复旦大学：《电动力学》习题选录_电动力学习题课4

1.两根长度为2a的均匀带电直线在坐标原点互相绝缘地相交·其中线密度为η的置于x轴 的[-ad]区间:线密度为-的置于y轴的[-ad]区间、求R>>a处的电势,要求精确到 R3项 解本题按上述的两个步骤进行计算 1.求电荷体系的电多极矩 根据本题精度的要求,只要计算电荷体系的Q,P,D即可 1)体系的电荷密度为 p,(x)={m(x)6(=) a≤y’≤a 0 otne/ 2)由于两根带电直线的电量相等,符号相反,故电荷体系的总电量Q=0 3)由电荷分布关于原点对称,故电荷体系的电偶极矩P=0 4)计算体系的电四极矩 D=3p(r)yr'd",带'的都为源点。 D=37o(y)6(=)r'd-3m6(x)6(=)r'r'd =3 ndr 8(y)dy rr8(=")de ndx(x)dx'r'r'8(=)d 由 r'r'6(d='=(r'e, tye,+i'e)(r'e,+ye, +='e )a (, +ye,)(r'e,+ye,) 3 ndx s(y)dy(x'e,+y'e, )(x'e, +y'e, o ndro(r)dr(r'e,+y'e,)('e,+y'e,) 」nmxd'-xe,myar 3e,e nnx'x'dx'-3e,e, ny'y (e-e) 2求电荷体系激发的电势

1．两根长度为 2a 的均匀带电直线在坐标原点互相绝缘地相交．其中线密度为  的置于 x 轴 的 −a a,  区间；线密度为 − 的置于 y 轴的 −a a,  区间、求 R a  处的电势．要求精确到 3 R 项 解 本题按上述的两个步骤进行计算 1．求电荷体系的电多极矩 根据本题精度的要求，只要计算电荷体系的 Q ， P ， D 即可 1）体系的电荷密度为 ( ') ( ') ' ( ') ( ') ( ') ' 0 f y z a x a x x z a y a other      − −    = −      2）由于两根带电直线的电量相等，符号相反，故电荷体系的总电量 Q = 0 3）由电荷分布关于原点对称，故电荷体系的电偶极矩 P = 0 4）计算体系的电四极矩 3 ( ') ' ' ' f V D r r r dV =   ，带 ' 的都为源点。 3 ( ') ( ') ' ' ' 3 ( ') ( ') ' ' ' 3 ' ( ') ' ' ' ( ') ' 3 ' ( ') ' ' ' ( ') ' V V a a a a D y z r r dV x z r r dV dx y dy r r z dz dx x dx r r z dz             − − −   − − − = − = −         由: ( )( ) ( )( ) 0 ' ' ( ') ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x y z x y z z z x y x y r r z dz x e y e z e x e y e z e x e y e x e y e   − = = + + + + = + +  ( )( ) ( )( ) 3 ' ( ') ' ' ' ' ' 3 ' ( ') ' ' ' ' ' a x y x y a a x y x y a D dx y dy x e y e x e y e dx x dx x e y e x e y e      − −  − − = + + − + +     3 ' ' ' 3 ' ' ' a a x x y y a a D e e x x dx e e y y dx   − − = −   ( ) 3 3 ' ' ' 3 ' ' ' 2 a a x x y y a a x x y y D e e x x dx e e y y dx a e e e e    − − = − = −   2.求电荷体系激发的电势

p (x) D: VV 24TEo 24 na'lerer -ee): VV 利用vV_=V R 1 VR 3RR-R2I R R BRR-R2I R 双点乘的运算西:c=(b)(ad p(/ 24meoRs2na'le e 3RR-e, e. R2I-e, y:kR+e,,: R2 1×2n(3x-3y2-R2+R2) 2476o 4W(x2-y2) 静电 静磁 V×H=0 V·B=0 麦克斯韦方程源 V·E (P,+Pp) VH=Pn V×H Pr, Pp v P Pn=-10 V·M (P,+Pp V2A 松方程边界条件 91=92 9m=9n A1=A2 1 o ds o x(Vpml -Vpm2) (V×A1--V×A2)= 12 般静电静磁问题的三种解法 1.直接计算p,A 2.分离变量法

