曲线坐标系球坐标系 (r,,) 关系: sin cos , sin sin , cos . x r y r z r              柱坐标系 (,,z) 关系: cos , sin , . x y z z            

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 3 一般曲线坐标系 ( , , ) q1 q2 q3 关系: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x x q q q y y q q q z z q q q         满足 Jacobi 行列式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 / / / ( , , ) / / / 0 ( ). ( , , ) / / / x q x q x q x y z y q y q y q q q q z q z q z q                       变换条件如果三族坐标线是处处相互正交的，则称这种坐标系为正交曲线坐标系。如何判断一个坐标系是否为正交坐标系？可以通过计算弧元长度:         2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 , 1,2,3 d d d d d d d d d d d d d d d , ij i j i j s x y z x x x q q q q q q y y y q q q q q q z z z q q q q q q g q q                                                    其中， i j i j i j i j j i q z q z q y q y q x q x g g                 . 如果 gij  gii ij ，则称此坐标系为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴 i q 的弧元长度为 d d i i i s h q  ，而 hi  gii 称为坐标曲线 i q 的度规因子； 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 (d ) (d ) (d ) (d ) . s h q h q h q    如果 2 d d ( d ) , ij i j i i ij g q q h q   即各个坐标曲线的相互投影为零，则它们之间相互正交。例如，对于球坐标系，                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d sin cos d cos cos d sin sin d sin sin d cos sin d sin cos d cos d sin d d d sin d . s x y z r r r r r r r r r r r                                     球坐标系是正交曲线坐标系， hr  g11 1，h  g  r  22 ，h  g33  rsin 

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4 对于柱坐标系，                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d cos d sin d sin d cos d d d d d . s x y z z z                          柱坐标系也是正交曲线坐标系，且 h  g11 1， 22 h g    ，hz  g33 1. 2． 函数在正交曲线坐标系中的表达式在直角坐标系中， (r  r )  (x  x )(y  y )(z  z )   . 设 r   点对应于直角坐标系 x  , y  ,z  的新坐标为   1 2 3 q  , q  , q  ，即                     ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z q q q y y q q q x x q q q ，并设 f (x, y,z) 在点 x  , y  ,z  附近为连续的任意函数，按  函数的定义，有 f x y z x x y y z z x y z f x y z ( , , ) ( ) ( ) ( )d d d ( , , ).               左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . ( , , ) f x q q q y q q q z q q q x x y y z z x y z q q q f x q q q y q q q z q q q q q q                        另一方面，由  函数的定义，又有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . f x q q q y q q q z q q q q q q q q q q q q f x q q q y q q q z q q q                      比较上面两式，由于 f 是任意函数，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , , ) x y z x x y y z z q q q q q q q q q                      即在一般正交曲线坐标系中，  函数的表达式为 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( , , ) q q q q q q x x y y z z x y z q q q                      在正交曲线坐标系中，由六个面 1 1 1 2 2 2 3 3 d 3 q , q  dq , q , q  dq , q , q  q 所构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 5 成的体积元为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) d d d d d d d . ( , , ) x y z q q q h h h q q q q q q      因此， 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h q q q q q q x x y y z z                    . 球坐标系中， hr 1，h  r  ，h  rsin  ,            sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r x x y y z z              . 柱坐标系中，  1  h ，h   ，hz 1,            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y z z              . 平面极坐标系中，  1  h ，h   ,          ( ) ( ) ( ) ( )     x  x  y  y   . 由体积元 1 2 3 1 2 3 d d d d   h h h q q q 知道，球坐标系中体积元为 2 r rd sin d d ,  权重函数分别为 2 ( ,sin ,1). r  柱坐标系中体积元为  d d d ,z 权重函数分别为 ( ,1,1).  3．场量的梯度(grade: u )，散度(divergence:  A )，旋度(rotation:  A )和 Laplace 算符 2  等在正交曲线坐标系中的表达式（1）标量   1 2 3 u q , q , q 的梯度 u 是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是 k z u j y u i x u u ˆ ˆ ˆ           ，其中 i j k ˆ , ˆ , ˆ 分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。在一般正交曲线坐标系中， u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 i s u   ，如以 i e ˆ i 1,2,3 分别表示点 ( , , ) q1 q2 q3 沿三条坐标线的单位矢量，就有            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u . (Note: d d ) i i i s h q 