( ) 3 0 0 1 1 1 1 ( ) : 2 : 24 24 x x y y x D a e e e e R R     =  = −  利用 2 3 3 3 5 1 1 3 R R RR R I R R R R R R    −  =  − = −  − =     ( ) 2 3 5 0 1 3 ( ) 2 : 24 x x y y RR R I x a e e e e R    − = − 双点乘的运算 ab cd b c a d : =   ( )( ) ( ) 3 2 2 5 0 3 2 2 2 2 5 0 3 2 2 5 0 1 ( ) 2 : 3 : : 3 : 24 1 2 (3 3 ) 24 1 ( ) 4 x x x x y y y y x a e e RR e e R I e e RR e e R I R a x y R R R a x y R        = − − + = − − + = − 静电 静磁 标示法 矢势法 麦 克 斯 韦 方 程  = E 0 0 ( ) f P E    +   =  = H 0 0 H  m    =  = B 0  = H J f 源  f ，  P = −P   m = −  0 M f J 泊 松 方 程 2 0 ( )   f P   +  = − 2 0 m m     = − 2  = − A J 0 f 边 界 条 件   1 2 = 1 2 1 2 n n       =     m m 1 2 = 1 2 1 2 n n       =   A A 1 2 = 1 1 s ds Q n    =   1 2 ( ) m m f n   −  =    1 2 1 2 1 1 ( ) f n A A       −   = 一般静电静磁问题的三种解法： 1．直接计算  ， A 2．分离变量法

3.镜像法 例题 2.半径为a的导线圆环在电流I,求矢势和磁感应强度 解:线圈电流产生的矢势 d=aCosg'do r=r-r1=√R+a2-2xx=√R+a2-2 Rasinecosg 得 Ho la A=4x)√R2+a2-2 RaSinbcos eRaSing 当2 Rasinθ>a:远场 2)Sib<<l或R<<a进轴场 取A的旋度 B,=n a(Sine A,)=Hla cose BeR aR (R4)= Sine B.=0 3.假设存在磁单极子,其磁荷为Qn,他的磁场强度为 H tHr 给出他的矢势的一个可能表达式,并讨论他的奇异性 在求坐标系中

3．镜像法 例题 2．半径为 a 的导线圆环在电流 I，求矢势和磁感应强度 解：线圈电流产生的矢势 0 4 Idl A r   =  dl aCos d =   ' ' 2 2 2 2 r r r R a x x R a RaSin Cos = − = + −  = + − ' 2 ' 2 '   得 2 0 2 2 0 ' ' 4 2 ' Ia Cos d A R a RaSin Cos         = + −  当 2 2 2RaSin R a   + 时，可以较简单的算出近似结果，把根式对 2 2 2RaSin R a  + 展开，取至第 二项的。 ( ) 2 0 2 2 2 2 0 2 0 3 2 2 2 1 1 ' ' ' 4 4 Ia RaSin A Cos Cos d R a R a Ia RSin R a              +   +   +  +  此式的使用条件是 2 2 2RaSin R a   + ，包括一下两种种重要情形： 1） R a  ：远场 2） Sin 1 或 R a  进轴场 取 A 的旋度 ( ) ( ) 2 0 3 2 2 2 1 2 r Ia Cos B Sin A R Sin R a        = =  + ( ) ( ) 2 2 2 0 5 2 2 2 1 2 4 Ia R a B RA Sin R R R a      − = − =  + B 0  = 3．假设存在磁单极子，其磁荷为 Qm ，他的磁场强度为 3 0 4 Qm r H  r = 给出他的矢势的一个可能表达式，并讨论他的奇异性 在求坐标系中

Q O.1 4Tp 丌0 由vx=B=AB=g 4丌r L「a(smA) aAo_0m I R Sino a8 r R Sine ap aR 0A=0 RaR 令A=A2=0 a(Sin A =gam Sine 12(RA)=0 Q. Sine 4丌 4 0 1-Cos6 并且-O(R4)=0 所以磁单极子产生的矢势A=gm1-Co°e 讨论当→0时,A→0 当0→时,A→mC 当b→丌时,A→∞ 4.真空中有一个电量为Qr,半径为R的导体球壳,绕自身某直径以角速度O旋转,求球 内外的磁场 球壳静止时的面密度为 FRO 当球壳旋转时,形成沿e方向电流,起线密度为

3 2 0 0 1 4 4 m m r Q Q r H e   r r = = 由 0 2 1 4 m r Q A B H e r     = = = ( ) ( ) ( ) 2 1 1 4 1 1 0 1 0 m r r A Q Sin A R Sin r A RA R Sin R A rA R R                   − =               − =              − =         令 0 A A r = =  ( ) ( ) 4 1 0 m r Q Sin Sin A e r RA R R         =     − =   0 4 Qm Sin Sin A d r       =  1 4 Qm Cos A r    − = 并且 ( ) 1 RA 0 R R   − =  所以磁单极子产生的矢势 1 4 Qm Cos A e r    − = 讨论当  →0 时， A→0 当 2   → 时， 4 Qm A e  → 当   → 时， A→ 4．真空中有一个电量为 Qf ，半径为 R0 的导体球壳，绕自身某直径以角速度  旋转，求球 内外的磁场 球壳静止时的面密度为 2 0 4 f f Q R   = 当球壳旋转时，形成沿 e 方向电流，起线密度为

e, osing Ro 1)矢势解法 泊松方程 由V2A=-Jr 得 VA1=0 RRO 假设A=F( R)sin ge 0=V2A=e D2(2RF'+rF")+F (1-2Sin2) SIne R Sine R[2R+RF-27] 2RF'+R2F"-2F=0 把F(R)以R展开 F(R)=∑CR C[k(k-1)+2k-2]=0 可见除k=1k=-2外Ck均为0,将此结果代入A 可见球壳内外的矢势具有如下形式 b A=aR+ D2 Sinee A2=cR 有自然边界条件得 A=aRSinee, RRo 边界条件

0 4 f f Q Sin e R      = 1）矢势解法 泊松方程 由 2  = − A J 0 f 得 2 1  = A 0 R R  0 2 2  = A 0 R R  0 假设 A F R e ( )sin =   2 2 2 2 2 2 2 2 0 (2 ' '') (1 2 ) 2 ' '' 2 Sin F F A e RF R F Sin R R Sin R Sin Sin e RF R F F R          =  = + + − −     = + −     2 2 ' '' 2 0 RF R F F + − = 把 F R( ) 以 R 展开 ( ) k k k F R C R = C k k k k   ( − + − = 1 2 2 0 )   可见除 k k = = − 1, 2 外 Ck 均为 0，将此结果代入 A 可见球壳内外的矢势具有如下形式 1 2 b A aR Sin e R     = +     2 2 d A cR Sin e R     = +     有自然边界条件得 A aRSin e 1 =   R R  0 2 2 d A Sin e R =   R R  0 边界条件

r=0 万×(-V V R 2T Ro 9b×R 12TR A Ho mx 4丌R3 m=QR为该旋转球的磁矩 E=V×A=An =V×=3(m1)-m=1到R厉 R R R 2)标势解法 把有电流的部分取成磁鞘,赋予方x(Vom1-Vqm2)=ar的边界条件,发现体系o为单质所 以可以用标势解法。 解设满足体系的磁标势为 P=aRCose R ro 代入R=R0时边界条件 (Voml-Vom2) Q 1 R<R 6 Ro

0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) r r r r f A A n A A    = =  =      −  =  得 0 0 12 Qf a R   = 0 0 12 Qf d R    = 0 1 0 12 Qf A R R    =  0 2 3 4 m R A R    = 2 0 1 3 m Q R = f  为该旋转球的磁矩 0 1 1 0 6 B A R    =   = ( ) 0 0 2 2 3 5 0 3 3( ) 4 4 m e e m r r m R R m B A R R R R      −    =  = = −     2）标势解法 把有电流的部分取成磁鞘，赋予 1 2 ( ) m m f n   −  =    的边界条件，发现体系  为单质所 以可以用标势解法。 解设满足体系的磁标势为 1   = aRCos R R  0 2 2 d Cos R   = R R  0 代入 R R = 0 时边界条件 1 2 ( ) m m f n   −  =    1 2 1 2 n n       =   得 1 0 6 Qf RCos R     = − R R  0

TORo 12丌R R>Ro H,=-V osee tRO 2,@ Sineee- 7 Ro tRO H2=-Ve QORS Coster OaRo Sine。= 1|3(m:R)R 12丌R e Ro 5.无限大平面上下分别充满磁导率为1和p的均匀线性介质,在区有一长直载流导线 I平行于界面与界面距离为a,求空间磁场。 解在点电流作用下分界面上出现束缚电流分布.空间中的电场是由点电流以及分界面上 的束缚电流共同激发,我们运用镜像法认为在z位置存在电流I则在介质1中电势为 (>0NM 在介质2看来我们假定在原来电流的位置有r”,电势为 H2(<0= 利用边界条件 示×(-)=0 (B-B)=0 解得

2 0 2 2 12 Q R f Cos R     = R R  0 1 1 0 0 0 6 6 6 f f f r Q Q Q H Cos e Sin e R R R           = − = − = 2 2 0 0 2 1 3 3 5 2 1 3( ) 12 12 4 f f r Q R Q R m R R m H Cos e Sin e R R R R             = − = − = −     2 0 3 Q Rf m =  5．无限大平面上下分别充满磁导率为 1 和 2 的均匀线性介质，在 1 区有一长直载流导线 I 平行于界面与界面距离为 a,求空间磁场。 解 在点电流作用下,分界面上出现束缚电流分布. 空间中的电场是由点电流以及分界面上 的束缚电流共同激发, 我们运用镜像法,认为在-z 位置存在电流 I’,则在介质 1 中,电势为 1 1 2 1 2 1 ' ( 0) 4 I I H z e e  r r    = +     在介质 2 看来,我们假定在原来电流的位置有 I’’,电势为 2 3 1 1 '' ( 0) 4 I H z e  r  = 利用边界条件 ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 n H H n B B  − =  − = 解得

凸-n 2+ 2u 12+1

2 1 2 1 1 2 1 ' 2 '' I I I I        − = + = +