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 （2）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的散度 A    是一个标量，定义为：以 S 记体积元的边界面， S  d 表示大小为 dS ，方向为面积元外法线方向的矢量，则   S A dS   是 A  通过边界面 S 的通量，而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S     A A S   . 通过坐标面 q1 的通量是    1 1 2d 2 3d 3 q  A h q h q ，通过坐标面 q1  dq1 的通量是   1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q  ；通过坐标面 2 q 的通量是    2 2 1d 1 3d 3 q  A h q h q ，通过坐标面 q2  dq2 的通量是   2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q  ；通过坐标面 3 q 的通量是    3 3 1d 1 2d 2 q  A h q h q ，通过坐标面 q3  dq3 的通量是   3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q  . 因此，       1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q                       （3）矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的旋度 A   是一个矢量，它在 1 e ˆ 方向的分量   A 1   定义为：以 l 记坐标面 q1 上的面积元 dS1  h2dq2h3dq3 的边界线，其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的，则   1 1 d / d . l    A A l S  因为，             3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q                               所以，                   2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A  .   A 2   ，  A 3   可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 7             3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ . A A h A h e A h A h e h h q q h h q q A h A h e h h q q                                       （4）Laplace 算符 2  利用  1 2 3 2 3 1 3 1 2      1 2 3 1 2 3 1 A A h h A h h A h h h h h q q q                 和            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u ，得到                                                   3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 q u h h h q q u h h h q q u h h h h h h q u u . 球坐标系中，hr 1，h  r  ，h  rsin  , 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1                                 u r u r r u r r r u . 柱坐标系中，  1  h ，h   ，hz 1, 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u                          . 平面极坐标系中，  1  h ，h   , 2 2 2 2 1 1                       u u u . 二、分离变量对坐标系的要求 1）方程和边界条件都必须是可分离变量的（例如两者均是齐次的）； 2）既取决于方程的形式和边界条件，也与坐标系的选择有关； 3）选择坐标系的原则—便于边界条件处理：立方系：直角坐标系；球面系：球坐标系；椭球面系：椭球坐标系；平面圆系：极坐标系；柱面系：柱坐标系

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 8 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题例 1. 利用分离变量法求解定解问题（2+0D）   2 2 2 2 1 1 ( , ) 0, 0 ( ), b u u u b u f                                    周期性和自然边界条件见后。设 u(,)  R()() ，代入方程并分离变量，得 d ( ) [ ( )] . ( ) d ( ) R R               由此得到两个方程: ()  ()  0， ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   , 其中，极角方向的方程 ()  ()  0 与周期性边界条件构成本征值问题。这是因为，一般来说，场量 u( , )   是单值的，应当满足， u(,  2)  u(,). 因此     ( 2 ) ( ).    所以 (2)  (0) 和 (2)  (0) （这些边界条件不同于界面衔接条件）. 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 2    m  m ，()  m ()  Am cos m  Bm sin m ，( m  0,1,2,  ). 现在解分离变量以后的径向方程 ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   (Euler 型方程)，其特点是，n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下：令 k R   ，代入方程后得关于 k 的代数方程，解出 k 可得方程的特解。 ( 1) 0 2     k k k k k  k m  ，消去 k  ，得 ( 1) 0 2 k k   k  m  . 解得 k1,2  m ，从而得方程的两个特解，   m m  ,  . 当 1 2 k k m    0 时，则两个特解为    1 1 , ln 1,ln } k k      .(好比 ( ) m J x 和 ( ) N x m )当 0      m 0 时， () () ln  1 ln  R R0 C0 D0 C0  D0        . 当 0 2    m  m  时， ( ) ( )   m m m m R R C D C D       m m m m m          

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为      0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        *对于本题定解问题的圆内问题 0    b，有自然边界条件   0 u ，因此， D0  0， Dm  0 ( m 1,2,  ). 这时，一般解为，        1 0 ( , ) cos sin m m u   A Am m Bm m  ，其中 Am Bm , 由边界条件给出，它们是：偶函数部分：       2 0 0 ( )d 2 1 A f ，        2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m ，奇函数部分： 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a        **对于下面例题的圆外问题 b      ，上述一般解也适用，但需要增加边界条件：  u 有界，或是具体问题需要具体确定。例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中，放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱，其轴线垂直于 E0 ，单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。解：分析：以圆柱的轴线为 z 轴，显然这是平面问题，因为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方向取极坐标系，电势 u(,) 所满足的定解问题是     2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b                                             见下这里我们选取导体表面   b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数；第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0    E x E   cos ; 第三项是单独一个带电导体在远处所产生的电势，记为 2 u . 当 L  时，无穷多个点电荷在  处产

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 10 生的电势(需要将电势零点位移，即定义   为零电势): / 2 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 2 0 2 0 0 1 / 2 / 4 ( ) ln 4 4 / 2 / 4 ln 4 / 2 ( / 2)[1 (2 / ) / 2] ln( ) ln ( , 4 2 ) L L Q z Q L L V z L L Q L L L L Q L Q L L                                 d (对数发散)。虽然新物理量 0 1 ln( / ) ( ) ( ) 2 Q L v V L L         不再发散，但是将 0 ln 2 Q L    吸收到 2 u 中, 即 2 0 0 ( ) ( ) ln ln . 2 2 Q Q u V L           物理上 2D 的对数发散，见 Chapter. 14. 用分离变量法，可得此定解问题的一般解为（Note: m  0,1,2, ） 0 0      0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        由 0 b u    即 0 1 ln 0 0 m m m D b b D b        可得， 0 1 ln D b   ， 2m D b m   ( m 1,2,  ). Note: 各 m 是相互独立的。于是，     2 0 1 ( , ) ln ln cos sin ln m m m m m A b u b A m B m b                              . 再利用， 当 a时 Q u  u  E         ln 2 cos 0 0 0 ，有     0 0 0 1 0 ln ln cos sin cos ln . ln 2 m m m m A Q b A m B m u E b                  比较各个 m （ m 是相互独立的，这个方法等价于用正交性积分来确定系数）关于  ,  的系数得， 0 0 ln 2 Q A b   ， 0 , ( 1) 0, ( 2,3, ) m E m A m       Bm  0 ( m 1,2,  ), 以及 0 0 0 ln . 2 Q u A b    这就是信息通过边界传到体内！从而，本定解问题的物理

复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions

复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions